Source Latex: Cours de mathématiques, Probabilités
Terminale S
Probabilités
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- Description
- Cours de mathématiques: probabilités conditionnelles, indépendance
- Niveau
- Terminale S
- Table des matières
- Vocabulaire sur les probabilités
- Probabilités d'un événement
- Définition
- Calcul de probabilités
- Combinaisons
- Propriété des combinaisons
- Formule du binome de Newton
- Propriété des probabilités
- Probabilités conditionnelles
- Formule des probabilités totales
- Variables aléatoires
- Lois de probabilité
- Lois de probabilité discrètes: schéma de Bernoulli et loi binomiale
- Lois de probabilité continues: lois uniforme et exponentielle
- Exercices
- Mots clé
- Cours de mathématiques, probabilités, probabilité conditionnelle, indépendance d'événements, TS, terminale S
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\documentclass[12pt]{article} %\usepackage{french} \usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb} \usepackage[french]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{a4wide} \usepackage{graphicx} \usepackage{epsf} \usepackage{calc} \usepackage{cancel} \usepackage{array} %\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage{pst-all} \usepackage{pstricks-add} \usepackage{hyperref} \hypersetup{ pdfauthor={Yoann Morel}, pdfsubject={Cours math�matiques: probabilit�s}, pdftitle={Probabilit�s}, pdfkeywords={Math�matiques, TS, terminale, S, probabilit�s} } \hypersetup{ colorlinks = true, linkcolor = red, anchorcolor = red, citecolor = blue, filecolor = red, pagecolor = red, urlcolor = red } % Raccourcis diverses: \newcommand{\nwc}{\newcommand} \nwc{\dsp}{\displaystyle} \nwc{\ct}{\centerline} \nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}} \nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}} \nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}} \nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}} \nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)} \nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]} \nwc{\bgsk}{\bigskip} \nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}} \nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}} \nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}} \nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}} \def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N \def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N \def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0 \def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R \def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C \vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z \def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it=}}\hspace{-.5em}{\sf C}}} \renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e} \renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m} \def\epsi{\varepsilon} \def\lbd{\lambda} \def\Cf{\mathcal{C}_f} \newcommand{\Cnp}[2]{\mbox{$\left(\begin{array}{c} #1\\ #2\end{array}\right)$}} \nwc{\tm}{\times} \nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}} \nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}} \nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}} \nwc{\ul}[1]{\underline{#1}} \nwc{\scp}[1]{\scriptstyle#1} \nwc{\scpp}[1]{\scriptscriptstyle#1} \newcounter{nex}%[section] \setcounter{nex}{0} \newenvironment{EX}{% \stepcounter{nex} \bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm} }{} \nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}} \nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}} \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize} \nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}} \nwc{\limcdt}[4]{ $\dsp \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar} {#3}={#4}$ } \nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ } \headheight=0cm \textheight=27.cm \topmargin=-1.8cm \footskip=1cm \textwidth=19.2cm \oddsidemargin=-1.6cm \voffset=-2.6cm \setlength{\unitlength}{1cm} \newcounter{ntheo} \setcounter{ntheo}{1} \newlength{\ltheo} \nwc{\bgth}[1]{ \settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}} \noindent \paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp \stepcounter{ntheo} } \newcounter{nprop} \setcounter{nprop}{1} \newlength{\lprop} \nwc{\bgprop}[1]{ \settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}} \noindent \paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp \stepcounter{nprop} } \nwc{\bgcorol}[1]{ \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}} \noindent \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp } \newcounter{ndef} \setcounter{ndef}{1} \newlength{\ldef} \nwc{\bgdef}[1]{ \settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}} \noindent \paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp \stepcounter{ntheo} } \nwc{\defstitle}{D�finitions} \newlength{\ldefs}\settowidth{\ldefs}{\defstitle:} \nwc{\bgdefs}[1]{\paragraph{\ul{\defstitle:}} \begin{minipage}[t]{\textwidth-\ldefs-2em}{\it #1} \end{minipage} } \nwc{\bgproof}[1]{ \vspd\noindent \ul{D�monstration:} #1 \hfill$\square$ } \renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -} \renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})} % Bandeau en bas de page \newcommand{\TITLE}{Probabilit�s} \author{Y. Morel} \date{} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{lastpage} \pagestyle{fancyplain} \setlength{\headheight}{0cm} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt} \lhead{}\chead{}\rhead{} \lfoot{Y. Morel} \rfoot{\thepage}%/\pageref{LastPage}} \cfoot{\TITLE\\$T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} %\thispagestyle{empty} \vspace*{0.2cm} \hfill{\LARGE \bf \TITLE} \hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$ %\vspace{0.4cm} \vsp \emph{"Les questions les plus importantes de la vie ne sont pour la plupart que des probl�mes de probabilit�."