Bac S 2015 - Géométrie dans l'espace

Distance minimale entre deux points mobiles dans l'espace

Exercice corrigé Bac S, métropole juin 2015: géométrie dans l'espace, distance minimale entre deux points mobiles dans l'espace



Dans un repère orthonormé (O, I, J, K) d'unité 1 cm, on considère les points $A(0;-1;5), $B(2;-1;5), $C(11;0;1), $D(11;4;4).


Un point $M se déplace sur la droite $(AB) dans le sens de $A vers $B à la vitesse de 1cm par seconde.
Un point $N se déplace sur la droite $(CD) dans le sens de $C vers $D à la vitesse de 1cm par seconde.
À l'instant $t=0 le point $M est en $A et le point $N est en $C.
On note $M_t et $N_t les positions des points $M et $N au bout de $t secondes, $t désignant un nombre réel positif.
On admet que $M_t et $N_t, ont pour coordonnées : $M_t(t;-1;5) et $N_t(11;0,8t;1+0,6t).


Les questions 1 et 2 sont indépendantes.


    1. La droite $(AB) est parallèle à l'un des axes $(OI), $(OJ) ou $(OK). Lequel ?
    2. La droite $(CD) se trouve dans un plan $\mathcal{P} parallèle à l'un des plans $(OIJ), $(OIK) ou $(OJK). Lequel ? On donnera une équation de ce plan $\mathcal{P}.
    3. Vérifier que la droite $(AB), orthogonale au plan $\mathcal{P}, coupe ce plan au point $E(11;-1;5).
    4. Les droites $(AB) et $(CD) sont-elles sécantes ?
    1. Montrer que $M_tN_t^2 = 2 t^2 - 25,2 t + 138.
    2. À quel instant $t la longueur $M_tN_t est-elle minimale?

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