Exercice Bac - Nouvelle Calédonie 2015

Suites, algorithme et suite de nombres complexes

Exercice corrigé bac 2015, Nouvelle Calédonie - Suites, algorithme et suite géométrique de nombres complexes


On note $\left(u_n\right) et $\left(v_n\right) les suites réelles définies, pour tout entier naturel $n, par
u_0 = 1 ~~v_0 = 0~~\text{et} \quad \left\{\begin{array}{l c l} u_{n+1}&=&\sqrt{3}u_n - v_n\\ v_{n+1}&=&u_n + \sqrt{3}v_n \end{array}\right..


  1. Calculer les valeurs de $u_1,\:v_1,\:u_2,\:v_2.
  2. On souhaite construire un algorithme qui affiche les valeurs de $u_N et $v_N pour un entier naturel $N donné.
    1. On donne l'algorithme suivant :
      \begin{tabular}{|l|l|c|}\hline Entr\'ee : &$N$ est un nombre entier\\ Variables : &$K$ est un nombre entier\\ &$S$ est un nombre r\'eel\\ &$T$ est un nombre r\'eel\\ Initialisation :&Affecter 1 \`a $S$\\ &Affecter 0 \`a $T$\\ &Affecter 0 \`a $K$\\ Traitement : &Tant que $K < N$\\ &\hspace{1cm}Affecter $\sqrt{3}S - T$ \`a $S$\\ &\hspace{1cm}Affecter $S + \sqrt{3} T$ \`a $T$\\ &\hspace{1cm}Affecter $K + 1$ \`a $K$\\ &Fin Tant que\\ Sortie :&Afficher $S$\\ &Afficher $T$\\ \hline \end{tabular}

      Faire fonctionner cet algorithme pour $N = 2. Pour cela, on recopiera et complétera le tableau de variables ci-dessous :
      \begin{tabular}{|*{3}{c|}}\hline \hspace*{1cm}$S$\hspace*{1cm} & \hspace*{1cm}$T$\hspace*{1cm} & \hspace*{1cm}$K$\hspace*{1cm}\\ \hline 1 &0 &0\\ \hline $\sqrt{3}$&$\sqrt{3}$&1\rule[-1mm]{0mm}{5mm}\\ \hline &&\\ \hline \end{tabular}


    2. L'algorithme précédent affiche t-il les valeurs de $u_N et $v_N pour un entier $N donné ?
      Dans le cas contraire, écrire sur la copie une version corrigée de l'algorithme proposé qui affiche bien les valeurs de $u_N et $v_N pour un entier $N.
  3. On pose, pour tout entier naturel $n, $z_n = u_n + \text{i}v_n.
    On note $a le nombre complexe $a = \sqrt{3} + \text{i}.
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n,
      z_{n+1} = az_n.

    2. Écrire $a sous forme exponentielle.
    3. En déduire que, pour tout entier naturel $n,
      \renewcommand\arraystretch{1.7} \left\{\begin{array}{l c l} u_n&=&2^n \cos \left(\dfrac{n\pi}{6}\right)\\ v_n&=&2^n \sin \left(\dfrac{n\pi}{6}\right) \end{array}\right.


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