} \hspace*{\fill}{\small{Pierre Simon de Laplace (1749-1827)}} %\tableofcontents \vspace{-0.5cm} \section{Vocabulaire des probabilit�s} \bgdefs{ \bgit \item[$\bullet$] Une {\bf exp�rience} est dite {\bf al�atoire} lorsqu'elle a plusieurs issues (ou r�sultats) possibles et que l'on ne peut ni pr�voir, ni calculer laquelle de ces issues sera r�alis�e. \item[$\bullet$] On appelle univers, not� en g�n�ral $\Omega$, l'ensemble des issues ou r�sultats possibles d'une exp�rience al�atoire. \item[$\bullet$] Un {\bf �v�nement} est une partie de l'univers, c'est-�-dire un ensemble de r�sultats possibles. \item[$\bullet$] Un {\bf �v�nement �l�mentaire} est un �v�nement qui ne contient qu'un seul �l�ment. \enit } \vspq \noindent \bgmp[t]{11cm} \bgex On lance un d� � six faces et on s'int�resse au nombre obtenu sur la face sup�rieure. Les r�sultats possibles sont les nombres 1, 2, 3, 4, 5 et 6. L'univers est l'ensemble des six r�sultats: $\Omega=\la 1, 2, 3, 4, 5, 6\ra$. ``Obtenir un 6'', ``Obtenir un nombre pair'', et ``Obtenir un nombre sup�rieur ou �gal � 4'' sont des �v�nements qui peuvent s'�crire $E_1=\{6\}$, $E_2=\{2,4,6\}$ et $E_3=\{4,5,6\}$. $E_1$ est de plus un �v�nement �l�mentaire. \enex \enmp\hspace{0.15cm}\psline(0,0)(0,-4.5)\hspace{0.15cm} \bgmp[t]{\textwidth-11.3cm} \bgex On tire une carte ``au hasard'' dans un jeu de 32 cartes. L'univers est constitu� de 32 �v�nements �l�mentaires. \vspd L'�v�nement: E=``Tirer un roi'' est-il un �v�nement �l�mentaire ? \enex \enmp \bgdefs{ \bgit \item[$\bullet$] On appelle {\bf �v�nement contraire} de l'�v�nement A, l'�v�nement not� $\overline{A}$ contenant tous les �l�ments de l'univers $\Omega$ ne se trouvant pas dans A. \item[$\bullet$] On appelle {\bf r�union} de A et B, l'�v�nement not� $A\cup B$ contenant tous les �l�ments de A et tous ceux de B. \item[$\bullet$] On appelle {\bf intersection} de A et B, l'�v�nement not� $A\cap B$ contenant les �l�ments qui appartiennent � la fois � A et � B. \item[$\bullet$] Deux �v�nements sont dits {\bf incompatibles} lorsque leur intersection est vide, c'est-�-dire lorsqu'ils ne peuvent �tre r�alis�s simultan�ment. \enit } \vspq \noindent \bgmp[t]{11cm} \bgex On lance un d� � six faces. Soit A l'�v�nement: "Obtenir un nombre impair", c'est-�-dire $A=\la 1,3,5\ra$, alors son �v�nement contraire est $\overline{A}=\dots$ %\la 2,4,6\ra$. \vsp Soit E l'�v�nement "Obtenir un 3 ou un 5", soit $E=\la 3,5\ra$, alors \vsp $\overline{E}= \dots$ \hfill $A\cup E = \dots $ \hfill $A\cap E = \dots $ \hfill \enex \enmp\hspace{0.15cm}\psline(0,0)(0,-4)\hspace{0.15cm} \bgmp[t]{\textwidth-11.3cm} \bgex On tire une carte d'un jeu de 32 cartes et on consid�re les �v�nements: A=''tirer un c\oe ur'', B=''tirer un dix'' et C=''tirer une figure''. \vsp D�crire les �v�nements: \ct{$\overline{A}$ , $A\cup B$ , $A\cap B$ , $B\cap C$.} \enex \enmp \vspq \bgex J'ach�te trois billets de tombola. \bgit \item[1.] Quel est le contraire de l'�v�nement {\it "tous mes billets sont gagnants"} ? \vspd \item[2.] Quel est le contraire de l'�v�nement {\it "j'ai exactement un billet gagnant"} ? \enit \enex \section{Probabilit� d'un �v�nement} \subsection{D�finitions} \vspace{-0.5cm} \bgdef{ La {\bf probabilit� d'un �v�nement} est un nombre qui mesure les ``chances'' que cet �v�nement a de se produire sur une �chelle de 0 (�v�nement impossible) � 1 (�v�nement certain). {\bf Une probabilit� est un nombre compris entre 0 et 1.} } \bgdef{ Soit $\Omega=\la e_1;e_2;\dots;e_n\ra$ l'univers des possibilit�s d'une �preuve al�atoire, o� chaque $e_i$ d�signe une issue (ou �v�nement �l�mentaire). \vspd D�finir une {\bf loi de probabilit�} sur l'univers $\Omega$ c'est associer � chaque issue $e_i$ un nombre r�el $p_i$ tel que : \ \ $0\leq p_i\leq 1$\ et\ \ $\dsp\sum_{i=1}^np_i=p_1+p_2+\dots+p_n=1$. } \bgprop{{\bf Loi des grands nombres} Pour une exp�rience donn�e, dans le mod�le d�fini par une loi de probabilit� P, les distributions des fr�quences obtenues sur des s�ries de taille n tendent vers P quand $n$ tend vers l'infini. } \vspq\noindent \bgmp[t]{11.5cm} {\bf Exemple} Sur $n=10$ exp�riences de lancer d'un d� non pip�, on a obtenu 3 fois le chiffre 6, sur n=100 exp�riences , on l'a obtenu 18 fois,\,\dots Lorsqu'on augmente le nombre $n$ d'exp�riences r�alis�es, la fr�quence d'apparition du chiffre 6 tend vers la probabilit� qui est de $\dsp p=\frac{1}{6}\simeq 1,666$: \ \ \ul{$\dsp\lim_{n\to+\infty} f_n=p$}. \enmp\hspace{0.3cm} \begin{tabular}[t]{|c|c|c|}\hline $n$ & nombre de $6$ & fr�quence $f_n$ \\\hline $10$ & $3$ & $0,3$ \\\hline $100$ & $18$ & $0,18$ \\\hline $1000$ & $169$ & $0,169$ \\\hline $10\,000$ & $1661$ & $0,1661$ \\\hline \end{tabular} \subsection{Calcul de probabilit�} \bgdef{ On dit qu'il y a {\bf �quiprobabilit�}, ou encore que la loi de probabilit� est �quir�partie, si tous les �v�nements �l�mentaires ont la m�me probabilit�: $\dsp p_1=p_2=\dots=p_n=\frac{1}{n}$ } \bgprop{ La probabilit� d'un �v�nement A est la somme des probabilit�s des �v�nements �l�mentaires composant A. } \bgcorol{ Sous l'hypoth�se d'�quiprobabilit�, la probabilit� d'un �v�nement A est : \vspd \ct{\framebox{$\dsp P(A)=\frac{\mbox{card}\ A}{\mbox{card}\ \Omega} =\frac{\mbox{nombre de cas favorables}}{\mbox{nombre de cas possibles}}$}} } \vspd \bgex Dans l'exp�rience de lancer de d�, on consid�re l'�v�nement A="obtenir un nombre pair". Alors $A=\la 2,4,6\ra$ et A est constitu� des trois �v�nements �l�mentaires $\la 2\ra$, $\la 4\ra$ et $\la 6\ra$. \vsp La probabilit� de A est donc : $\dsp P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ \enex \subsection{Combinaisons} \bgex De combien de fa�ons diff�rentes peut-on ordonner les nombres entiers de 1 � 3 ? Les nombres entiers de 1 � 4 ? De 1 � $n$ ? \enex \bgdef{Soit $n$ un entier naturel. On appelle {\bf factorielle} $n$, not� $n!$, le nombre:\ \ \[n!=n\tm(n-1)\tm(n-2)\tm \dots \tm 2\tm 1\,.\] \vspace{-0.2cm} Par convention, $0!=1$. } \vspt\noindent \ul{Exemple:} $4!=4\tm3\tm2\tm1=24$. %\vspace{-0.2cm} \bgprop{ Il y a $n!$ fa�ons diff�rentes d'ordonner $n$ �l�ments. } \vspd \bgproof{ Il y a $n$ fa�ons de choisir le premier �l�ments, puis $(n-1)$ fa�ons de choisir le deuxi�me, \dots, soit au total, $n!=n\tm(n-1)\tm\dots\tm2\tm1$ fa�ons. } \bgprop{ Soit $n$ et $p$ des entiers tels que $0\leqslant p\leqslant n$, et $E$ un ensemble � $n$ �l�ments. Le nombre de combinaisons de $p$ �l�ments de $E$, not� $\lp\bgar{c}n\\ p\enar\rp$ ("$n$ parmi $p$"), est \vspace{-0.1cm} \[ \lp\bgar{c}n\\ p\enar\rp = \frac{n(n-1)\dots(n-p+1)}{p!} =\frac{n!}{p!(n-p)!} \] } \bgproof{ $\bullet$ On doit choisir $p$ �l�ments parmi les $n$ de $E$. On a $n$ choix possibles pour le premier, $(n-1)$ pour le deuxi�me, \dots, $(n-(p-1))=(n-p+1)$ pour le $p$-i�me. On a donc, $n(n-1)\dots(n-p+1)$ choix au total. N�anmoins, l'ordre des $p$ �l�ments �tant indiff�rent, ces $n(n-1)\dots(n-p+1)$ choix sont r�p�t�s $p!$ fois. Ainsi, le nombre de combinaisons \ \ $\lp\bgar{c}n\\ p\enar\rp$ est $\dfrac{n(n-1)\dots(n-p+1)}{p!}$. \vspd De plus, $\bgar[t]{ll} \lp\bgar{c}n\\ p\enar\rp &=\dfrac{n!}{p!(n-p)!} =\dfrac{n(n-1)\dots(n-p+1)}{p!}\tm\dfrac{(n-p)!}{(n-p)!} \vspd\\ &=\dfrac{n(n-1)\dots(n-p+1)(n-p)(n-p-1)\dots2\tm1}{p!(n-p)!} =\dfrac{n!}{p!(n-p)!