Exercice corrigé bac S, Amérique du nord 2011 - Analyse: exponentielle, intégrale et suite récurrente
Suite récurrente définie par une fonction avec exponentielle
Exercice corrigé de mathématiques: Exercice corrigé bac S, Amérique du nord 2011 - Analyse: exponentielle, intégrale et suite récurrente définie par une fonction
Exercice - énoncé:
Partie A
On considère la fonction
définie sur
par
.
Partie B
On considère la fonction
définie sur
par
.
La courbe
représentative de la fonction
dans le plan muni
d'un repère orthonormal est donnée en annexe.
Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de
l'épreuve.
On admet que
est strictement croissante sur
.
Partie C
On considère la suite
définie par:
.
Annexe
Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.
Partie A On considère la fonction
définie sur
par
.
Partie B
Partie C
Cacher la correction
On considère la fonction



- Etudier les variations de la fonction
.
- Déterminer le signe de
suivant les valeurs de
.
- En déduire que pour tout
de
,
.
Partie B
On considère la fonction

![$[0;1]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex111-Rochambeau/11.png)

La courbe


On admet que

![$[0;1]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex111-Rochambeau/16.png)
- Montrer que pour tout
de
,
.
- Soit
la droite d'équation
.
- Montrer que pour tout
de
,
.
- Etudier la position relative de la droite
et de la courbe
sur
.
- Montrer que pour tout
-
- Déterminer une primitive de
sur
.
- Calculer l'aire, en unité d'aire, du domaine du plan délimité
par la courbe
, la droite
et les droites d'équations
et
.
- Déterminer une primitive de
Partie C
On considère la suite

![$\la\begin{array}{ll} u_0=\dfrac12 \\[0.3cm] \text{pour tout entier naturel } n, u_{n+1}=f\left( u_n\rp\enar\right.](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex111-Rochambeau/35.png)
- Construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite en laissant apparents les traits de construction.
- Montrer que pour tout entier
,
.
- En déduire que la suite
est convergente et déterminer sa limite.
Annexe
Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.
![\psset{unit=5cm,arrowsize=7pt}
\fbox{\begin{pspicture}(-.2,-.2)(1.5,1.5)
\psline[linewidth=1.6pt]{->}(-.2,0)(1.5,0)
\psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,-.2)(0,1.5)
\psplot{0}{1}{2.718 x exp 1 sub 2.718 x exp x sub div}
\newcommand{\f}[1]{#1 10 div}
\multido{\i=-2+1}{18}{
\psline[linewidth=.8pt,linestyle=dotted](!\f{\i}\space-.2)(!\f{\i}\space1.5)
\psline[linewidth=.8pt,linestyle=dotted](!-.2\space\f{\i})(!1.5\space\f{\i})
}
\rput(-.05,-.05){$O$}
\psline(1,-.02)(1,.02)\rput(1,-.08){$1$}
\psline(-.02,1)(.02,1)\rput(-.08,1){$1$}
\rput(.9,1.05){$(C)$}
\end{pspicture}}](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/ex111-Rochambeau/39.png)
Correction exercice
Partie A On considère la fonction



-
est la somme de la fonction exponentielle et d'une fonction affine et est donc dérivable sur
, donc sur
, avec,
.
De plus, la fonction exponentielle est strictement croissante sur, lorsque
, on a
, et donc
.
On a, car Ainsi, on a le tableau de variation:
- Comme
est strictement croissante sur
et que
, on en déduit que pour tout
,
.
- On a donc pour tout
,
, et ainsi,
.
Partie B
- Comme
est strictement croissante sur
, on a
.
Oret
, et on a donc bien ainsi
.
- Soit
la droite d'équation
.
- Pour tout
de
,
.
Or.
On a donc ainsi bien, pour tout,
.
- On a vue que, pour tout
, donc aussi tout
,
et
.
Ainsi,est du même signe que
, et donc
est positif sur
: la courbe
est au dessus de la droite
sur
,
et
se coupant en
(car
) et en
.
- Pour tout
-
-
est de la forme
, avec
.
Comme, pour,
, d'après la partie A, une primitiver de
est donc
, soit
.
- L'aire du domaine est:
-
Partie C
-
- Montrons par récurrence que pour tout entier
,
.
Initialisation: Pour, on a
et
, et donc on a bien
.
Hérédité: Supposons que pour un certain entier, on ait
, alors, comme la fonction
est strictement croissante sur
, on a donc
,
soit aussi, comme,
, et
et
,
,
ce qui montre que la propriété est encore vraie au rang.
Conclusion: On vient donc de démontrer d'après le principe de récurrence que pour tout entier,
.
- D'après le résultat précédent, la suite
est croissante et majorée par 1, elle est donc convergente vers une limite
.
Comme la fonctionest continue sur
(car elle y est même dérivable), on a alors
La limiteest donc une solution de l'équation
(c'est aussi le théorème du point fixe), et il s'agit donc de l'abscisse d'un point d'intersection de
et
, soit
ou
d'après la question 2.b) de la partie B.
Or, d'après la question précédente, pour tout entier,
, et donc
est minorée par
et ne peut pas converger vers
.
Ainsi, et la suite
converge donc vers 1.
Cacher la correction
Voir aussi: