Exercice corrigé bac S, 2015 - Géométrie dans l'espace
Distance minimale entre deux points mobiles dans l'espace
Exercice corrigé de mathématiques: Exercice corrigé Bac S, métropole juin 2015: géométrie dans l'espace, distance minimale entre deux points mobiles dans l'espace
Exercice - énoncé:
Dans un repère orthonormé (O, I, J, K) d'unité 1 cm, on considère les points
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Un point
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Un point
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À l'instant
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On note
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On admet que
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Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
-
- La droite
est parallèle à l'un des axes
,
ou
. Lequel ?
- La droite
se trouve dans un plan
parallèle à l'un des plans
,
ou
. Lequel ? On donnera une équation de ce plan
.
- Vérifier que la droite
, orthogonale au plan
, coupe ce plan au point
.
- Les droites
et
sont-elles sécantes ?
- La droite
-
- Montrer que
.
- À quel instant
la longueur
est-elle minimale?
- Montrer que
Correction exercice
-
- Un vecteur directeur de la droite
est
. La droite
est donc parallèle à l'axe
.
-
est un vecteur directeur de la droite
qui est donc incluse dans un plan parallèle à
Commele plan
a pour équation cartésienne
.
- On a
et
, ce qui montre que ces vecteurs sont colinéaires, et ainsi que
est un point de la droite
.
De plus, et donc
.
Ainsi,est bien le point d'intersection de
et de
.
, donc
, et comme
est parallèle au plan
,
est bien orthogonale au plan
. Cette justification n'était par contre pas demandée…
-
est incluse dans
, et
coupe
en
.
Ainsi, siet
sont sécantes, elles le sont nécessairement au point
.
Or,n'est pas colinéaire à
, ce qui montre que
.
Ainsi,et
ne sont pas sécantes.
On cherche alorset
tels que
. Or ce système n'a pas de solution, et donc
et
pas d'intersection et ne sont donc pas sécantes.
- Un vecteur directeur de la droite
-
-
donc
.
-
est positif, donc est minimale quand son carré est minimal. On définit la fonction
sur
par l'expression
.
est une fonction du second degré avec
.
Ainsi, et
donc
est décroissante pour
, et
donc
croissante pour
.
Ainsi, donc
, admet un minimum en
.
-
Cacher la correction
Voir aussi: