Exercice corrigé bac 2015, Nouvelle Calédonie - Suites, algorithme et nombres complexes

Suites, algorithme et suite de nombres complexes



Exercice corrigé de mathématiques: Exercice corrigé bac 2015, Nouvelle Calédonie - Suites, algorithme et suite géométrique de nombres complexes

Exercice - énoncé:

On note $\left(u_n\right) et $\left(v_n\right) les suites réelles définies, pour tout entier naturel $n, par
u_0 = 1 ~~v_0 = 0~~\text{et} \quad \left\{\begin{array}{l c l} u_{n+1}&=&\sqrt{3}u_n - v_n\\ v_{n+1}&=&u_n + \sqrt{3}v_n \end{array}\right..


  1. Calculer les valeurs de $u_1,\:v_1,\:u_2,\:v_2.
  2. On souhaite construire un algorithme qui affiche les valeurs de $u_N et $v_N pour un entier naturel $N donné.
    1. On donne l'algorithme suivant :
      \begin{tabular}{|l|l|c|}\hline Entr\'ee : &$N$ est un nombre entier\\ Variables : &$K$ est un nombre entier\\ &$S$ est un nombre r\'eel\\ &$T$ est un nombre r\'eel\\ Initialisation :&Affecter 1 \`a $S$\\ &Affecter 0 \`a $T$\\ &Affecter 0 \`a $K$\\ Traitement : &Tant que $K < N$\\ &\hspace{1cm}Affecter $\sqrt{3}S - T$ \`a $S$\\ &\hspace{1cm}Affecter $S + \sqrt{3} T$ \`a $T$\\ &\hspace{1cm}Affecter $K + 1$ \`a $K$\\ &Fin Tant que\\ Sortie :&Afficher $S$\\ &Afficher $T$\\ \hline \end{tabular}

      Faire fonctionner cet algorithme pour $N = 2. Pour cela, on recopiera et complétera le tableau de variables ci-dessous :
      \begin{tabular}{|*{3}{c|}}\hline \hspace*{1cm}$S$\hspace*{1cm} & \hspace*{1cm}$T$\hspace*{1cm} & \hspace*{1cm}$K$\hspace*{1cm}\\ \hline 1 &0 &0\\ \hline $\sqrt{3}$&$\sqrt{3}$&1\rule[-1mm]{0mm}{5mm}\\ \hline &&\\ \hline \end{tabular}


    2. L'algorithme précédent affiche t-il les valeurs de $u_N et $v_N pour un entier $N donné ?
      Dans le cas contraire, écrire sur la copie une version corrigée de l'algorithme proposé qui affiche bien les valeurs de $u_N et $v_N pour un entier $N.
  3. On pose, pour tout entier naturel $n, $z_n = u_n + \text{i}v_n.
    On note $a le nombre complexe $a = \sqrt{3} + \text{i}.
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n,
      z_{n+1} = az_n.

    2. Écrire $a sous forme exponentielle.
    3. En déduire que, pour tout entier naturel $n,
      \renewcommand\arraystretch{1.7} \left\{\begin{array}{l c l} u_n&=&2^n \cos \left(\dfrac{n\pi}{6}\right)\\ v_n&=&2^n \sin \left(\dfrac{n\pi}{6}\right) \end{array}\right.


Correction exercice


  1. $u_1 = \sqrt{3}- 0 = \sqrt{3} ; $v_1 = 1 + \sqrt{3} \times 0 = 1 ; $u_2 = \sqrt{3} \times \sqrt{3} - 1 = 3 - 1 = 2 ; $v_2 = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}.


    1. \begin{tabular}{|l|l|c|}\hline $S$ &$T$ &$K$\\ \hline 1 &0 &0\\ \hline $\sqrt{3}$ &$\sqrt{3}$ &1\rule[-1mm]{0mm}{5mm}\\ \hline $3-\sqrt{3}$&$6-\sqrt{3}$ &$2$\\ \hline \end{tabular}


      Les valeurs trouvées pour $N = 2 ne correspondent pas à celles de $u_2 et $v_2.
      L'algorithme n'affiche donc pas les valeurs de $u_N et $v_N.
      Une version modifiée de l' algorithme est par exemple :
      \begin{tabular}{|*{3}{c|}}\hline Entr\'ee: &$N$ est un nombre entier\\ Variables: &$K$ est un nombre entier\\ &$S$ est un nombre r\'eel\\ &$T$ est un nombre r\'eel\\ &$U$ est un nombre r\'eel\\ Initialisation :&Affecter 1 \`a $S$\\ &Affecter 0 \`a $T$\\ &Affecter 0 \`a $K$\\ Traitement:&Tant que $K < N$\\ &\hspace{1cm}Affecter $S$ \`a $U$\\ &\hspace{1cm}Affecter $\sqrt{3}U-T$ \`a $S$\\ &\hspace{1cm}Affecter $U+\sqrt{3}T$ \`a $T$\\ &\hspace{1cm}Affecter $K+1$ \`a $K$\\ &Fin Tant que\\ Sortie: &Afficher $S$\\ &Afficher $T$\\ \hline \end{tabular}

    1. $ z_{n+1} = u_{n+1} + i v_{n+1} = \sqrt{3}u_n- v_n + i\left( u_n+\sqrt{v_n}\right) = \lp\sqrt{3} + i\right) u_n + \lp- 1 +i \sqrt{3}\right) v_n.
      Or $az_n =\lp\sqrt{3} + i \rp\lp u_n + i v_n\rp = \lp\sqrt{3} + i\right) u_n + \lp i \sqrt{3} - 1 \right) v_n = z_{n+1}.
    2. $a pour module $|a| = \sqrt{3 + 1} = 2. D'où $a = 2\lp\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{i}{2}\right) =2\left( \cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right) = 2e^{i\frac{\pi}{6}}.
    3. La suite $\left( z_n\rp est une suite géométrique de raison $a et de premier terme $z_0 = u_0 = 1.
      Par conséquent $z_n = a^n pour tout entier naturel $n, soit $z_n = 2^n e^{ni\frac{\pi}{6}}.
      Enfin en prenant la partie réelle et la partie imaginaire :
      $u_n = 2^n\cos\lp\dfrac{n\pi}{6}\rp et $v_n = 2^n\sin\lp\dfrac{n\pi}{6}\rp.


Cacher la correction


Voir aussi:
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