Calculs de limites de suites

Exercices corrigés et détaillés

Limites usuelles et formes indéterminées

Exercices corrigés: calculs de limites de suites

1. u_n = n² + 3n − 1
   +∞
   Pas de forme indéterminée ici:  lim_n+∞n² = +∞ et  lim_n+∞3n = +∞ et donc, par addition des limites,

    lim_n+∞u_n = +∞
2. u_n = n³ − 3n − 1
   +∞
   Au contraire de la limite précédente, on est face ici à une forme indéterminée: "+∞−∞" car  lim_n+∞n³ = +∞ et  lim_n+∞3n = +∞ et, cette fois, on soustrait ces limites...
   On applique donc la méthode générale: factoriser par le terme prépondérant, ici n³, soit

   u_n = n³ 1 − 3n² − 1n³

   où on a alors,

    lim_n+∞n³ = +∞

   et pour le terme en facteur:

    lim_n+∞ 1 − 3n² − 1n³ = 1

   d'où, par produit des limites,

    lim_n+∞u_n = +∞
3. u_n = 2n + 1 / n + 325
   2
   On est face à une forme indeterminée: "∞∞".
   On factorise donc, au numérateur et au dénominateur, par les termes prépondérants:

   u_n = 2n 1 + 12n / n 1 + 325n = 2 × 1 + 12n / 1 + 325n

   avec les limites,

    lim_n+∞ 1 + 12n = 1

   et

    lim_n+∞ 1 + 325n = 1

   d'où, par produit (par 2) et quotient des limites, on obtient enfin

    lim_n+∞u_n = 2
4. u_n = 2n² − 3n + 2 / 1 − n
   −∞
   On factorise au numérateur et au dénominateur, par les termes prépondérants:

   u_n = 2n² 1 − 3n + 2n² / −n 1 − 1n = −2n × 1 − 3n + 2n² / 1 − 1n

   avec les limites,

    lim_n+∞−2n = −∞

   et

    lim_n+∞ 1 − 3n + 2n² = 1

   et

    lim_n+∞ 1 − 1n = 1

   On obtient donc finalement, par produit et quotient des limites,

    lim_n+∞u_n = −∞
5. u_n = 4n² + 1 / n(2n + 1)
   2
   On factorise au numérateur et au dénominateur par les termes prépondérants:

   u_n = 4n² 1 + 14n² / n×2n 1 + 12n = 2 × 1 + 14n² / 1 + 12n

   avec les limites,

    lim_n+∞ 1 + 14n² = 1

   et

    lim_n+∞ 1 + 12n = 1

   d'où, par produit (par 2) et quotient des limites, on obtient enfin

    lim_n+∞u_n = 2
6. u_n = 3 / 2n + 17
   0
   On a  lim_n+∞ n = +∞ et donc  lim_n+∞ 2n + 17 = +∞ puis enfin, par quotient des limites,

    lim_n+∞ u_n = 0
7. u_n = 3ⁿ
   +∞
   Il s'agit du terme général d'une suite géométrique, et comme 3 > 1, on a directement

    lim_n+∞ u_n = +∞
8. u_n = −5 × 0,5ⁿ + 2
   2
   Comme −1 < 0,5 < 1 on a

    lim_n+∞0,5ⁿ = 0

   On obtient alors, après multiplication et addition que

    lim_n+∞u_n = −5×0 + 2 = 2
9. u_n = 3 + 0,9ⁿ / 2 − 0,6ⁿ
   3 / 2
   Comme −1 < 0,9 < 1 on a

    lim_n+∞0,9ⁿ = 0

   et donc, la limite du numérateur est

    lim_n+∞3 + 0,9ⁿ = 3

   De même, comme −1 < 0,6 < 1 on a

    lim_n+∞0,6ⁿ = 0

   et donc, la limite du dénominateur est

    lim_n+∞2 − 0,6ⁿ = 2

   Par quotient des limites, on trouve alors que

    lim_n+∞u_n = 3 / 2
10. u_n = 3 + 2ⁿ / 2 − 3ⁿ
    0
    Comme 2 > 1 on a

     lim_n+∞2ⁿ = +∞

    et donc, la limite du numérateur est

     lim_n+∞3 + 2ⁿ = +∞

    De même, le dénominateur tend vers +∞ et le quotient est donc une forme indéterinée ∞ / ∞
    On factorise donc

    u_n = 2ⁿ32ⁿ + 1 / 3ⁿ23ⁿ + 1 = 2ⁿ / 3ⁿ × 32ⁿ + 1 / 23ⁿ + 1

    Comme 2 > 1 et 3 > 1 on a donc

     lim_n+∞2ⁿ =  lim_n+∞3ⁿ = +∞

    et donc,

     lim_n+∞ 32ⁿ = 0

    et

     lim_n+∞ 32ⁿ + 1 = 1

    et de même

     lim_n+∞ 23ⁿ + 1 = 1

    De plus on a

    2ⁿ / 3ⁿ = 2 / 3 ⁿ

    et comme −1 < 2 / 3 < 1 on a la limite

     lim_n+∞ 2 / 3 ⁿ = 0

    Enfin, par produit et quotient des limites, on obtient la limite

     lim_n+∞u_n = 0