Bac Amérique du nord 2013 - Suites récurrentes

Calculs à l'aide d'un algorithme et d'une suite intermédiaire logarithmique

Exercice corrigé Bac, Amérique du nord 2013: un exercice complet sur les suites récurrentes, démonstration par récurrence, et algorithme


On considère la suite $\left( u_n\rp définie par $u_0=1 et, pour tout entier naturel $n,
u_{n+1} = \sqrt{2u_n}.


  1. On considère l'algorithme suivant:

    \begin{tabular}{|ll|}\hline Variables :&$n$ est un entier naturel\\ &$u$ est un r\'eel positif\\ Initialisation :& Demander la valeur de $n$\\ &Affecter \`a $u$ la valeur 1\\ Traitement :&Pour $i$ variant de 1 \`a $n$ :\\ &\hspace{0.3cm}| Affecter \`a $u$ la valeur $\sqrt{2u}$\\ &Fin de Pour\\ Sortie :& Afficher $u$\\ \hline \end{tabular}

    1. Donner une valeur approchée à $10^{-4} près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit $n=3.
    2. Que permet de calculer cet algorithme ?
    3. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de $n.
      \begin{tabular}{|c|*{5}{c|}}\hline $n$ & 1 &5 &10 &15 &20\\ \hline Valeur affich\'ee &1,4142 &1,9571 &1,9986 &1,9999 &1,9999\\ \hline \end{tabular}

      Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(u_{n}\right) ?
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < u_{n} \leqslant 2.
    2. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right).
    3. Démontrer que la suite $\left( u_n\rp est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
  3. On considère la suite $\left( v_n\rp définie, pour tout entier naturel $n, par $v_{n} = \ln u_{n} - \ln 2.
    1. Démontrer que la suite $\left( v_n\rp est la suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2} et de premier terme $v_0=-\ln 2.
    2. Déterminer, pour tout entier naturel $n, l'expression de $v_{n} en fonction de $n, puis de $u_{n} en fonction de $n.
    3. Déterminer la limite de la suite $\left( u_n\rp.
    4. Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de $n telle que $u_n>1,999.
      \begin{tabular}{|l l|}\hline Variables:&$n$ est un entier naturel\\ & $u$ est un r\'eel\\ Initialisation:&Affecter \`a $n$ la valeur $0$\\ &Affecter \`a $u$ la valeur 1\\ Traitement:&\\ &\\ Sortie:&\\ \hline \end{tabular}



Autres ressources, exercices, cours, …