Exercice corrigé bac STI2D / STL - Métropole juin 2014 - suite géométrique et algorithmique

Suite géométrique et algorithme



Exercice corrigé de mathématiques: Exercice corrigé du bac STI2D / STL - Métropole juin 2014 - suite géométrique et algorithmique

Exercice - énoncé:

Au cours de son évolution, une tornade se déplace dans un corridor de quelques centaines de mètres de large sur quelques kilomètres de long.

Document 1:
L'échelle de Fujita est une échelle servant à classer les tornades par ordre de gravité, en fonction des dégâts qu'elles occasionnent. Une partie de cette échelle est présentée dans le tableau ci-dessous.



\[\begin{tabular}{|c|c|p{8cm}|}\hline \rule[-.6cm]{0cm}{1.4cm} \textbf{Cat\'egorie} & \begin{minipage}{4.2cm}\textbf{Vitesse des vents en $\text{km}.\text{h}^{-1}$}\end{minipage} & \multicolumn{1}{c|}{\textbf{D\'eg\^ats occasionn\'es}} \\\hline\hline F0 & 60 \`a 120 & \textbf{D\'eg\^ats l\'egers :} d\'eg\^ats sur chemin\'ees, arbres, fen\^etres,\ldots \\ \hline F1 & 120 \`a 180 & \textbf{D\'eg\^ats mod\'er\'es :} automobiles renvers\'ees, arbres d\'eracin\'es,\ldots \\ \hline F2 & 180 \`a 250 & \textbf{D\'eg\^ats importants :} toits arrach\'es, hangars et d\'ependances d\'emolis, \ldots \\ \hline F3 & 250 \`a 330 & \textbf{D\'eg\^ats consid\'erables :} murs ext\'erieurs et toits projet\'es, maisons et b\^atiments de m\'etal effondr\'es, for\^ets abattues, \ldots \\ \hline F4 & 330 \`a 420 & \textbf{D\'eg\^ats d\'evastateurs :} murs effondr\'es, objets en acier ou en b\'eton projet\'es comme des missiles, \ldots \\ \hline F5 & 420 \`a 510 & \textbf{D\'eg\^ats incroyables :} maisons ras\'ees ou projet\'ees sur de grandes distances, murs ext\'erieurs et toits arrach\'es sur de gros b\^atiments, \ldots \\ \hline \end{tabular}\]




Document 2:


À partir des mesures relevées lors d'observations de phénomènes semblables, des météorologues ont admis la règle suivante : « la vitesse des vents dans les tornades diminue régulièrement de 10 % toutes les 5 minutes » .
On appelle « durée de vie » d'une tornade le temps nécessaire, depuis sa formation, pour que la vitesse des vents devienne inférieure à 120 $\text{km}.\text{h}^{-1}$.



Lors de la formation d'une tornade, on a mesuré la vitesse des vents par un radar météorologique et on a trouvé une vitesse initiale de $420 \text{km}.\text{h}^{-1}$.
L'objectif de ce problème est d'estimer la durée de vie de cette tornade.
Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $ 10 \text{km}.\text{h}^{-1}$.
    1. Cinq minutes après la mesure initiale, la vitesse des vents est de $378 \text{km}.\text{h}^{-1}$.
      Vérifier que ce résultat correspond à la règle admise.
      À quelle catégorie appartient la tornade à ce moment là ?
    2. Vérifier que, quinze minutes après la mesure initiale, cette tornade occasionne des dégâts classés comme « dégâts considérables» .
  2. Pour déterminer la durée de vie de cette tornade, un étudiant propose de modéliser le phénomène par une suite géométrique de raison $q$. Il commence à élaborer l'algorithme ci-dessous.
    Variables
    $n$ : un nombre entier naturel
    $v$ : un nombre réel
    $q$ : un nombre réel
    Initialisation
    Affecter à $n$ la valeur 0
    Affecter à $v$ la valeur 420
    Affecter à $q$ la valeur 0,9
    Traitement
    Tant que …
    …
    …
    Fin Tant que
    Sortie
    Afficher $5 \times n$
    1. Justifier la valeur 0,9 dans la phrase « Affecter à $q$ la valeur 0,9 » .
    2. Donner le premier terme et la raison de la suite géométrique proposée par l'étudiant.
    3. Dans l'algorithme ci-dessus, des pointillés indiquent des parties manquantes.
      Recopier la partie relative au traitement et la compléter pour que l'étudiant puisse déterminer la durée de vie de cette tornade.
    4. Expliquer l'instruction « Afficher $5 \times n$ » proposée par l'étudiant.
  3. On désigne par $\left(v_n\right)$ la suite géométrique proposée par l'étudiant.
    Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
  4. Déterminer la durée de vie de cette tornade au sens défini dans le document 2.

Correction exercice


    1. D'après la règle, on devrait avoir une diminution de $10\%$ de la vitesse, soit une vitesse de $420\tm(1-10\%)=420\tm0,9=378 \text{ km.h}^{-1}$. Le résultat correspond donc bien à la règle.
      À ce moment, la tornade appartient à la catégorie F4.
    2. Quinze minutes après la mesure initiale, la vitesse des vents est de $420\tm0,9^3=306,16 \text{ km.h}^{-1}$, et la tornade appartient à la catégorie F3 et occasionne donc des dégâts classés comme « dégâts considérables» .
    1. 0,9 est le coefficient multiplicateur correspondant à une diminution de $10\%$; c'est la raison de la suite.
    2. Le premier terme est $420$ et la raison 0,9.
    3.  
      …
      Tant que $v>120$
           Affecter à $v$ la valeur $0,9v$
           Affecter à $n$ la valeur $n+1$
      Fin Tant que
      …
    4. La variable $n$ correspond au nombre de diminution de $10\%$. Comme les vents diminuent de $10\%$ toutes les 5 minutes, le temps total a affiché est $5\times n$.
  3. $\left(v_n\right)$ est la suite géométrique de premier terme $v_0=420$ et de raison $q=0,9$, et ainsi, pour tout entier $n$, $v_n=v_0\,q^n=420\tm0,9^n$.
  4. On trouve à la calculatrice, ou avec l'algorithme précédent, $n=12$, soit une durée de vie de $12\tm5=60$ min, soit une heure.


Cacher la correction


Voir aussi:
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