Calculs d'intégrales par intégration par parties

Exercices corrigés et détaillés

Formules d'intégration par parties

Pour u et v deux fonctions dérivables, on a la formule d'intégration par parties:

∫ _a ^b uv' = uv ab − ∫ _a ^b u'v

On transforme ainsi à l'aide de cette formule d'IPP une intégrale en une autre, qu'on espère plus simple à calculer.
Il reste ainsi toujours une intégrale à calculer, par exemple en recherchant une primitive de la fonction à intégrer et en calculant l'intégrale avec une primitive.

Exercices corrigés: calculs d'intégrales

Calculer les intégrales suivantes:

I₁ = ∫ ₀ ¹ xe^x dx
I₁ = 1
On va dériver le x qui va ainsi disparaître.
On pose ainsi u(x)=x et v'(x)=e^x, donc u'(x)=1 et v(x)=e^x.
La formule d'intégration par parties s'écrit alors
I₁ = xe^x 01 − ∫ ₀ ¹ 1e^x dx
soit alors
I₁ = 1e¹ − 0e⁰ − e^x 01
et donc
I₁ = e − (e¹ − e⁰) = 1
I₂ = ∫ ₀ ^π x cos(x) dx
I₂ = −2
On va dériver le x qui va ainsi disparaître.
On pose ainsi u(x)=x et v'(x)=cos(x), donc u'(x)=1 et v(x)=sin(x).
La formule d'intégration par parties s'écrit alors
I₂ = x sin(x) 0π − ∫ ₀ ^π 1sin(x) dx
soit alors
I₂ = π sin(π) − 0sin(0) − −cos(x) 0π
et donc
I₂ = 0 − (−cos(π) + cos(0)) = − 2
I₃ = ∫ ₁ ² x ln(x) dx
I₂ = 2ln(2) − 34
On dérive le logarithme.
On pose ainsi u(x)=ln(x) et v'(x)=x, donc u'(x)=1x et v(x)=12x².
La formule d'intégration par parties s'écrit alors
I₃ = ln(x)12x² 12 − ∫ ₁ ² 1x × 12x² dx
soit alors
I₃ = 2ln(2) − 12 ∫ ₁ ² x dx
donc
I₃ = 2ln(2) − 12 12x² 12
soit aussi
I₃ = 2ln(2) − 12 2 − 12
et finalement
I₃ = 2ln(2) − 34
I₄ = ∫ ₁ ² ln(x) dx
I₄ = 2ln(2) − 1
Une astuce à connaître ! On écrit la fonction à intégrer, le logarithme, sous la forme du produit ln(x)×1, et on pose alors u(x)=ln(x) et v'(x)=1, donc u'(x)=1x et v(x)=x.
La formule d'intégration par parties s'écrit alors
I₄ = ln(x)x 12 − ∫ ₁ ² 1x ×x dx
soit alors
I₄ = 2ln(2) − ∫ ₁ ² 1 dx
donc
I₄ = 2ln(2) − x 12
soit aussi
I₄ = 2ln(2) − (2 − 1)
et finalement
I₄ = 2ln(2) − 1
I₅ = ∫ ₋₁ ¹ 4xe^x+1 dx
I₅ = 8
On va dériver le x qui va ainsi disparaître.
On pose ainsi u(x)=4x et v'(x)=e^x+1, donc u'(x)=4 et v(x)=e^x+1.
La formule d'intégration par parties s'écrit alors
I₅ = 4xe^x+1 −11 − ∫ ₋₁ ¹ 4e^x+1 dx
soit alors
I₅ = 4e² − 4(−1)e⁰ − 4e^x+1 −11
et donc
I₁ = 4(e²+1) − (4e² − 4e⁰) = 8
I₆ = ∫ ₀ ¹ x²e^x dx
I₆ = 19
Cette fois, pour faire "disparaître" le x² il faut dériver deux fois: on va donc intégrer par parties deux fois successivement.
On pose ainsi u(x)=x² et v'(x)=e^x, donc u'(x)=2x et v(x)=e^x.
La formule d'intégration par parties s'écrit alors
I₆ = x²e^x 01 − ∫ ₀ ¹ 2xe^x dx
soit alors
I₆ = e − 2J
en posant l'intégrale
J = ∫ ₀ ¹ xe^x dx
On intègre alors à nouveau par parties cette intégrale, qui est la première posée et corrigée dans cette page, et pour laquelle on trouve
J = 1

Finalement, on trouve donc que
I₆ = e − 2

Voir aussi: