Exercice type Bac
Suite récurrente définie par une fonction, démonstration par récurrence, et limite
Exercice corrigé Bac: exponentielle, suite d'intégrales
Bac S, 19 juin 2014, 5 points
Partie A
Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on désigne par
la courbe représentative de la fonction 
définie sur 
par:
- Justifier que
passe par le point A de coordonnées 
.
- Déterminer le tableau de variation de la fonction
. On
précisera les limites de 
en 
et en 
.
Partie B
L'objet de cette partie est d'étudier la suite
définie sur 
par:
- Dans le plan muni d'un repère orthonormé
,
pour tout entier
naturel 
, on note 
la courbe représentative de la
fonction 
définie sur 
par
Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe
pour plusieurs valeurs de l'entier 
et la droite 
d'équation 
.
- Interpréter géométriquement l'intégrale
.
- En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur
le sens de variation de la suite
et sa limite
éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s'appuie
pour conjecturer.
- Interpréter géométriquement l'intégrale
- Démontrer que pour tout entier naturel
supérieur ou égal à 1,
En déduire le signe de
puis démontrer que la suite
est convergente.
- Déterminer l'expression de
en fonction de 
et
déterminer la limite de la suite 
.
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