} \enar $. } \noindent \ul{Exemple:} $\lp\bgar{c}6\\ 4\enar\rp =\dfrac{\cancel{6}\tm5\tm\cancel{4}\tm3}{\cancel{4}\tm\cancel{3}\tm\cancel{2}\tm1} =15$: il y a 15 fa�ons de choisir 4 �l�ments parmi 6. \bgex On tire au hasard cinq cartes dans un jeu de 32 cartes. \bgit \item[a)] Combien de mains diff�rentes peut-on former ? \item[b)] Quel est le nombre de mains diff�rentes qui contiennent les 4 as ? \item[c)] En d�duire la probabilit� d'avoir un carr� d'as. \enit \enex \bgex {\it (20 p432)} On lance une pi�ce de monnaie �quilibr�e 10 fois de suite. Calculer la probabilit� d'obtenir exactement 6 fois "pile". \enex \bgex Au Loto national, un joueur coche 6 num�ros sur une grille o� figurent les nombres de 1 � 49. \bgit \item[a)] De combien de fa�on le joueur peut-il remplir sa grille ? \item[b)] Quelle est la probabilit� de jouer la grille gagnante ? \enit \enex \bgex Une urne contient 4 boules rouges et 5 boules vertes. On tire au hasard et simultan�ment deux boules de l'urne et on note leur couleur. \vsp Calculer la probabilit� que les deux boules tir�es soient rouges. \vsp Calculer cette m�me probabilit� si apr�s le premier tirage, la boule tir�e esr replac�e dans l'urne. \enex \subsection{Propri�t� des combinaisons} \vspace{-0.8cm} \bgprop{ Pour tous entiers $n$ et $p$ tels que $0\leqslant p\leqslant n$, $\lp\bgar{c}n\\ p\enar\rp =\lp\bgar{c}n\\ n-p\enar\rp$. } \bgproof{ Soit $E$ un ensemble � $n$ �l�ments. A chaque partie $A$ de $E$ � $p$ �l�ments, on peut associer la partie $\overline{A}$ � $(n-p)$ �l�ments. Il y a donc autant de parties � $p$ �l�ments que de parties � $(n-p)$ �l�ments. } \bgex D�montrer cette propri�t� par le calcul. \enex \noindent \bgmp[t]{12cm} \bgprop{ Pour tous entiers $n$ et $p$ tels que $0\leqslant p\leqslant n-1$, \[\lp\bgar{c}n\\ p\enar\rp =\lp\bgar{c}n-1\\ p-1\enar\rp +\lp\bgar{c}n-1\\ p\enar\rp \] } \enmp\hspace{0.3cm} \bgmp[t]{5cm}\vspace{-0.8cm} \ct{Triangle de Pascal}\vspace{-0.4cm} %\pscircle(1.8,-1.78){0.2} \rput(2.2,-1.8){$+$} %\pscircle(2.6,-1.78){0.2} \psellipse(2.2,-1.78)(0.65,0.25) \pscircle(2.6,-2.3){0.2} \psline{->}(2.9,-1.85)(2.9,-2.25) \begin{tabular}[t]{|c|*6{p{0.41cm}}|}\hline \psline(-0.3,0.32)(0.38,-0.18) \rput(-0.2,0){\small $n$} \rput(0.2,0.16){\small $p$} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\hline 0 & 1 &&&&&\\ 1 & 1 & 1 &&&&\\ 2 & 1 & 2 & 1 &&&\\ 3 & 1 & 3 & 3 & 1 &&\\ 4 & 1 & 4 & 6 & 4 & 1 &\\ 5 & \multicolumn{6}{c|}{\dots \ \ \ \dots}\\\hline \end{tabular} \enmp \bgproof{ Soit $E$ un ensemble � $n$ �l�ments. On note $a$ un �l�ment fix� de $E$. Pour d�nombrer les parties de $E$ � $p$ �l�ments, on peut distinguer: \bgit \item[$\bullet$] les parties contenant $a$: il reste � choisir $p-1$ �l�ments parmi les $n-1$ restants; il y en a $\lp\bgar{c}n-1\\p-1\enar\rp$ \item[$\bullet$] les parties ne contenant pas $a$: il s'agit donc de choisir $p$ �l�ments parmi les $n-1$ restants; il y en a donc au total $\lp\bgar{c}n-1\\p\enar\rp$ \enit Comme il y a en tout $\lp\bgar{c}n\\p\enar\rp$ parties � $p$ �l�ments, on a bien la formule de la propri�t�. } \bgex D�montrer par le calcul cette formule \emph{(Bac 2009)}. \enex \bgprop{{\bf Formule du bin�me} Pour tous nombres complexes $a$ et $b$, et tout entier naturel $n\geqslant 1$, \[\bgar{ll} (a+b)^n&\dsp=a^n+\lp\bgar{c}n\\1\enar\rp a^{n-1}b +\lp\bgar{c}n\\2\enar\rp a^{n-2}b^2 + \dots +\lp\bgar{c}n\\n-1\enar\rp ab^{n-1} +b^n \vspd\\ &\dsp=\sum_{k=0}^n \lp\bgar{c}n\\k\enar\rp a^{n-k}b^k \enar\] } \bgproof{ $(a+b)^n=(a+b)(a+b)\dots(a+b)$. Dans le d�veloppement de $(a+b)^n$ le terme en $b^k$ est obtenu en choisissant $b$ dans exactement $k$ parenth�ses et $a$ dans les $n-k$ autres parenth�ses. Ce terme est ainsi de la forme $a^{n-k}b^{k}$. Il y a de plus $\lp\bgar{c}n\\ k\enar\rp$ fa�ons de choisirs les $k$ parenth�ses dans lesquelles on va prendre $b$. Le terme contenant $b^k$ est donc $\lp\bgar{c}n\\ k\enar\rp a^{n-k}b^k$. } \bgex $\dsp (a+b)^2=\sum_{k=0}^2 \lp\bgar{c}2\\k\enar\rp a^{2-k}b^k =\lp\bgar{c}2\\0\enar\rp a^2b^0 +\lp\bgar{c}2\\1\enar\rp a^1b^1 +\lp\bgar{c}2\\2\enar\rp a^0b^2 =a^2+2ab+b^2 $ $\dsp (a+b)^3=\sum_{k=0}^3 \lp\bgar{c}3\\k\enar\rp a^{3-k}b^k =\lp\bgar{c}3\\0\enar\rp a^3b^0 +\lp\bgar{c}3\\1\enar\rp a^2b^1 +\lp\bgar{c}3\\2\enar\rp a^1b^2 +\lp\bgar{c}3\\3\enar\rp a^0b^3 =a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 $ \enex \vspace{-0.2cm} \bgex D�montrer par r�currence la formule du bin�me. \enex \bgex Calculer la somme $\dsp \sum_{k=0}^n \lp\bgar{ll} n\\ k\enar\rp =\lp\bgar{ll} n\\ 0\enar\rp+\lp\bgar{ll} n\\ 1\enar\rp +\dots+\lp\bgar{ll} n\\ n-1\enar\rp+\lp\bgar{ll} n\\ n\enar\rp $ \enex \vspace{-0.1cm} \section{Propri�t�s des probabilit�s} \vspace{-0.4cm} %\subsection{Probabilit� de la r�union de deux �v�nements} \bgprop{Soit $A$ et $B$ deux �v�nements, alors $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ } %\vsp %\setlength{\fboxsep}{0.3cm} %\ct{\fbox{$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$}} %\vsp \vspq Dans le cas particulier o� les \ul{�v�nements $A$ et $B$ sont incompatibles}, c'est-�-dire $A\cap B=\emptyset$, alors $P(A\cap B)=0$, et donc, \ul{$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$} %\subsection{Probabilit� de l'�v�nement contraire} \bgdef{L'�v�nement contraire $\overline{A}$ de l'�v�nement $A$ est tel que $A\cup\overline{A}=\Omega$ et $A\cap\overline{A}=\emptyset$. } \vsp \bgprop{Pour tout �v�nement $A$, $P(\overline{A})=1-P(A)$ } \bgproof{ Les �v�nements $A$ et $\overline{A}$ sont en particulier incompatibles, donc $P(A\cup \overline{A})=P(A)+P(\overline{A})$. Or, $P(A\cup\overline{A})=P(\Omega)=1$, on en d�duit que $1=P(\overline{A})+P(A)$. } \bgex On donne les probabilit�s de deux �v�nements $A$ et $B$: $P(A)=0,5$, $P(B)=0,4$ et $P(A\cap B)=0,1$. \vspd \bgmp{8cm} \bgit \item[1.] Compl�ter le tableau ci-contre. \vspd \item[2.] Quelle est la probabilit� de $\overline{A}\cap\overline{B}$ ? \vspd \item[3.] Quelle est la probabilit� de $\overline{A}\cup\overline{B}$ ? \enit \enmp\hspace{0.4cm} \bgmp{5cm} \begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline &$B$ & $\overline{B}$ & Total \\\hline $A$ &$0,1$&& $0,5$ \\\hline $\overline{A}$ &&& \\\hline Total & $0,4$ && \\\hline \end{tabular} \enmp \enex \bgex \addtocounter{nex}{-1}\refstepcounter{nex}\label{Expermis} La probabilit� qu'un jeune r�ussisse l'examen du permis de conduire l'ann�e de ses 18 ans est de 0,625 et celle qu'il soit re�u au baccalaur�at cette m�me ann�e est de 0,82. De plus, la probabilit� d'�tre � la fois re�u au baccalaur�at et � l'examen du permis de conduire la m�me ann�e est de 0,56. \vsp \bgit \item[a)] Calculer la probabilit� qu'un jeune soit re�u � au moins un des deux examens. \vsp \item[b)] En d�duire la probabilit� qu'il ne soit re�u � aucun des deux examens. \enit \enex \bgex {\it Vrai ou faux} \bgit \item[a)] Si $A$ et $B$ sont contraires alors $P(A\cap B)=0$. \item[b)] Si $A$ et $B$ sont incompatibles alors $p(A)=1-P(B)$. \item[c)] Si $A$ et $B$ sont contraires alors $P(A)+P(B)=1$. \item[d)] Si $P(A\cup B)=1$, alors $A$ et $B$ sont contraires. \item[e)] Si $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$, alors $A$ et $B$ sont contraires. \item[f)] Si $A$ et $B$ sont incompatibles alors $P(A)+P(B)\leq 1$. \enit \enex \vspace{-0.2cm} \section{Probabilit� conditionnelle} \vspace{-0.6cm} \bgdef{ Soit $A$ et $B$ deux �v�nements, avec $P(A)\not=0$. La probabilit� de l'�v�nement $B$ sachant $A$, not�e $P_A(B)$, est d�finie par \[ P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \] } \bgex Dans une population, $60\,\%$ des familles ont une voiture, $65\,\%$ des familles ont un t�l�viseur et $24\,\%$ des familles n'ont ni voiture ni t�l�viseur. \vsp On choisit une famille au hasard. Calculer la probabilit� que cette famille ait une voiture sachant qu'elle poss�de un t�l�viseur. \enex \bgex Avec les donn�es de l'exercice \ref{Expermis}, d�terminer la probabilit� qu'un jeune r�ussisse au baccalaur�at sachant qu'il a d�j� eu son permis la m�me ann�e. \enex \bgdef{ On dit que deux �v�nements $A$ et $B$ sont ind�pendant lorsque \[ P_A(B)=P(B) \] c'est-�-dire lorsque la connaissance pr�alable de la r�alisation de l'�v�nement $A$ ne modifie pas la probabilit� de $B$. } \bgprop{ Pour deux �v�nements $A$ et $B$ ind�pendants : \[ P_A(B)=P(B) \Longleftrightarrow P_B(A)=P(A) \Longleftrightarrow P(A\cap B)=P(A)\,P(B) \] } \vspq\noindent \ul{D�monstration:} $A$ et $B$ sont ind�pendants lorsque $P_A(B)=P(B)$. Or $\dsp P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$, d'o�, $\dsp \frac{P(A\cap B)}{P(A)}=P(B)$, soit $P(A\cap B)=P(A)\,P(B)$. \vsp De m�me dans ce cas, $\dsp P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)\,P(B)}{P(B)} =P(A)$. \bgex On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes, et on consid�re les �v�nements: $A$: "tirer un roi", et $B$: "tirer un c\oe ur". Les �v�nements $A$ et $B$ sont-ils ind�pendants ? \enex \vspace{-0.2cm} \bgex \noindent \bgmp{8cm} Dans un lyc�e, les 250 �l�ves qui �tudient une seconde langue se r�partissent selon le tableau ci-contre. \vspd Une exp�rience al�atoire consiste � choisir un �l�ve au hasard. \enmp\hspace{0.5cm} \bgmp{8cm} \begin{tabular}{|*5{c|}}\hline fr�quences & allemand & italien & espagnol & total \\\hline gar�ons & 0,20 & 0,044 & 0,156 & 0,40 \\\hline filles & 0,12 & 0,156 & 0,324 & 0,60 \\\hline total & 0,32 & 0,20 & 0,48 & 1 \\\hline \end{tabular} \enmp \vspd On consid�re les �v�nements : \hspace{0.5cm} \bgmp[t]{8cm} $A:$ "l'�l�ve �tudie l'allemand"\\ $F:$ "l'�l�ve est une fille" \enmp \bgit \item[a)] D�terminer $P(A)$ et $P(F)$. \vsp \item[b)] D�terminer la probabilit� que l'�l�ve soit une fille �tudiant l'allemand. \vsp \item[c)] Sachant que l'�l�ve choisie est une fille, calculer la probabilit�, not�e $P_F(A)$, que l'�l�ve �tudie l'allemand. Les �v�nements $A$ et $F$ sont-ils ind�pendants ? \enit \enex \vspace{-0.2cm} \bgex Une soci�t� de 90 employ�s compte 60 hommes, parmi lesquels 40 sont des cadres. Dans cette soci�t�, il y a en tout 58 cadres. \vsp Quelle est la probabilit� d'�tre un cadre sachant qu'on est un homme dans cette soci�t� ? \vsp Les �v�nements �tre un cadre et �tre un homme sont-ils ind�pendants dans cette soci�t� ? \enex \bgex Une agence de sondage effectue aupr�s de 10\,000 personnes une enqu�te sur le recyclage du verre. Dans cet �chantillon, 40\,\% sont des jeunes (moins de 30 ans) et 60\,\% d'entre eux d�clarent recycler le verre. En revanche, seulement 30\,\% des personnes de plus de 30 ans d�clarent recycler le verre. On choisit au hasard une personne dans l'�chantillon. On note $J$ l'�v�nement: "la personne choisie est un jeune" et $T$ l'�v�nement: "la personne recycle le verre". \vsp \bgmp{10cm} \bgit \item[1.] Compl�ter l'arbre ci-contre. \vsp \item[2.] Calculer $P(J\cap T)$, $P(J\cap\overline{T})$, $P(\overline{J}\cap T)$ et $P(\overline{J}\cap\overline{T})$. En d�duire $P(T)$. \enit \enmp \bgmp{7cm} \psset{xunit=1.4cm,yunit=0.6cm} \begin{pspicture}(-1,-2)(4,1) \psline(0,0)(1.5,1)\rput(1.8,1){$J$}\rput(.7,.7){$\scp 0,4$} \psline(2,1)(3.5,1.5)\rput(3.8,1.5){$T$} \psline(2,1)(3.5,0.5)\rput(3.8,0.5){$\overline{T}$} \psline(0,0)(1.5,-1)\rput(1.8,-1){$\overline{J}$} \psline(2,-1)(3.5,-1.5)\rput(3.8,-1.5){$T$} \psline(2,-1)(3.5,-0.5)\rput(3.8,-0.5){$\overline{T}$} \end{pspicture} \enmp \bgmp{10cm} \bgit \item[3.] \bgit \item[a)] Calculer la probabilit� que la personne ait moins de 30 ans sachant qu'elle recycle le verre. \vsp \item[b)] Compl�ter l'arbre ci-contre. \enit \enit \enmp \bgmp{7cm} \psset{xunit=1.4cm,yunit=0.6cm} \begin{pspicture}(-1,-1.)(4,2) \psline(0,0)(1.5,1)\rput(1.8,1){$T$} \psline(2,1)(3.5,1.5)\rput(3.8,1.5){$J$} \psline(2,1)(3.5,0.5)\rput(3.8,0.5){$\overline{J}$} \psline(0,0)(1.5,-1)\rput(1.8,-1){$\overline{T}$} \psline(2,-1)(3.5,-1.5)\rput(3.8,-1.5){$J$} \psline(2,-1)(3.5,-0.5)\rput(3.8,-0.5){$\overline{J}$} \end{pspicture} \enmp \enex \vspt \bgex {\it ( 17 p403)} On jette simultan�ment deux d�s non truqu�s et on consid�re les �v�nements : \noindent\hspace{1.5cm} $A:$ "Le total des nombres obtenus est $7$"\\ \hspace*{1.5cm} $B:$ "On a obtenu au moins une fois le chiffre $3$" Les �v�nements $A$ et $B$ sont-ils incompatibles ? ind�pendants ? \enex \bgex On suppose que chacun des moteurs d'un avion bimoteur tombe en panne avec une probabilit� de $0,000\,1$ et ceci de fa�on ind�pendante de l'autre moteur. Quelle est la probabilit� que l'avion arrive � bon port, sachant qu'il peut voler avec un seul moteur ? \enex \bgex Sur une machine, deux types de panne sont possibles: la panne d'origine m�canique et la panne d'origine �lectronique. Un jour donn�, la probabilit� q'une panne m�canique survienne est de 0,005 et celle d'une panne �lectronique est 0,003. D'autre part, la probabilit� qu'une panne m�canique apparaisse sachant qu'une panne �lectronique a eu lieu ce jour l� est 0,002. \noindent On note $E$ l'�v�nement: "la machine a une panne �lectronique" et $M$: "la machine a une panne m�canique". \vsp \bgit \item[1.] Calculer la probabilit� qu'une machine ait les deux types de pannes un jour donn�. \item[2.] Calculer la probabilit� qu'une machine n'ait aucune panne un jour donn�. \item[3.] \bgit \item[a)] Calculer $P_{\overline{E}}(M)$. \item[b)] Comparer $P_E(M)$ et $P_{\overline{E}}(M)$. Interpr�ter cette comparaison. \enit \enit \enex \subsection{Formule des probabilit�s totales} \vspace{-0.4cm} \bgdef{ On dit que les �v�nements $A_1$, $A_2$, \dots , $A_n$ forment une partition de $E$ lorsqu'ils sont deux � deux incompatibles et que leur r�union est $E$: \[ \mbox{ pour } i\not=j\, ,\ A_i\cap A_j=\emptyset \ \ \mbox{ et, } \ A_1\cup A_2 \cup A_3 \cup \dots \cup A_n =E \] } \vspt\noindent \ul{Remarque:} Pour tout �v�nement $A$ de $E$, $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de $E$, car $A\cup\overline{A}=E$ et $A\cup\overline{A}=\emptyset$. \bgth{ (Formule des probabilit�s totales) Soit $B_1$, $B_2$, \dots, $B_n$, $n$ �v�nements formant une partition de $E$. Alors, pour tout �v�nement $A$, \[ \bgar{ll} P(A) &= P(A\cap B_1) + P(A\cap B_2) + \dots + P(A\cap B_n) \vspd\\ &= P_{B_1}(A)P(B_1)+P_{B_2}(A)P(B_2)+\dots+P_{B_n}(A)P(B_n) \enar \] } \vspq\noindent \ul{D�monstration:} Les �v�nements $A\cap B_1$, $A\cap B_2$, \dots, $A\cap B_n$ sont deux � deux incompatibles et leur r�union est $A$, d'o� la formule. \bgex {\it ( 14 p403)} On dispose de deux urnes indiscernables $U_1$ et $U_2$. $U_1$ contient 7 jetons noirs et 5 jetons blancs, $U_2$ contient 3 jetons noirs et 5 jetons blancs. \vsp On choisit au hasard une urne, puis on tire au hasard dans cette urne un jeton. \vsp \bgit \item[a)] Calculer la probabilit� que le jeton soit blanc sachant qu'il provient de $U_1$. \vsp \item[b)] Calculer de m�me la probabilit� que le jeton soit blanc sachant qu'il provient de $U_2$. \vsp \item[c)] En d�duire la probabilit� que le jeton tir� soit blanc. \enit \enex \bgex {\it ( 9 p402)} \bgit \item[a)] $A$ et $B$ sont deux �v�nements ind�pendants. Prouver qu'alors $A$ et $\overline{B}$ sont ind�pendants. Montrer de m�me que $\overline{A}$ et $B$ sont ind�pendants, puis que $\overline{A}$ et $\overline{B}$ le sont aussi. \vsp \item[b)] Alain et B�atrice tentent de faire des paniers de basket. Les �v�nements $A:$ "Alain r�ussit un panier" et $B:$ "B�atrice r�ussit un panier sont ind�pendants" et de probabilit�s respectives $\dsp \frac{4}{7}$ et $\dsp\frac{3}{5}$. Alain et B�atrice font un essai chacun. Calculer la probabilit� des �v�nements suivants: $C:$ "Alain et B�atrice r�ussissent tous les deux" $D:$ "Seul Alain r�ussit" $E:$ "Aucun panier n'est marqu�" $F:$ "Au moins un panier est marqu�" $G:$ "Un panier et un seul est marqu�" \enit \enex \section{Variable al�atoire} \noindent On associe fr�quement un nombre aux r�sultats d'une exp�rience al�atoire. Par exemple, pour un jeu de hasard, on peut associer un gain (ou une perte) � chaque issue du jeu. \vsp L'{\bf esp�rance math�matique} permet dans ce cas de mesurer le degr� d'�quit� d'un jeu de hasard: le jeu est-il {\it �quitable}, ou alors alors plut�t favorable � l'un des adversaires ? \bgdef{ Soit $\Omega$ l'univers des possibilit�s d'une exp�rience al�atoire. On appelle variable al�atoire toute fonction d�finie sur $\Omega$ et � valeurs dans $\R$. } \bgex On lance une pi�ce de monnaie trois fois successivement, et on note le r�sultat de chaque lancer. L'univers $\Omega$ de cette exp�rience contient $2^3=8$ issues possibles: $\Omega=\la PPP,\ PPF,\ PFP,\ PFF,\ FPP,\ FPF,\ FFP,\ FFF\ra$. \vspd On consid�re alors le jeu suivant: \bgit \item si on obtient deux fois successivement $P$ ou $F$, on gagne 1 \euro \item si on obtient trois fois successivement $P$ ou $F$, on gagne 2 \euro \item sinon, on perd 3 \euro \enit \vsp\noindent La fonction $X$ qui � chaque issue de $\Omega$ associe le gain (ou la perte) est une variable al�atoire. \vspd \ct{ \begin{tabular}{|c|*9{p{1cm}|}}\hline Ev�nement & $PPP$ &$PPF$ &$PFP$ &$PFF$ &$FPP$ &$FPF$ &$FFP$ &$FFF$ \\\hline $X$ & 2 & 1 & $-3$ & $1$ & 1 & $-3$ & 1 & 2 \\\hline \end{tabular} } \vspd \noindent On peut alors indiquer la probabilit� de chaque gain: %\vspt %\ct{ \begin{tabular}{|c|*3{p{1.4cm}|}}\hline gain $x_i$ & $-3$ & $1$ & $2$ \\\hline \raisebox{0.2cm}[0.8cm]{$p(X=x_i)$} & \raisebox{0.2cm}[0.9cm]{$\dsp\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$}& \raisebox{0.2cm}[0.8cm]{$\dsp\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$}& \raisebox{0.2cm}[0.8cm]{$\dsp\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$}\\\hline \end{tabular} %} \vspd Avec ce jeu, le gain moyen que l'on peut esp�rer est: $\dsp -3\tm\frac{1}{4}+1\tm\frac{1}{2}+2\tm\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$. \enex \vspd C'est-�-dire que, sur un tr�s grand nombre de r�alisations de ce jeu (une infinit� \dots), on peut esp�rer remporter 0,25 \euro par partie. \vspt {\bf Remarque:} \bgit \item La d�nomination $X$ est une "variable al�atoire" est un abus de langage: $X$ n'est pas une variable mais une fonction, qui plus est parfaitement d�termin�e (donc qui n'a rien d'al�atoire). \item La notation $(X=x_i)$ d�signe l'�v�nement: "la variable al�atoire $X$ prend la valeur $x_i$"; $p(X=x_i)$ d�signe alors la probabilit� de cet �v�nement. \enit \bgdef{Pour une variable al�atoire $X$ pouvant prendre les valeurs $x_1$, $x_2$, \dots, $x_n$, avec les probabilit�s $p_1=p(X=x_1)$, $p_2=p(X=x_2)$, \dots, $p_n=p(X=x_n)$, on d�finit les grandeurs: \bgit \item[$\bullet$] l'{\bf esp�rance} math�matique de $X$: $\dsp E(X)=\sum_{i=1}^n x_i p_i$ \vspd \item[$\bullet$] la {\bf variance} de $X$: $\dsp V(X)=\sum_{i=1}^n \lb x_i-E(X)\rb^2 p_i$ \vspd \item[$\bullet$] l'{\bf �cart-type} de $X$: $\dsp\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ \enit } \bgex La loi de probabilit� d'une variable al�atoire $X$ est donn�e par le tableau: \vsp\ct{ \begin{tabular}{|c|*6{p{1.4cm}|}}\hline $x_i$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ \\\hline $p(X=x_i)$ & $0,1$ & $0,2$ & $0,25$ & $0,05$ & & $0,15$\\\hline \end{tabular} } \vspd 1) Calculer $p(X>0)$ \vspd 2) Calculer l'esp�rance math�matique de $X$, sa variance et son �cart type. \enex \vspd \bgex La mise de d�part d'un jeu est de 2\euro. On lance ensuite un d� non truqu� puis: \bgit \item si on obtient un 6, on gagne 5 \euro; \item si on obtient un 1 ou un 3, la mise est rembours�e; \item dans les autres cas, on ne gagne rien, ni ne perd rien. \enit \vspd La variable $X$ d�signe le gain du joueur. D�terminer la loi de probabilit� de $X$ puis son esp�rance. Le jeu est-il favorable au joueur ? \enex \vspd \bgex Une machine � sous au casino se compose de 3 tambours cylindriques. Sur chacun d'eux peut appara�tre de fa�on al�atoire et �quiprobable l'un des quatres symboles: un 7, un citron, un kiwi, ou une banane. \bgit \item[1.] Quel est le nombre total de combinaisons que l'on peut obtenir ? \vspd On mise au d�part 5 \euro: \bgit \item si trois 7 apparaissent, on gagne vingt fois la mise de d�part; \item si trois fruits identiques apparaissent, on gagne dix fois la mise d�part; \item si deux 7 seulement apparaissent, on gagne deux fois la mise de d�part; \item dans tous les autres cas, on ne gagne rien. \enit \vspd \item[2.] On dispose de d'une somme de d�part de 200 \euro. Combien peut-on esp�rer gagner ? \enit \enex \vspd \bgex{\it Paradoxe de Condorcet} Une urne $U_1$ contient trois boules num�rot�es 1, 6 et 8. Une urne $U_2$ contient trois boules num�rot�es 2, 4 et 9. Une urne $U_3$ contient trois boules num�rot�es 3, 5 et 7. Justine joue avec l'urne $U_1$, Alice avec l'urne $U_2$ et Mathilde avec l'urne $U_3$. Le jeu se joue � deux, chaque joueur prend au hasard une boule dans l'urne; le gagnant est celui qui a le plus grand num�ro. \vsp \bgit \item[1.] Calculer l'esp�rance de chaque joueur. \item[2.] Justine joue contre Alice. Laquelle des deux a le plus de chance de gagner ? (dresser un tableau d�crivant les couples de r�sultats possibles). \item[3.] Alice joue contre Mathilde. Qui a le plus de chance de gagner ? \item[4.] Enfin, Mathilde joue contre Justine. Qui a le plus de chance de gagner ? \enit \enex \vspd \bgex Une urne contient six boules, trois noires et trois rouges. On tire au hasard deux boules simultan�ment et on note leur couleur. $X$ est la variable al�atoire associant � chaque tirage le nombre de boules rouges obtenues. \vspd \bgit \item[1.] Montrer qu'il y a 15 tirages possibles. \item[2.] Etablir la loi de probabilit� de $X$ et calculer son esp�rance. \enit \enex \vspd \bgex Lors d'un examen, un �l�ve doit r�pondre � un QCM. Ce QCM comporte trois questions et, pour chaque question, trois r�ponses diff�rentes sont propos�es, dont une seule est exacte. Chaque r�ponse exacte rapporte 1 point, chaque r�ponse fausse enl�ve 0,5 point. L'�l�ve peut choisir de ne pas r�pondre, et dans ce cas, il ne perd ni ne gagne de point. \vsp \bgit \item[1.] Repr�senter toutes les issues possibles � l'aide d'un arbre. \vsp On appelle $X$ le total des points que l'�l�ve a obtenu pour cet exercice. Si $X$ est n�gatif, le r�sultat est ramen� � $0$. \vsp \item[2.] D�terminer les diff�rentes valeurs prises par $X$ et calculer l'esp�rance de $X$. \vsp \item[3.] Ce sujet a �t� donn� � 650 �l�ves qui ne connaissaient absolument pas le sujet, et qui ont donc tous r�pondu au hasard. A quelle moyenne des points peut-on s'attendre approximativement ? \enit \enex \bgex %\emph{(ROC)} \bgit \item[1.] \bgit \item[a)] {\bf D�monstration de cours.} D�montrer la relation du triangle de Pascal sur les coefficients binomiaux: pour tous entiers naturels $n$ et $k$ tels que $1\leqslant k\leqslant n$, \[ \Cnp{n}{k}=\Cnp{n-1}{k-1}+\Cnp{n-1}{k} \] \item[b)] En d�duire que pour tous entiers naturels $n$ et $k$ tel que $2\leqslant k\leqslant n-1$, \[ \Cnp{n}{k}=\Cnp{n-2}{k-2}+2\Cnp{n-2}{k-1}+\Cnp{n-2}{k} \] \enit \item[2.] On dispose d'une urne contenant $n$ boules indiscernables au toucher. Deux des boules sont rouges, les autres sont blanches. On tire au hasard et simultan�ment $k$ boules dans l'urne, et on appelle $A$ l'�v�nement "tirer au moins une boule rouge". \bgit \item[a)] Exprimer en fonction de $n$ et $k$ la probabilit� de l'�v�nement $\overline{A}$ contraire de l'�v�nement $A$, puis en d�duire la probabilit� de $A$. \item[b)] D�terminer d'une autre mani�re la probabilit� de l'�v�nement $A$. Retrouver alors le r�sultat pr�c�dent � l'aide de la formule de la question 1. \enit \enit \enex \newpage \section{Lois de probabilit�s} \subsection{Lois de probabilit�s discr�tes} \bgdef{{\bf Loi de Bernoulli} Une �preuve de Bernoulli est une exp�rience al�toire qui ne comporte que deux issues, l'une appel�e suc�s et de probabilit� $p$, l'autre appel�e �chec et de probabilit� $1-p$. \bgmp{10.8cm} La loi de probabilit� est alors appel�e loi de Bernoulli de param�tre $p$. \enmp\hspace{0.7cm} \bgmp{4cm} \begin{tabular}{|c|c|c|}\hline issue & succ�s & �chec \\\hline probabilit� & $p$ & $1-p$ \\\hline \end{tabular} \enmp } \vspd\noindent \bgmp{13cm} \ul{Exemple:} On lance un d� cubique �quilibr�. On appelle succ�s l'�v�nement: $S$ "un six est obtenu". Sa probabilit� est $p=\dfrac{1}{6}$. On obtient la loi de Bernouilli de param�tre $p=\dfrac{1}{6}$. \enmp\hspace{0.7cm} \bgmp{4cm} \begin{tabular}{|c|c|c|}\hline issue & succ�s & �chec \\\hline probabilit� & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{5}{6}$ \\\hline \end{tabular} \enmp \bgdef{{\bf Sch�ma de Bernouilli} Un sch�ma de Bernouilli est la r�p�tition de d'�preuves de Bernouilli identiques et ind�pendantes (c'est-�-dire que l'issue d'une �preuve ne d�pend pas des issues des �preuves pr�c�dentes). } \bgex On lance un d� cubique �quilibr� 3 fois de suite. On note $X$ la variable al�atoire �gale au nombre de fois que l'�v�nement $S$: "obtenir un six" est r�alis�. \bgit \item[1.] Dresser un arbre pond�r� et d�terminer la loi de probabilit� de $X$. \item[2.] M�mes questions si on lance cette fois 4 fois de suite le d�. \item[2.] M�mes questions si on lance cette fois 5 fois de suite le d�. \enit \enex \bgprop{{\bf Loi binomiale} On consid�re un sch�ma de Bernouilli constitu� de $n$ �preuves ind�pendantes, et on note $X$ la variable al�atoire qui, � chaque liste de $n$ r�sultats associe le nombre de succ�s. Alors, pour tout entier $k$, avec $0\leqslant k\leqslant n$, $P(X=k)=\lp\bgar{ll} n\\ k\enar\rp p^k(1-p)^{n-k}$. La loi de probabilit� de la variable al�atoire $X$ est appel�e {\bf loi binomiale de param�tres $n$ et $p$}, et est not�e $\mathcal{B}(n;p)$. } \vspd\noindent \bgproof{ Chaque liste form�e de $n$ succ�s, et donc de $n-k$ �checs, a pour probabilit�: $p^k(1-p)^{n-k}$. Il y a $\lp\bgar{l}n\\k\enar\rp$ telles listes, le nombre de fa�ons diff�rentes de choisir la position des $k$ succ�s. } \vspd\noindent \ul{Remarque:} La probabilit� d'obtenir un nombre quelconque de succ�s est: $\dsp\sum_{k=0}^n P(X=k)=P(X=0)+P(X=1)+\ldots+P(X=n) =\sum_{k=0}^n \lp\bgar{ll} n\\ k\enar\rp p^k(1-p)^{n-k} =(p+(1-p))^n=1 $ d'apr�s la formule du bin�me. \bgprop{\emph{(admise)} Si $X$ suit une loi binomiale de param�tres $n$ et $p$, alors \ct{$E(X)=np$ \ \ \ et\ \ \ $V(X)=np(1-p)$.} } \bgex Un �l�ve r�pond au hasard aux 10 questions d'un QCM. Pour chaque question, 5 r�ponses sont propos�es dont une seule est exacte. $X$ est la variable al�atoire �gale au nombre de bonnes r�ponses. \vspd \begin{itemize} \item Montrer que la loi de probabilit� de $X$ est une loi binomiale. \item Calculer la probabilit� d'avoir au moins 5 bonnes r�ponses. \item Calculer l'esp�rance math�matique du nombre de bonnes r�ponses. \end{itemize} \enex \bgex Dans chacun des cas suivants, la variable al�atoire $X$ suit-elle une loi binomiale ? Donner le cas �ch�ant les valeurs des param�tres de la loi binomiale associ�e. \bgit \item[1.] On lance 5 fois successivement un d� � jouer non truqu�, et on note $X$ la variable al�atoire �gale au nombre de 2 obtenus parmi ces lancers. \item[2.] On lance 5 fois successivement un d� � jouer non truqu�, et on note $X$ la variable al�atoire �gale au num�ro du premier lancer pour lequel on obtient le chiffre 6. \item[3.] On lance 10 fois successivement 2 d�s � jouer non pip�s, et on note $X$ la variable al�atoire �gale au nombre de fois o� une somme de 10 est obtenue en ajoutant les chiffres des 2 d�s. \item[4.] Une branche pr�sente 10 fleurs blanches ou roses r�parties au hasard. On compte au total 2 fleurs blanches et 8 fleurs roses. On cueille successivement et au hasard 3 fleurs, et on note $X$ la variable al�atoire �gale au nombre de fleurs blanches cueillies. \enit \enex \bgex \emph{(19 p33)} Des �tudes statistiques montrent que lors d'une naissance, la probabilit� d'avoir un gar�on est d'environ 0,51. On chosiit au hasard une famille de quatre enfants o� les f�condations sont suppos�es ind�pendantes et on s'int�resse au nombre de gar�ons. \vsp \bgit \item[1.] Justifier que cette situation peut-�tre mod�lis�e par une loi de binomiale. \item[2.] Calculer la probabilit� que cette famille compte au moins un gar�on. \enit \enex \bgex {\it (D'apr�s Bac 2000)} Les deux questions sont ind�pendantes. Les r�sultats seront donn�s sous forme de fractions. \vsp Une urne contient 6 boules bleues, 3 boules rouges et 2 boules vertes, indiscernables au toucher. \vsp \bgit \item[1.] On tire simultan�ment et au hasard 3 boules de l'urne. \bgit \item[a)] Calculer la probabilit� de chacun des �v�nements suivants: $E_1$: "Les boules sont toutes de couleurs diff�rentes"; $E_2$: "Les boules sont toutes de la m�me couleurs". \item[b)] On appelle $X$ la variable al�atoire qui, � tout tirage de trois boules, associe le nombre de boules bleues tir�es. Etablir la loi de probabilit� de $X$, et calculer son esp�rance math�matique. \enit \vspd \item[2.] Soit $k$ un entier sup�rieur ou �gal � 2. On proc�de cette fois de la fa�on suivante: on tire au hasard une boule de l'urne, on note sa couleur, puis on la replace dans l'urne avant de proc�der au tirage suivant. On effectue ainsi $k$ tirages successifs. \vsp Quelle est la valeur minimale de $k$ pour que la probabilit� de ne tirer que des boules bleues soit au moins mille fois plus grande que la probabilit� de ne tirer que des rouges ? \enit \enex \subsection{Lois de probabilit�s continues} On a d�finit jusqu'� pr�sent des lois de probabilit� sur des ensembles d�nombrables d'issues d'exp�riences al�atoires. On peut aussi d�finir des lois de probabilit� sur des ensembles continus, c'est-�-dire des intervalles. \bgex On choisit au hasard un nomre r�el entre 0 et 1. Quelle est la probabilit� d'obtenir le nombre 0,52 ? Quelle est la probabilit� d'obtenir un nombre compris entre 0,34 et 0,35 ? \enex \bgdef{ Soit $f$ une fonction continue et positive sur l'intervalle $I=[a;b]$ telle que $\dsp\int_a^b f(x)\,dx=1$. On d�finit alors la {\bf loi de probabilit� sur $I$ de densit� $f$} de la fa�on suivante: pour tout intervalle $(c;d)$ ($(c,d)$ intervalle de bornes $c\leqslant d$) contenu dans $I$, \ct{$\dsp P((c,d))=\int_c^d f(x)\,dx$.} } \vspd\noindent \emph{\ul{Remarque:} Si la varaible al�atoire $X$ suit une loi de probabilit� continue de densit� $f$ d�finie sur $[a;b]$, \bgit \item[$\bullet$] $\dsp P(X=c)=\int_c^c f(x)\,dx=0$. \vspd \item[$\bullet$] $\dsp P(X\leqslant c)=\int_a^c f(x)dx$ \ \ et, \hspace{0.5cm} $\dsp P(X\geqslant c)=\int_c^b f(x)dx$ \vspd \item[$\bullet$] Si la densit� $f$ est d�finie sur $[0;+\infty[$, \\ $\dsp P(X\leqslant c)=\int_0^c f(x)dx$, \ \ et \hspace{0.5cm} $\dsp P(X\geqslant c)=\int_c^{+\infty} f(x)dx =1-\int_0^c f(x)dx$. \enit } \bgdef{{\bf (Loi uniforme)} La loi uniforme sur $[0;1]$ est la loi de probabilit� de densit� $f$ d�finie sur $[0;1]$ par $f(x)=1$. On a donc, pour tout intervalle $(c;d)$ de $[0;1]$, $\dsp P((c;d))=\int_c^d 1\,dx=d-c$. } \bgdef{{\bf (Loi exponentielle)} La loi exponentielle de param�tre $\lbd>0$ sur $[0;+\infty[$ est la loi de probabilit� de densit� $f$ d�finie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\lbd e^{-\lbd x}$. On a donc, pour tout intervalle $(c;d)$ de $[0;+\infty[$: \ct{$\dsp P((c;d))=\int_c^d \lbd e^{-\lbd x}\,dx =\lb -e^{-\lbd x}\rb_c^d=e^{-\lbd c}-e^{-\lbd d}$} } \bgex La loi de dur�e de vie $X$ (en heures) d'un composant �lectronique a �t� mod�lis�e par la loi exponentielle de param�tre $\lbd=0,000\,6$ sur $[0;+\infty[$. \bgit \item[a)] Quelle est la la probabilit� qu'un de ces composants, pris au hasard, ait une dur�e de vie inf�rieure � 1000 heures ? \item[b)] Quelle est la probabilit� qu'un de ces composants, pris au hasard, soit encore en �tat de marche au bout de 500 heures ? \enit \enex \bgex \emph{(27 p434)} $P$ est une loi de probabilit� sur $[0;10]$ de densit� $f$ d�finie par $f(x)=\lbd x^{-2}$. D�terminer $\lbd$. \enex \bgex \emph{(29 p434)} $a$ et $b$ sont deux r�els tesl que $a<b$. D�terminer la fonction densit� de la loi de probabilit� uniforme sur l'intervalle $[a;b]$. \enex \bgex \emph{(35 p234)} $P$ d�signe la loi uniforme sur $[0;1]$. \bgit \item[a)] Calculer $P([0,24;0,47])$. \item[b)] Calculer $P_{[0,2;0,6]}([0,5;0,55])$. \item[c)] On choisit un nombre au hasard dans $[0;1]$. Sachant que ce nombre est compris entre 0,6 et 0,7, quelle est la probabilit� qu'il soit sup�rieur � 0,68 ? \enit \enex \end{document} \clearpage \vspq \bgex Une personnes press�e r�pond � un sondage. Deux questions sont pos�es et, � chacune, on donne le choix entre {\it ``favorable''} , {\it ``oppos�''} et {\it ``sans opinion''}. \vsp De combien de fa�ons la personne peut-elle r�pondre au sondage ? \enex \bgex Dans une interrogation �crite, la consigne est la suivante: {\it ``Pour chacune des quatre affirmations, r�pondre par Vrai ou Faux''}. Un �l�ve qui ne sait pas sa le�on, d�cide de cocher une case au hasard pour chaque affirmation. De combien de fa�ons peut-il remplir sa feuille ? Sachant qu'il n'y a qu'une seule r�ponse exacte � chaque affirmation, quelle probabilit� a-t-il de faire tout juste ? \enex \bgex A la rentr�e, dans une classe de 28 �l�ves, le professeur principal d�signe au hasard un couple d'�l�ves pour �tre d�l�gu�s provisoires. Combien y-a-t-il de couples diff�rents possibles ? \vspd Il y a dans cette classe 13 filles et 15 gar�ons. Le professeur doit en fait d�signer un couple gar�on - fille. Combien y-a-t-il de couples diff�rents possibles ? \enex \bgex Dans un jeu de 32 cartes, on tire une carte au hasard. On consid�re les �v�nements A : {\it ``tirer un roi''} et B : {\it ``tirer un c\oe ur''}. \bgit \item[a)] Combien y-a-t-il de tirages possibles ? \item[b)] Quels sont les �v�nements �l�mentaires qui composent l'�v�nement A ? l'�v�nemennt B ? En d�duire les probabilit�s $P(A)$ et $P(B)$. \item[c)] D�crire par une phrase les �v�nements $A\cup B$ et $A\cap B$. Donner alors les probabilit�s $P(A\cup B)$ et $P(A\cap B)$. \enit \enex \bgex On lance un d� � six faces num�rot�es de 1 � 6 deux fois successivement, puis on ajoute les chiffres obtenus aux deux lanc�s. \bgit \item[1.] Faire un arbre repr�sentant tous les �v�nements possibles ($1^{\mbox{\scriptsize{er}}}$ lanc� et $2^{\mbox{\scriptsize{�me}}}$ lanc�). \bgit \item[a)] Combien y-a-t-il d'issues possibles ? \item[b)] Combien de fa�ons a-t-on d'obtenir la somme $4$ ? la somme $7$ ? \item[c)] En d�duire les probabilit�s $P(\la4\ra)$ et $P(\la13\ra)$. \enit \enit \enex \bgex Le graphique suivant donne la r�partition des salaires dans une entreprise. On d�nombre cinq classes de salaires diff�rentes. \hspace{-1.5cm} \bgmp{8cm} \psset{xunit=2.5cm,yunit=0.6cm} \begin{pspicture}(0,-1)(10,10) \psline[linewidth=1pt](0.4,0)(3.4,0) \psline[linewidth=1pt](0.5,-0.1)(0.5,9) \pspolygon(1,0)(1.4,0)(1.4,8)(1,8) \pspolygon(1.4,0)(1.8,0)(1.8,4)(1.4,4) \pspolygon(1.8,0)(2.2,0)(2.2,4)(1.8,4) \pspolygon(2.2,0)(2.6,0)(2.6,3)(2.2,3) \pspolygon(2.6,0)(3,0)(3,1)(2.6,1) \multido{\i=1+1}{9}{ \psline(0.45,\i)(0.5,\i) \rput(0.35,\i){\i0} } \psline(1,0)(1,-0.2)\rput(1,-0.5){$\scriptstyle{1\,000}$} \psline(1.4,0)(1.4,-0.2)\rput(1.4,-0.5){$\scriptstyle{1\,400}$} \psline(1.8,0)(1.8,-0.2)\rput(1.8,-0.5){$\scriptstyle{1\,800}$} \psline(2.2,0)(2.2,-0.2)\rput(2.2,-0.5){$\scriptstyle{2\,200}$} \psline(2.6,0)(2.6,-0.2)\rput(2.6,-0.5){$\scriptstyle{2\,600}$} \psline(3,0)(3,-0.2)\rput(3,-0.5){$\scriptstyle{3\,000}$} \psline(3.4,0)(3.4,-0.2)\rput(3.4,-0.5){$\scriptstyle{3\,400}$} \rput(1.2,5){$A$} \rput(1.6,2){$B$} \rput(2,2){$C$} \rput(2.4,1.6){$D$} \rput(2.8,0.6){$E$} \end{pspicture} \enmp\hspace{0.5cm} \bgmp{10cm} On rencontre un salari� au hasard. On consid�re les �v�nements: $A$: ``Le salari� appartient � la classe $A$'', et $B$: ``Le salari� appartient � la classe $B$''. \vspd \bgit \item[1)] D�terminer $P(A)$ et $P(B)$. \vspd \item[2)] D�finir chacun des �v�nements $A\cup B$ et $\overline{A}$ par une phrase sur le salaire mensuel. \vspd \item[3)] D�terminer $P(A\cup B)$ et $P(\overline{A})$. \vspd \item[4)] On sait que le salari� rencontr� a un salaire, en euros, appartenant � $[1\,800\,;\,2\,600]$. D�terminer la probabilit� pour que ce salari� appartienne � la classe $C$. \enit \enmp \enex \bgex En utlisant les donn�es de l'exercice pr�c�dent, compl�ter l'arbre ci-dessous. \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(0,-5)(8,4) \psline(0,0)(2,2)\rput(0.5,1.4){$\scp P(F)=$} \rput(2.2,2){$F$} \psline(0,0)(2,-2)\rput(0.5,-1.4){$\scp P(G)=$} \rput(2.2,-2){$G$} \psline(2.4,2)(4.4,3.5)\rput(3,3){$\scp P_F(A)=$} \rput(4.6,3.5){$A$} \psline(2.4,2)(4.4,2)\rput(3.5,2.2){$\scp P_F(I)=$} \rput(4.6,2){$I$} \psline(2.4,2)(4.4,0.5)\rput(3,1){$\scp P_F(E)=$} \rput(4.6,0.5){$E$} \psline(2.4,-2)(4.4,-3.5)\rput(3,-3){$\scp P_G(E)=$} \rput(4.6,-3.5){$E$} \psline(2.4,-2)(4.4,-2)\rput(3.5,-2.2){$\scp P_G(I)=$} \rput(4.6,-2){$I$} \psline(2.4,-2)(4.4,-0.5)\rput(3,-1){$\scp P_G(A)=$} \rput(4.6,-0.5){$A$} \psline[linestyle=dashed]{->}(4.8,3.5)(6.2,3.5)\rput(7,3.5){$\scp P(A\cap F)=$} \psline[linestyle=dashed]{->}(4.8,2)(6.2,2)\rput(7,2){$\scp P(I\cap F)=$} \psline[linestyle=dashed]{->}(4.8,.5)(6.2,.5)\rput(7,.5){$\scp P(E\cap F)=$} \psline[linestyle=dashed]{->}(4.8,-.5)(6.2,-.5)\rput(7,-.5){$\scp P(A\cap G)=$} \psline[linestyle=dashed]{->}(4.8,-2)(6.2,-2)\rput(7,-2){$\scp P(I\cap G)=$} \psline[linestyle=dashed]{->}(4.8,-3.5)(6.2,-3.5)\rput(7,-3.5){$\scp P(E\cap G)=$} \end{pspicture} \enex \bgex Une soci�t� comprend $40\,\%$ de cadres, $20\,\%$ d'entre eux parlent anglais. On interroge au hasard un employ� de la soci�t� et on consid�re les �v�nements: \noindent\hspace{1.5cm} $C:$ "l'employ� interrog� est un cadre" \\ \hspace*{1.5cm} $A:$ "l'employ� interrog� parle anglais". \vsp \bgit \item[a)] Traduire l'�nonc� en termes de probabilit�s. \vsp \item[b)] Calculer la probabilit� que l'employ� interrog� parle anglais sachant que c'est un cadre. \enit \enex \bgex Une loterie permet de gagner 0, 10, 20, 30 ou 40 euros. On note $X$ la variable al�atoire �gale au gain du joueur. Sa loi de probabilit� est donn�e partiellement dans le tableau ci-dessous. \vspd\noindent \bgmp{7.5cm} \bgit \item[a)] Calculer la probabilit� de l'�v�nement $X=40$. \vsp \item[b)] Calculer l'esp�rance et la variance de la variable al�atoire $X$. \enit \enmp\hspace{0.6cm} \bgmp{8cm} \begin{tabular}{|c|*5{p{1cm}|}}\hline gain $x_i$ (\euro) & 0 & 10 & 20 & 30 & 40 \\\hline \raisebox{0.3cm}[1cm]{$P(X=x_i)$} & \raisebox{0.3cm}[1cm]{$\dsp\frac{1}{4}$} & \raisebox{0.3cm}[1cm]{$\dsp\frac{1}{2}$} & \raisebox{0.3cm}[1cm]{$\dsp\frac{1}{8}$} & \raisebox{0.3cm}[1cm]{$\dsp\frac{1}{12}$} & \\\hline \end{tabular} \enmp \enex \bgex On donne la r�partition des individus constituant un �chantillon d'une population suivant deux crit�res qualitatifs: le sexe et le groupe sanguin. \vspd \ct{\begin{tabular}{|p{3cm}|c|c|c|}\hline \begin{pspicture}(0,0)(3,0.6) \psline(-0.2,0.6)(3.2,-0.1) \put(0,0){groupe} \put(2,0.25){sexe} \end{pspicture} &masculin & f�minin & total\\\hline AB & 25 & 15 & \\\hline A & 250 & 200& \\\hline O & 200 & 200& \\\hline B & 60 & 50& \\\hline total & & &\\\hline \end{tabular} } \vspd \bgit \item[1)] Quel est le pourcentage d'hommes du groupe O dans l'�chantillon ? \vspd \item[2)] Quel est le pourcentage de femmes du groupe AB dans l'�chantillon ? \vspd \item[3)] Compl�ter l'arbre ci-dessous en indiquant les pourcentages correspondant � chaque branches. \bgmp{6cm} \begin{pspicture}(0,0)(5,5.) \psline(0,4)(2,7)\put(1.3,7){AB}\put(.45,5.5){4\%} \psline(2,7)(3.5,7.5)\put(3.5,7.5){H}\put(2.3,7.4){$\scp{62,5\%}$} \psline(2,7)(3.5,6.5)\put(3.5,6.5){F} \psline(0,4)(2,5)\put(1.6,5){A} \psline(2,5)(3.5,5.5)\put(3.5,5.5){H} \psline(2,5)(3.5,4.5)\put(3.5,4.5){F} \psline(0,4)(2,3)\put(1.6,2.8){O} \psline(2,3)(3.5,3.5)\put(3.5,3.5){H} \psline(2,3)(3.5,2.5)\put(3.5,2.5){F}\put(2.5,2.5){$\scp{50\%}$} \psline(0,4)(2,1)\put(1.6,0.8){B} \psline(2,1)(3.5,1.5)\put(3.5,1.5){H} \psline(2,1)(3.5,0.5)\put(3.5,0.5){F} \end{pspicture} \enmp \bgmp[b]{10.8cm} \vspq On prend une personne au hasard parmi les 1000 personnes de l'�chantillon. \vspq \bgit \item[4)] Quelle est la probabilit� que cette personne soit un homme du groupe AB ? La probabilit� que ce soit une femme du groupe A ? \vspace{1.9cm} \item[5)] Sachant que la personne choisie est du groupe B, quelle est la probabilit� que ce soit un homme ? \enit \enmp \enit \enex
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Quelques devoirs
Lois uniforme, exponentielle et normale. Arbre pondéré de probabilité, formule des probabilités totales
Bac blanc...
Probabilités: loi normale - Fonction exponentielle, intégrales et algorithme (Monté Carlo) - Vrai/faux: géométrie dans l'espace - Suite récurrente définie avec une fonction homograhique
Fonction exponentielle, intégrales - Probabilités: lois uniforme et normale, arbre de probabilités, suite de probabilités - Vrai/faux: complexes, asymptote, algorithme - Géométrie dans l'espace
Probabilités, loi normale et arbre pondéré de probabilités - Vrai / faux: nombres complexes - Fonction logarithme (ln) et suite récurrente - Géométrie dans l'espace