Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
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pdftitle={Suites - limites et récurrence},
pdfkeywords={Mathématiques, TS, terminale S,
suite, limite, récurrence
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
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\topmargin=-1.8cm
\footskip=0.8cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{nprop}
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\nwc{\bgcorol}[1]{
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\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}
\newcounter{ndef}
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\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
%\newenvironment{proof}{
% \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspd\noindent
\ul{Démonstration:} #1
\hfill$\square$
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ }
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{%
\hspace*{0.4cm}%
\alph{subsubsection})%
\hspace*{-0.4cm}%
}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Limites de suites}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/TS/}}
\rfoot{\TITLE{} - $T^\text{ale}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\hspace*{2cm}\TITLE\ - $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
%\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
\vspace{-0.2cm}
{\setlength{\baselineskip}{1.8em}
\tableofcontents\par}
\bigskip
\psline(0,0)(\linewidth,0)
\section{Révisions}
\vspace{-0.4cm}
\bgex
Soit $(u_n)$ une suite définie pour tout $n\in\N$ par
$u_n=n^2+n-1$.
\bgen
\item Donner $u_0$, $u_1$ et $u_2$.
\item Exprimer en fonction de $n$:
a) $u_{n-1}$ \qquad b) $u_{n+1}$ \qquad c) $u_{n+1}-u_n$
\item La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ?
\item Quel est le sens de variation de $(u_n)$ ?
\enen
\enex
\bgex
Préciser si les suites suivantes $(u_n)$ sont arithmétiques,
géométriques, ou ni l'un~ni~l'autre.
\bgen[a.]
\item Pour tout $n\in\N$, $u_n=n^2$.
\item $u_0=2$ et pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+1}=u_n-5$.
\item Pour tout $n\in\N$,
$u_n=\dfrac{2n^2+5n+3}{n+1}$.
\item Pour tout $n\in\N^*$,
$u_n=\dfrac{3^{2n+1}}{2n}$.
\item $u_0=3$ et pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+1}=-\dfrac23 u_n+4$.
\enen
\enex
\vspace{-0.2cm}
\bgex
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ non
nul par $u_n=\dfrac{n+1}{n^2+1}$.
\bgen
\item Déterminer la fonction $f$ telle que $u_n=f(n)$.
\item Etudier le sens de variation de $f$ et en déduire celui de
$(u_n)$.
\item Calculer $u_{10}$, $u_{100}$, $u_{10\,000}$, $u_{10^8}$
et $u_{10^{16}}$.
Que peut-on dire des valeurs de $u_n$ lorsque $n$ devient de plus en
plus grand ?
\enen
\enex
\bgex
Même exercice avec les suites $(u_n)$ définies pour
tout entier naturel $n$ par
1) $u_n=\dfrac{n^2-1}{n^2+1}$.
\qquad
2) $u_n=3n^2+4n-5$.
\qquad
3) $u_n=-n^3+6n^2-9n+5$.
\enex
\bgex
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier $n$,
$u_{n+1}=\dfrac{1}{u_n}+1$.
Déterminer la fonction $f$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$,
puis tracer $\Cf$ et placer $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$ sur
l'axe des abscisses.
\enex
\bgex
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=xe^{-x}$ ainsi que la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1}=f(u_n)$.
\bgen[a)]
\item Dresser le tableau de variations de $f$ et tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ de $f$.
\item Construire sur le graphique précédent les points $A_0$, $A_1$ et $A_2$ d'ordonnées nulles et d'abscisses repsectives $u_0$, $u_1$ et $u_2$.
\item Conjecturer le sens de variation de la suite et sa limite.
\textit{Ces résultats seront démontrés plus tard...}
\enen
\enex
\bgex
$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=3$ et, pour tout entier $n$,
$u_{n+1}=\dfrac{3u_n}{3+2u_n}$.
Pour tout entier $n$, on pose $v_n=\dfrac{3}{u_n}$.
\bgen
\item Démontrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique.
\item En déduire une expression de $v_n$, puis de $u_n$ en fonction
$n$.
\enen
\enex
\bgex
$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=1$ et, pour tout entier $n$,
$u_{n+1}=\dfrac23 u_n-\dfrac16$.
Pour tout entier $n$, on pose $v_n=2u_n+1$.
\bgen
\item Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique.
\item En déduire une expression de $v_n$, puis de $u_n$ en fonction
$n$.
\enen
\enex
\section{Principe de récurrence}
\noindent
\textbf{\ul{Exemple:}}
On considère la suite $(u_n)$ définie
pour par $u_0=2$, puis pour tout entier $n$,
\mbox{$u_{n+1}=\sqrt{u_n+5}$}.\\
\phantom{\textbf{\ul{Exemple:}}} Montrer que, pour tout entier $n$, $u_n\geqslant0$.
\medskip
Il y a ici une \textbf{infinité} de relation algébrique,
il s'agit de montrer la relation $u_n\geqslant0$
\textbf{pour tout $n\geqslant0$},
c'est-à-dire pour $n=0$, $n=1$, $n=2$, \dots ,
$n=10$, $n=112$, \dots
\medskip
Pour démontrer cette infinité de relation, on peut déjà commencer par
le \textbf{vérifier} au début, pour les premiers termes:
\bgit
\item pour $n=0$, $u_0=2$, et donc la propriété est bien vraie,
$u_0\geqslant0$.
\item pour $n=1$, $u_1=\sqrt{u_0+5}=\sqrt{2+5}=\sqrt{7}\geqslant0$, et
la propriété est toute aussi vraie
\item pour $n=2$, $u_2=\sqrt{u_1+5}\geqslant0$, car $u_1\geqslant-5$
\item \dots
\enit
Pour traiter le problème d'une manière plus générale,
on peut remarquer que, \textbf{tant que} que le terme
$u_n\geqslant-5$, alors le terme suivant
$u_{n+1}$ est bien défini, et étant une racine carrée, il est positif
ou nul.
Or, étant positif ou nul, il est aussi supérieur à $-5$, donc son
successeur est bien défini, et donc positif, donc son successeur \dots
Cette propriété est une propriété d'\textbf{hérédité}:
Si on suppose qu'à un rang $n$, on a $u_n\geqslant0$,
alors, \textbf{au rang suivant}, on a
$u_{n+1}=\sqrt{u_n+5}\geqslant\sqrt{0+5}=\sqrt5\geqslant0$.
\\
En d'autres termes,
\fbox{si la propriété est vraie à un rang $n$, elle est aussi vraie au
rang $n+1$ suivant.}
\medskip
Or, nous avons vu que cette propriété est vraie
\textbf{initialement} au rang $n=0$ (car $u_0=2\geqslant0$),
et donc, d'après cette hérédité,
elle est aussi vraie au rang $n+1=1$, puis aussi au suivant,
$n+1=2$, puis au suivant, puis \dots, puis \dots
\medskip
On a ainsi démontré que la relation
$u_n\geqslant0$ est vraie à tous les rangs $n$.
Ce raisonnement s'appelle un
\textbf{\ul{\ul{raisonnement par récurrence}}}.
%\clearpage%\vspd
\paragraph{Principe du raisonnement par récurrence}
Soit $P(n)$ une proposition qui dépend d'un entier naturel $n$.
Pour démontrer que $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\geq n_0$, il
suffit de :
\vspd
\bgen
\item \ul{\bf Initialisation:} vérifier que pour le premier entier
$n_0$, $P(n_0)$ est vraie;
\vspd
\item \ul{\bf Hérédité de la propriété:} montrer que, si on suppose
que $P(n)$ est vraie pour un
certain entier $n$ ({\bf hypothèse de récurrence}), alors $P(n+1)$
est encore vraie.
\item \ul{\bf Conclusion:} On conclut alors que, d'après le principe de
récurrence, la propriété $P(n)$ est vraie pour
\ul{\ul{\bf tout}} entier $n\geqslant n_0$.
\enen
\bgex
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier $n$,
$u_{n+1}=\sqrt{u_n+5}$.
Montrer que, pour tout entier $n$, $0\leq u_n\leq 3$.
\enex
\bgex Montrer que, pour tout $n\geq 10$, $2^n\geq 100n$.
\enex
\bgex
Soit la suite $v$ définie par $v_0=2$, puis pour tout entier $n$,\ \
$\dsp v_{n+1}=1+\frac{1}{v_n}$.
Montrer que pour tout entier naturel $n$,\ \
$\dsp\frac{3}{2}\leq v_n\leq 2$.
\enex
\bgex \textsl{Somme des premiers entiers, de leurs carrés, de leurs cubes.}
\bgen[a)]
\item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$,
$1+2+3+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$.
\item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$,
$1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
\item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$,
$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$.
\enen
\enex
\bgex
Soit $n$ un entier naturel non nul, et $S_n$ la somme
$\dsp S_n=\sum_{p=1}^n \frac{1}{p(p+1)}$.
