Calculs d'intégrales et primitives

Exercices corrigés et détaillés

Calculs d'intégrales et formules de primitives

La formule fondamentale, reliant l'intégrale d'une fonction avec la primitive de la fonction à intégrer est:

∫ _b ^a f (x) dx = F(x) ab = F(b) − F(a)

Ainsi, pour calculer une intégrale, il faut tout d'abord bien connaître les formules de dérivées afin d'être capable d'identifier une primitive.
Ainsi, il est essentiel d'être au point sur le calcul de fonctions dérivées et notamment sur les formules de dérivation.
Avant de se lancer dans le calcul d'intégral, on peut revoir et refaire quelques exercices de calcul de primitives de fonctions.
On peut ensuite quand même préciser quelques formules de primitives et leur utilisation:

Recherche usuelle de primitives

Exercices corrigés: calculs d'intégrales

Calculer les intégrales suivantes:

I₁ = ∫ ₀ ¹ x dx
I₁ = 12
Une primitive de x est 12x² et donc
I₁ = 12 x² 01 = 121² − 120² = 12
I₂ = ∫ ₋₁ ² (3 − 2x) dx
I₂ = 6

Une primitive de f: x↦3 − 2x est F: x ↦3x − x² et donc,

I₂ = F(x) −12 = F(2) − F(−1) = 2 − (−4) = 6
I₃ = ∫ ₀ ² e^2x dx
I₃ = 12(e⁴ − 1 )
On a une fonction de la forme e^u dont une primitive est F: x ↦12e^2x et donc,

I₃ = F(x) 02 = F(2) − F(0) = 12e^2×2 − 12e^2×0 = 12e⁴ − 12
I₄ = ∫ ₀ ¹ 1(2x+1)² dx
I₄ = 13
On a une fonction à intégrer de la forme u'u² avec la fonction u(x) = 2x + 1 et donc u'(x) = 2
Une primitive et donc à rechercher sour la forme 1u.
On multiplie de plus par le bon coefficient pour bien retomber, en dérivant, sur la fonction à intégrer, pour trouver une primitive:
F(x) = −12× 12x + 1
dont la dérivée est bien alors
F' = −12× −u'u² = 1(2x+1)²
On calcule alors maintenant facilement l'intégrale:
I₄ = F(x) 01 = F(1) − F(0) = −16 − −12 = 13
I₅ = ∫ ₀ ¹ 3x + 1 dx
I₅ = 3ln(2)
On a tout d'abord par linéarité, I₅ = 3 ∫ ₀ ¹ 1x + 1 dx et la fonction à intégrer est de la forme u'u avec u(x) = x + 1, donc u'(x) = 1. Une primitive est alors ln(u), et donc
I₅ = 3 ln(x+1) 01 = 3 (ln(2) − ln(1) )
soit donc, comme ln(1)=0,
I₅ = 3ln(2)
I₆ = ∫ ₀ ¹ x²3 + 2x − 1 dx
I₆ = 19
Par linéarité, on cherche une primtive pour chaque terme de la fonction à intégrer
f (x) = 13x² + 2x − 1
soit une primitive
F (x) = 19x³ + x² − x
et alors
I₆ = F(x) 01 = F(1) − F(0)
avec
F(1) = 19×1³ + 1×1² − 1 = 19
et
F(0) = 19×0³ + 1×0² − 0 = 0
d'où
I₆ = 19
I₇ = ∫ ₀ ¹ x e^x²+1 dx
I₇ = 12ee−1
On a une fonction à intégrer de la forme u'e^u, qui est la dérivée de e^u, avec u(x) = x²+1 donc u'(x) = 2x.
En multipliant par le bon coefficient, une primitive est donc
F(x) = 12e^x²+1
et l'intégrale vaut alors
I₇ = F(x) 01 = F(1) − F(0)
soit
I₇ = 12e² − 12e¹ = 12ee−1
I₈ = ∫ ₀ ¹ x (x² −2)³ dx
I₈ = −158
On a une fonction à intégrer de la forme u'uⁿ dont une primitive est, à un coefficient multiplicateur prêt, uⁿ⁺¹, avec ici u(x) = x²−2 donc u'(x) = 2x.
Une primitive est alors, en multipliant par le bon coefficient,
F(x) = 18(x² −2)⁴
L'intégrale vaut donc
I₈ = F(x) 01 = F(1) − F(0)
avec
F(1) = 18(1² −2)⁴ = 18
et
F(0) = 18(0² −2)⁴ = 2
d'où
I₈ = 18 − 2 = −158
I₉ = ∫ ₀ ^π/2 cos(3x) dx
I₉ = −13
On a une fonction à intégrer de la forme u'cos(u) dont une primitive est, à un coefficient multiplicateur prêt qu'on précisera, sin(u), avec u(x) = 3x et donc u'(x) = 3 Une primitive est alors, en multipliant par le bon coefficient,
F(x) = 13sin(3x)
L'intégrale vaut donc
I₉ = F(x) 0π/2 = F(π/2) − F(0)
avec
F(π/2) = 13sin(3π/2) = 13×(−1) = −13
et
F(0) = 13sin(0) = 0
d'où la valeur de l'intégrale
I₉ = −13
I₁₀ = ∫ ₀ ² 3xx² + 1 dx
I₁₀ = 32ln(5)
la fonction à intégrer est de la forme u'u avec u(x) = x + 1, donc u'(x) = 1. Une primitive est alors ln(u), avec un coefficient en multiplication bien choisi:
F(x) = 32ln(x² + 1)
et alors
I₁₀ = 3 F(x) 02 = F(2) − F(0)
avec
F(2) = 32ln(2² + 1) = 32ln(5)
et
F(1) = 32ln(0² + 1) = 32ln(1) = 0
On trouve donc finalement que
I₁₀ = 32ln(5)
I₁₁ = ∫ ₋₁ ¹ 5x(x² + 1)² dx
I₁₁ = 0
On a, à un coefficient multiplicateur prêt, une fonction à intégrer de la forme u'u² avec la fonction u(x) = x² + 1 et donc u'(x) = 2x
Une primitive et donc à rechercher sour la forme 1u.
On multiplie de plus par le bon coefficient pour bien retomber, en dérivant, sur la fonction à intégrer, pour trouver une primitive:
F(x) = −52× 1x² + 1
dont la dérivée est bien alors
F' = −52× −u'u² = 5x(x²+1)²
On calcule alors maintenant facilement l'intégrale:
I₁₁ = F(x) −11 = F(1) − F(−1) = −54 − −54 = 0
Remarque: ce résultat était prévisible car la fonction à intégrer est impaire, et ainsi les deux intégrales de −1 à 0 et de 0 à 1 sont opposées et leur somme est nulle.
I₁₂ = ∫ ₁ ² x² + 2x dx
I₁₂ = 73 + 2 ln(2)
Une primitive de la fonction à intégrer est
F(x) = 13x³ + 2 ln(x)
d'où la valeur de l'intégrale:
I₁₂ = F(x) 12 = F(2) − F(1)
soit
I₁₂ = 83 + 2 ln(2) − 13 + 2 ln(1)
et donc
I₁₂ = 73 + 2 ln(2)
I₁₃ = ∫ ₀ ¹ 3e^xe^x + 3 dx
I₁₃ = 3 lne + 34
La fonction à intégrer est de la forme u'u avec u(x) = e^x + 3, donc u'(x) = e^x. Une primitive est alors ln(u), avec un coefficient en multiplication bien choisi:
F(x) = 3 ln(e^x + 3)
et alors
I₁₃ = F(x) 01 = F(1) − F(0)
avec
F(1) = 3 ln(e + 3)
et
F(0) = 3 ln(4)
On trouve donc finalement que
I₁₃ = 3 ln(e + 3) − 3 ln(4)
ou encore, en utilisant les règles de calcul algébrique du logarithme
I₁₃ = 3 lne + 34
I₁₄ = ∫ ₀ ¹ (2x−1)⁴ dx
I₁₄ = 15
On a une fonction à intégrer de la forme u'uⁿ dont une primitive est, à un coefficient multiplicateur prêt, uⁿ⁺¹, avec ici u(x) = 2x − 1 donc u'(x) = 2.
Une primitive est alors, en multipliant par le bon coefficient,
F(x) = 110(2x − 1)⁵
L'intégrale vaut donc
I₁₄ = F(x) 01 = F(1) − F(0)
avec
F(1) = 110×1⁵ = 110
et
F(0) = 110(−1)⁵ = −110
d'où
I₁₄ = 210 = 15
I₁₅ = ∫ ₀ ^1/3 2 e^−3x+1 dx
I₁₅ = 23(e − 1)
On a une fonction de la forme u'e^u dont une primitive est e^u et donc, en multipliant par le bon coefficient réel, une primitive est
F(x) = −23e^−3x+1
d'où le calcul de l'intégrale
I₁₅ = F(x) 01/3 = F(1/3) − F(0)
soit
I₁₅ = −23e⁰ − −23e¹ = −23(1−e)
soit encore, I₁₅ = 23(e − 1)
I₁₆ = ∫ ₋₁ ¹ 4x e^−x²+1 dx
f '(x) = 3x³ − 27x − 6x³(3x + 1)²
On a une fonction de la forme u'e^u dont une primitive est e^u et donc, en multipliant par le bon coefficient réel, une primitive est
F(x) = −2 e^−x²+1
d'où le calcul de l'intégrale
I₁₆ = F(x) −11 = F(1) − F(−1)
Or
F(1) = F(−1) = −2 e⁰ = −2
et donc
I₁₆ = 0

Voir aussi: