Bac juin 2009 - Exercice corrigé

Suite récurrente, démonstration par récurrence, et limite d'une suite

Exercice corrigé - Bac juin 2009: suites, démonstration par récurrence, et limite d'une suite

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(Baccalauréat France métropolitaine, juin 2009, 4 points)
Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.

1. On considère la suite définie par et, pour tout entier naturel :
   On pose, pour tout entier naturel , .
    
   1. Pour tout nombre entier naturel , calculer en fonction de .
      
       
      Quelle est la nature de la suite ?
      
   2. Démontrer que pour tout entier naturel :
      
   3. Etudier la convergence de la suite .
   
   
2. On considère la suite dont les termes vérifient, pour tout nombre entier :
   
   
   Le tableau suivant donne les premiers termes de cette suite:
   
   
   1. Détailler le calcul permettant d'obtenir .
       
   2. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Donner la nature de la suite . Calculer .

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