Calculs d'intégrales par intégration par parties

Exercices corrigés et détaillés

Formules d'intégration par parties

Exercices corrigés: calculs d'intégrales

1. I₁ = ∫ ₀ ¹ xe^x dx
   I₁ = 1
   On va dériver le x qui va ainsi disparaître.
   On pose ainsi u(x)=x et v'(x)=e^x, donc u'(x)=1 et v(x)=e^x.
   La formule d'intégration par parties s'écrit alors

   I₁ = xe^x 01 − ∫ ₀ ¹ 1e^x dx

   soit alors

   I₁ = 1e¹ − 0e⁰ − e^x 01

   et donc

   I₁ = e − (e¹ − e⁰) = 1
2. I₂ = ∫ ₀ ^π x cos(x) dx
   I₂ = −2
   On va dériver le x qui va ainsi disparaître.
   On pose ainsi u(x)=x et v'(x)=cos(x), donc u'(x)=1 et v(x)=sin(x).
   La formule d'intégration par parties s'écrit alors

   I₂ = x sin(x) 0π − ∫ ₀ ^π 1sin(x) dx

   soit alors

   I₂ = π sin(π) − 0sin(0) − −cos(x) 0π

   et donc

   I₂ = 0 − (−cos(π) + cos(0)) = − 2
3. I₃ = ∫ ₁ ² x ln(x) dx
   I₂ = 2ln(2) − 34
   On dérive le logarithme.
   On pose ainsi u(x)=ln(x) et v'(x)=x, donc u'(x)=1x et v(x)=12x².
   La formule d'intégration par parties s'écrit alors

   I₃ = ln(x)12x² 12 − ∫ ₁ ² 1x × 12x² dx

   soit alors

   I₃ = 2ln(2) − 12 ∫ ₁ ² x dx

   donc

   I₃ = 2ln(2) − 12 12x² 12

   soit aussi

   I₃ = 2ln(2) − 12 2 − 12

   et finalement

   I₃ = 2ln(2) − 34
4. I₄ = ∫ ₁ ² ln(x) dx
   I₄ = 2ln(2) − 1
   Une astuce à connaître ! On écrit la fonction à intégrer, le logarithme, sous la forme du produit ln(x)×1, et on pose alors u(x)=ln(x) et v'(x)=1, donc u'(x)=1x et v(x)=x.
   La formule d'intégration par parties s'écrit alors

   I₄ = ln(x)x 12 − ∫ ₁ ² 1x ×x dx

   soit alors

   I₄ = 2ln(2) − ∫ ₁ ² 1 dx

   donc

   I₄ = 2ln(2) − x 12

   soit aussi

   I₄ = 2ln(2) − (2 − 1)

   et finalement

   I₄ = 2ln(2) − 1
5. I₅ = ∫ ₋₁ ¹ 4xe^x+1 dx
   I₅ = 8
   On va dériver le x qui va ainsi disparaître.
   On pose ainsi u(x)=4x et v'(x)=e^x+1, donc u'(x)=4 et v(x)=e^x+1.
   La formule d'intégration par parties s'écrit alors

   I₅ = 4xe^x+1 −11 − ∫ ₋₁ ¹ 4e^x+1 dx

   soit alors

   I₅ = 4e² − 4(−1)e⁰ − 4e^x+1 −11

   et donc

   I₁ = 4(e²+1) − (4e² − 4e⁰) = 8
6. I₆ = ∫ ₀ ¹ x²e^x dx
   I₆ = 19
   Cette fois, pour faire "disparaître" le x² il faut dériver deux fois: on va donc intégrer par parties deux fois successivement.
   On pose ainsi u(x)=x² et v'(x)=e^x, donc u'(x)=2x et v(x)=e^x.
   La formule d'intégration par parties s'écrit alors

   I₆ = x²e^x 01 − ∫ ₀ ¹ 2xe^x dx

   soit alors

   I₆ = e − 2J

   en posant l'intégrale

   J = ∫ ₀ ¹ xe^x dx

   On intègre alors à nouveau par parties cette intégrale, qui est la première posée et corrigée dans cette page, et pour laquelle on trouve

   J = 1

   
   Finalement, on trouve donc que

   I₆ = e − 2