\bgen
\item Ecrire un algorithme permettant de calculer $S_n$ où $n$ est un
entier naturel choisi par l'utilisateur.
\item Montrer par récurrence que pour tout entier $n\geq 1$,\ \
$\dsp S_n=\frac{n}{n+1}$
\item
\bgit
\item[a)] Verifier que
$\dsp\frac{1}{p(p+1)}=\frac{1}{p}-\frac{1}{p+1}$
\vsp
\item[b)] Retrouver alors le résultat du 1. par une autre méthode.
\enit
\enen
\enex
\bgex
Soit $a$ un réel strictement positif. Démontrer par récurrence que
pour tout entier naturel $n$,\ \ $(1+a)^n\geq 1+na$.
\enex
\bgex
Soit $u$ la suite définie par $u_0=3$, et pour tout entier $n$ par
\ \ $u_{n+1}=2(u_n-1)$.
Calculer les premiers termes de cette suite, et conjecturer une
expression de $u_n$.
Démontrer alors cette conjecture.
\enex
\bgex
Soit la suite $u$ définie par $u_0=5$ et, pour tout entier $n$,\ \
$u_{n+1}=\sqrt{3u_n+1}$.
Démontrer que cette suite est monotone.
\enex
\section{Limite d'une suite}
\subsection{Définition et exemples}
\vspace{-0.3cm}
\bgdef{
La suite numérique $(u_n)$ converge vers le réel $l$ si et seulement
si tout intervalle ouvert contenant $l$ contient tous les termes
$u_n$ à partir d'un certain rang.
\vspd
On note:
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n=l$
ou encore\ \
$\dsp\lim u_n=l$.
}
\vspd\noindent
\ul{Remarque:} Cette condition: "tout intervalle ouvert" est très
forte car elle permet, entre autre, que l'intervalle puisse être
arbitrairement petit.
\vspd\noindent
\ul{Exemple:} Soit la suite $(u_n)$ définie pour $n\geqslant 1$ par
$u_n=\dfrac{1}{n}+1$.
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-0.5)(6.5,3.8)
\psline{->}(-0.5,0)(7.8,0)\rput(7.9,-0.2){$n$}
\psline{->}(0,-0.5)(0,3.4)\rput(-0.2,3.5){$u_n$}
\nwc{\f}[1]{1 #1 div 1 add}
\psplot{0.4}{7.4}{\f{x}}
\multido{\i=1+1}{7}{
\rput(! \i \space \f{\i}){$\tm$}
\psline[linestyle=dashed](\i,0)(!\i \space \f{\i})
\rput(\i,-0.3){${\i}$}
}
\psline(-0.3,1)(7.9,1)\rput(8.4,1){$l=1$}
\psline[linestyle=dashed](-1.2,1.4)(7.9,1.4)
\psline[linestyle=dashed](-1.2,0.6)(7.9,0.6)
% Intervalle I
\psline[linewidth=1.6pt](-0.1,0.5)(-0.1,0.6)(0.1,0.6)(0.1,0.5)
\psline[linewidth=1.6pt](0,0.6)(0,1.4)
\psline[linewidth=1.6pt](-0.1,1.5)(-0.1,1.4)(0.1,1.4)(0.1,1.5)
\rput[l](-3.4,1.2){Intervalle ouvert}
\rput[l](-3.4,0.8){contenant $l$}
\end{pspicture}
Soit par exemple l'intervalle ouvert $I=]0,99\ ;\ 1,01[$ contenant
$l=1$.
Alors,
\[
\hspace{-0.7cm}
u_n \in I
\iff
0,99<u_n<1,01
\iff
0,99<\dfrac{1}{n}+1<1,01
\iff
-0,01<\dfrac{1}{n}<0,01
\iff
n>\dfrac{1}{0,01}=100
\]
Ainsi, dès que $n>100$, tous les termes $u_n$ sont dans l'intervalle
ouvert $I=]0,99\ ;\ 1,01[$.
On note $\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n = 1$.
\bgdef{
\bgit
\item[$\bullet$] On dit que la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$
lorsque tout intervalle ouvert de la forme $]A;+\infty[$, avec
$A\in\R$, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain
rang.
\item[$\bullet$] On dit que la suite $(u_n)$ tend vers $-\infty$
lorsque tout intervalle ouvert de la forme $]-\infty;A[$, avec
$A\in\R$, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain
rang.
\enit
}
\subsection{Limites usuelles}
\vspace{-1em}
\bgprop{
\vspace{-0.9cm}
\[
\lim_{n\to+\infty}\sqrt{n}=+\infty
\quad;\quad
\lim_{n\to+\infty} n=+\infty
\quad;\quad
\lim_{n\to+\infty} n^2=+\infty
\quad;\quad
\lim_{n\to+\infty} n^3=+\infty
\]
et plus généralement,
pour tout entier $p$ non nul
$\dsp\lim_{n\to+\infty} n^p=0$.
}
\bgproof{
Par exemple pour la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par
$u_n=n^2$.
Soit $I$ un intervalle ouvert quelconque de la forme
$I=]A;+\infty[$,
avec $A$ un réel strictement positif.
$u_n\in I=]A;+\infty[\iff
n^2>A
\iff
n>\sqrt{A}
$
(car $A>0$).
Soit $n_0$ un entier tel que $n_0>\sqrt{A}$,
alors, pour tout entier $n\geqslant n_0$,
on a $u_n\in I$, et donc
$\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.
}
\bgprop{
\[
\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0
\quad;\quad
\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}=0
\quad;\quad
\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n^2}=0
\quad;\quad
\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n^3}=0
\]
et plus généralement,
pour tout entier $p$ non nul
$\dsp\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n^p}=0$.
}
\bgproof{
Par exemple pour la suite $u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}$.
Soit $I$ un intervalle ouvert quelconque de la forme
$]-\epsi;+\epsi[$, avec $\epsi>0$.
$u_n\in I
\iff
-\epsi<\dfrac{1}{\sqrt{n}}<\epsi
\iff
0<\dfrac{1}{\sqrt{n}}<\epsi
\iff
\sqrt{n}>\dfrac{1}{\epsi}
\iff
n>\dfrac{1}{\epsi^2}
$.
Soit $n_0$ un entier tel que $n_0>\dfrac{1}{\epsi^2}$, alors, pour
tout entier $n\geqslant n_0$,
$u_n\in I$,
et donc la suite $(u_n)$ converge vers $0$:
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n=0$.
}
\subsection{Opérations sur les limites}
$(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites,
et $L$ et $L'$ sont deux réels.
Le point d'interrogation correspond à une forme indéterminée,
c'est-à-dire un cas où on ne peut pas conclure directement.
\bgth{{\bf Limite de la somme $u_n+v_n$ }
\vspd
\begin{tabular}{|l|*6{c|}}\hline
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n=$
& $L$ & $L$ & $L$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$
\\\hline
$\dsp\lim_{n\to+\infty} v_n=$
& $L'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $-\infty$
\\\hline
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n+v_n=$
& $L+L'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ &
\textcolor{red}{\bf ?}
\\\hline
\end{tabular}
}
\vspd\noindent
\ul{Exemple:}
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N^*$ par
$u_n=3+2n-\dfrac{1}{n^3}$.
On a:
\[
\left.\bgar{l}
\bullet \dsp\lim_{n\to+\infty} 3 = 3 \\
\bullet \dsp\lim_{n\to+\infty} 2n = +\infty \\
\bullet \dsp\lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{n^3} = 0
\enar\ra
\bgar{c}
\text{Par addition des limites}\\
\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n=+\infty
\enar
\]
\bgth{{\bf Limite du produit $u_n\tm v_n$ }
\vspd
\begin{tabular}{|l|*6{c|}}\hline
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n=$
& $L$ & $L\not=0$ & $+\infty$ ou $-\infty$ & $0$
\\\hline
$\dsp\lim_{n\to+\infty} v_n=$
& $L'$ & $+\infty$ ou $-\infty$ & $+\infty$ ou $-\infty$
& $+\infty$ ou $-\infty$
\\\hline
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n\tm v_n=$
& $L\tm L'$
& \bgmp{3cm}$+\infty$ ou $-\infty$ \\ (règle des signes du produit)\enmp
& \bgmp{3cm}$+\infty$ ou $-\infty$ \\ (règle des signes du produit)\enmp
&\textcolor{red}{\bf ?}
\\\hline
\end{tabular}
}
\vspd\noindent
\ul{Exemple:}
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N^*$ par
$u_n=\lp 2+\dfrac{1}{n}\rp\lp 1+n^2\rp$.
\\
Par sommes,
$\dsp\lim_{n\to+\infty} \lp 2+\dfrac{1}{n}\rp=2$,
et $\dsp\lim_{n\to+\infty}\lp 1+n^2\rp=+\infty$, puis par limite du produit,
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n\!\!=\!\!+\infty$.
\vspace{-0.3cm}
\bgth{{\bf Limite de l'inverse $\dfrac{1}{u_n}$ }
\vspd
\begin{tabular}{|l|*6{c|}}\hline
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n=$
& $L\not=0$ & $0$ par valeurs positives
& $0$ par valeurs négatives
& $+\infty$ ou $-\infty$
\\\hline
$\dsp\lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{u_n}=$
& $\dfrac{1}{L}$
& $+\infty$
& $-\infty$
& $0$
\\\hline
\end{tabular}
}
\vspd\noindent
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N^*$ par
$u_n=\dfrac{1}{n^2+\sqrt{n}}$.
Par limite de somme,
$\dsp\lim_{n\to+\infty} n^2+\sqrt{n}=+\infty$,
et donc, $\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n=0$.
\vspace{-0.3cm}
\bgth{{\bf Limite du quotient $\dfrac{u_n}{v_n}$ }
\vspd
\hspace{-2.2cm}
\begin{tabular}{|l|*6{c|}}\hline
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n=$
& $L$ & $L$
& $+\infty$ ou $-\infty$
& $L\not=0$ ou $+\infty$ ou $-\infty$
& $0$
& $+\infty$ ou $-\infty$
\\\hline
$\dsp\lim_{n\to+\infty} v_n=$
& $L'\not=0$ & $+\infty$ ou $-\infty$
& $L'\not=0$
& $0$
& $0$
& $+\infty$ ou $-\infty$
\\\hline
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n\tm v_n=$
& $\dfrac{L}{L'}$
& $0$
& $+\infty$ ou $-\infty$
& \bgmp{3cm}$+\infty$ ou $-\infty$ \\ (règle des signes du produit)\enmp
& \textcolor{red}{\bf ?}
& \textcolor{red}{\bf ?}
\\\hline
\end{tabular}
}
\vspq\noindent
\ul{\bf Méthode en cas de forme indéterminée:}
On essaie dans ce cas de lever l'indétermination en transformant
l'expression (factorisation, développement, \dots)
\\
Par exemple, soit la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par
$u_n=n^2-2n+4$.
\\
On a:
$\dsp\lim_{n\to+\infty} n^2=+\infty$,
et
$\dsp\lim_{n\to+\infty} -2n=-\infty$,
donc on a une forme indéterminée pour la limite de la somme.
\vspd
Néanmoins,
$u_n=n^2\lp 1-\dfrac{2n}{n^2}+\dfrac{4}{n^2}\rp
=n^2\lp 1-\dfrac{2}{n}+\dfrac{4}{n^2}\rp$, avec
$\dsp\lim_{n\to+\infty} n^2=+\infty$,
et
$\dsp\lim_{n\to+\infty} \lp 1-\dfrac{2}{n}+\dfrac{4}{n^2}\rp=1$,
d'où, par produit des limites
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n=+\infty$.
\vspd\noindent
\ul{Remarque:} $n^2$ est le terme dominant en $+\infty$ dans
l'expression de $u_n$.
C'est lui qui impose son comportement en $+\infty$, ce qui apparaît
clairement quand on le factorise.
\bgex
Dans chacun des cas suivants, déterminer la limite de la suite
$(u_n)$:
a)\ \ $u_n=n^3+\dfrac{1}{n}$
\qquad
b)\ \ $u_n=(3n+1)(-7n+5)$
\qquad
c)\ \ $u_n=\dfrac{3-\dfrac{4}{n}}{\dfrac{2}{n^2}}$
\qquad
d)\ \ $u_n=n^3-n^2+3n-1$
e)\ \ $u_n=\dfrac{2n^2+1}{-n^2+6}$
\quad
f)\ \ $u_n=\dfrac{n^2+3n-5}{n^3-6n^2+1}$
\quad
g)\ \ $u_n=n\sqrt{n}-n$
\quad
h)\ \ $u_n=(-2n+3)\dfrac{n+3}{-n^2+n+6}$
\vspd
i)\ \ $u_n=\dfrac{n}{n+\sqrt{n}}$
\quad
j)\ \ $u_n=\dfrac{9-n^2}{(n+1)(2n+1)}$
\quad
k)\ \ $u_n=\dfrac13-\dfrac{n}{(2n+1)^2}$
\quad
l)\ \ $u_n=\dfrac{2}{3n}-\dfrac{2n^2+3}{3n^2+n+1}$
\enex
\subsection{Autres théorèmes de convergence}
\subsubsection{Théorèmes de comparaison}
\vspace{-0.6cm}
\bgth{ {\it\ul{Théorème des gendarmes pour les suites}}
\vspd
Soit $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites telles que,
\[\mbox{pour tout entier $n$, } \ \
v_n\leq u_n \leq w_n \ .
\]
Si de plus $\dsp\lim_{n\to+\infty}v_n=\lim_{n\to+\infty}w_n=l$,
alors $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=l$.
}
\bgcorol{
Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que, pour tout entier
$n$, $u_n\geq v_n$.
\vsp
$\bullet$ Si $\dsp\lim_{n\to+\infty}v_n=+\infty$,
alors $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.
\vsp
$\bullet$ Si $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty$,
alors $\dsp\lim_{n\to+\infty}v_n=-\infty$.
}
\bgex {\sl D'après BAC}
$(u_n)$ est une suite définie par $u_0=1$ et,
pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+2n+3$.
\bgen[a.]
\item Etudier le sens de variation de $(u_n)$.
\item Démontrer par récurrence que,
pour tout entier $n$, $u_n=(n+1)^2$.
\item En déduire que, pour tout entier $n$,
$u_n\geqslant n^2$.
\item La suite $(u_n)$ est-elle minorée ? majorée ?
Justifier.
\item Donner la limite de $(u_n)$.
\enen
\enex
\bgex
Soit $(a_n)$ la suite définie par $a_0=1$ et, pour tout entier $n$, par $a_{n+1}=\dfrac13a_n+n-2$.
\bgen
\item\bgmp[t]{12cm}\vspace{-1em}\bgen[a)]\item Quelle est la valeur retournée lors de l'appel \textit{fonction(3)} de la fonction python ci-contre ?
\item Qu'affiche l'instruction suivante ?\\ \hspace*{1em}\textit{for i in range(10)\!:\,print(fonction(i))}
\enen
\enmp
\hfill
\fbox{\bgmp[t]{4cm}
def fonction(n):\\
\hspace*{1em}a=1\\
\hspace*{1em}for p in range(n):\\
\hspace*{2em}a=1/3*a+p-2\\
\hspace*{1em}return(a)
\enmp}
\item Montrer par récurrence que, pour tout entier $n\geqslant7$, on a
$a_n\geqslant n-3$.
\item En déduire la limite de la suite $(a_n)$.
\enen
\enex
\subsubsection{Suites minorées, majorées et bornées}
\vspace{-0.3cm}
\bgdef{Une suite $(u_n)$ est dite:
\bgit
\item[$\bullet$] \textbf{minorée} lorsque qu'il existe un réel
$m$ tel que, pour tout entier~$n$,
$u_n\geqslant m$.
\item[$\bullet$] \textbf{majorée} lorsque
qu'il existe un réel
$M$ tel que, pour tout entier $n$,
$u_n\leqslant M$.
\item[$\bullet$] \textbf{bornée} lorsqu'elle
est à la fois minorée et majoréé, c'est-à-dire lorsqu'il existe deux
réels $m$ et $M$ tels que, pour tout entier $n$,
$m\leqslant u_n\leqslant M$.
\enit
}
\vspd\noindent
\ul{Ex:}
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=\sin(n)+n$.
Alors, pour tout entier $n$, comme $\sin(n)\geqslant -1$,
$u_n=\sin(n)+n\geqslant -1+n\geqslant -1+0=-1$.
Ainsi, cette suite $(u_n)$ est minorée par $m=-1$.
\vspd
De plus, pour tout entier $n$, $u_n=\sin(n)+n\geqslant -1+n$, ce qui
montre que la suite $(u_n)$ n'est pas majorée, et donc n'est pas
bornée non plus.
\vspd\noindent
\ul{Remarque:} Tout nombre inférieur à $m$ est aussi un minorant.
En effet, pour tout entier $n$ on a aussi par exemple, $n$,
$u_n\geqslant -10\geqslant -210\geqslant \dots$
\vspq\noindent
\ul{Ex:}
$\bullet$\ $(u_n)$ définie pour $n\geq 1$ par
$\dsp u_n=3\sin\lp\frac{1}{n}\rp+2$, alors $(u_n)$ est bornée:
$\forall n\geq 1\,,\ -1\leq u_n\leq 5$.
\vspd
$\bullet$ $(v_n)$ définie par $\dsp v_n=\frac{3}{2+n}$ est bornée,
car, $\dsp\forall n\geq 0\,,\ 0 \leq v_n \leq \frac{3}{2}$
\bgth{
Toute suite monotone et bornée est convergente:
\vsp
\bgit
\item[$\bullet$] Toute suite croissante et majorée est convergente.
\vsp
\item[$\bullet$] Toute suite décroissante et minorée est convergente.
\enit
}
\vspq\noindent
\ul{Remarque:} Ce théorème permet de montrer qu'une suite converge,
mais ne fournit aucun moyen pour déterminer cette limite.
\bgex Soit la suite $u$ définie par $u_0=5$ et
$u_{n+1}=\sqrt{3u_n+1}$
\bgen
\item Montrer que $(u_n)$ est décroissante.
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est minorée.
\item En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
\enen
\enex
\subsubsection{Point fixe}
\vspace{-1em}
\bgth{{\bf Point fixe}
Soit une suite $(u_n)$ définie par une relation de récurrence du type
$u_{n+1}=f(u_n)$.
Si la suite $(u_n)$ converge vers un réel $l$, alors,
la limite $l$ vérifie la relation $f(l)=l$.
\vsp
$l$ s'appelle un point fixe pour la fonction $f$.
}
\vspd
\bgex
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+5}$.
\bgen
\item Montrer que cette suite est croissante.
\item Montrer que pour tout entier $n$, $0\leq u_n\leq 3$.
En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
\item Déterminer la limite $l$ de la suite $(u_n)$.
\enen
\enex
\bgex On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
$f(x)=\dfrac32x$, et la suite $(u_n)$ définie par
$u_0=3$, puis pour tout entier $n$,
$u_{n+1}=f(u_n)$.
\bgen
\item Appliquer le théorème du point fixe à la suite $(u_n)$.
\item Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$ et conjecturer l'expression de
$u_n$ en fonction de $n$.
Démontrer cette conjecture.
Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ? Quelle est sa limite ?
\enen
\enex
\bgex
Soit la suite $u$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier
$n$, par \ \ $\dsp u_{n+1}=4-\frac{3}{u_n}$.
\vsp
\bgit
\item[1.]
\bgit
\item[a)] Dans un repère orthonormal (unité graphique 4cm), tracer
la droite $\Delta$ d'équation $y=x$ et la courbe $\Cf$
représentant la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par
l'expression \ \ $\dsp f(x)=4-\frac{3}{x}$.
\item[b)] Placer sur l'axe des abscisses, et sans effectuer aucun
calcul, les termes $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
\item[c)] Quelle conjecture peut-on faire sur la suite $u$.
\enit
\vspd
\item[2.]
\bgit
\item[a)] Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\N$,\ \
$2\leq u_n\leq 3$.
\item[b)] Démontrer que la suite $u$ est croissante, et en déduire
qu'elle converge.
\item[c)] Déterminer alors la limite de la suite $u$.
\enit
\enit
\enex
\bgex
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=xe^{-x}$ ainsi que la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1}=f(u_n)$.
\bgen
\item\bgen[a)]
\item Dresser le tableau de variations de $f$ et tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ de $f$.
\item Construire sur le graphique précédent les points $A_0$, $A_1$ et $A_2$ d'ordonnées nulles et d'abscisses repsectives $u_0$, $u_1$ et $u_2$.
\item Conjecturer le sens de variation de la suite et sa limite.
\enen
\item \bgen[a)]
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n$, on a $u_n>0$.
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
\item Montrer que la suite $(u_n)$ converge vers une limite $l$.
Déterminer $l$.
\enen
\item On considère la somme
$\dsp S_n=\sum_{k=0}^nu_k=u_0+u_1+\dots+u_n$.
\'Ecrire un algorithme/programme qui permet de calculer $S_n$ pour $n$ quelconque donné.
Calculer $S_{100}$.
\enen
\enex
\bgex
Soit $(S_n)$ et $(T_n)$ les deux suites définies, pour tout entier naturel $n$, par \vspace{-.9em}
\[S_n=\sum_{k=0}^n\dfrac1{3^k}=1+\dfrac13+\dots+\dfrac1{3^n}
\qquad et \qquad
T_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{k}{3^k}=\dfrac13+\dfrac2{3^2}+\dots+\dfrac{n}{3^n}\]
\vspace{-1.5em}
\bgen
\item\bgen[a.]
\item Pour tout entier $n$, exprimer $S_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire $\dsp\lim_{n\to+\infty}S_n$
\enen
\item \bgen[a.]
\item Montrer que la suite $(T_n)$ est croissante.
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$,
$T_{n+1}=\dfrac{S_n+T_n}3$.
\item Montrer par récurrence que, pour tout entier $n\geqslant1$, on a $T_n\leqslant1$.
\item En déduire que la suite $(T_n)$ converge vers un réel $l$.
Déterminer $l$.
\enen
\enen
\enex
\subsection{Suites arithmétiques et géométriques}
\bgprop{
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de
raison $r$.
Alors pour tout entier $n$, $u_n=u_0+nr$ et
\bgit
\item[$\bullet$] si $r>0$, alors
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n=+\infty$
\item[$\bullet$] si $r<0$, alors
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n=-\infty$
\enit
}
\bgex
$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=3$ et, pour tout entier $n$,
$u_{n+1}=\dfrac{3u_n}{3+2u_n}$.
Pour tout entier $n$, on pose $v_n=\dfrac{3}{u_n}$.
\bgen
\item Démontrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique.
\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
\enen
\enex
\bgex
\bgen
\item Soit $a$ un réel strictement positif.
Démontrer par récurrence que pour tout entier $n$,
\quad
$(1+a)^n\geqslant 1+na$.
\item Soit $(v_n)$ une suite géométrique de premier terme $v_0>0$ et
de raison $q>1$.
Montrer que\quad $\dsp\lim_{n\to+\infty} v_n=+\infty$ .
\enen
\enex
\bgth{
Soit $q$ un réel, alors
\bgit
\item[$\bullet$] Si $-1<q<1$, alors la suite $(q^n)$ converge vers
$0$: \quad$\dsp\lim_{n\to+\infty} q^n=0$.
\item[$\bullet$] Si $q>1$, alors la suite $(q^n)$ diverge vers
$+\infty$: \quad$\dsp\lim_{n\to+\infty} q^n=+\infty$.
\item[$\bullet$] Si $q\leqslant-1$, alors la suite $(q^n)$ n'a pas
de limite
\item[$\bullet$] Si $q=1$, alors la suite $(q^n)$ est constante,
$q^n=1$ pour tout entier $n$, et donc aussi,
\quad$\dsp\lim_{n\to+\infty} q^n=1$.
\enit
}
\bgproof{
Soit $q>1$, alors $a=q-1>0$, et on a démontré à l'exercice 20 que,
pour tout entier $n$, $q^n=(1+a)^n\geqslant 1+na$.
Or, comme $a>0$, $\dsp\lim_{n\to+\infty}1+na=+\infty$,
et alors, d'après le corolaire du théorème des gendarmes,
on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}q^n=+\infty$.
}
\bgex
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et,
pour tout entier $n$,
$u_{n+1}=\dfrac14 u_n+6$ et la suite $(v_n)$ définie sur $\N$ par
$v_n=u_n-8$.
\bgen
\item Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique.
\item En déduire l'expression de $v_n$, puis de $u_n$ en fonction de
$n$.
\item Déterminer les limites des suites $(v_n)$ et $(u_n)$.
\enen
\enex
\bgex
Soit la suite $u$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier
$n$,\ \ $\dsp u_{n+1}=\frac{5u_n-1}{u_n+3}$.
\vspace{-0.5cm}
\paragraph{$1^{\scriptsize{\mbox{ère}}}$ méthode}
a) vérifier que pour tout $n\in\N$,
$\dsp u_{n+1}=5-\frac{16}{u_n+3}$.
\bgit
\item[b)] Montrer que, pour tout $n\in\N$, $u_n\in[1;2]$.
\item[c)] Etablir la relation
$\dsp u_{n+1}-u_n=-\frac{(u_n-1)^2}{u_n+3}$, et en déduire le sens
de variation de $u$.
\item[d)] Démontrer que $u$ converge et déterminer sa limite $l$.
\enit
\vspace{-0.3cm}
\paragraph{$2^{\scriptsize{\mbox{ème}}}$ méthode}
On considère la suite $v$ définie pour tout $n\in\N$ par \ \
$\dsp v_n=\frac{1}{u_n-1}$.
\bgit
\item[a)] Prouver que $v$ est une suite arithmétique de raison
$\dsp\frac{1}{4}$.
\item[b)] Exprimer pour tout $n$, $v_n$ puis $u_n$ en fontion de $n$.
\item[c)] En déduire la convergence de $u$ et sa limite.
\enit
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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