Exercice Bac STI2D & STL - juin 2016

Lois uniforme et exponentielle

Exercice corrigé du bac STI2D / STL - Métropole juin 2016 - Probabilités: lois uniforme et exponentielle


Les parties A et B sont indépendantes.
Un pont levant enjambant un canal peu fréquenté est constitué d'un tablier qui, une fois relevé, permet le passage de bateaux de différentes tailles.

\[ \parbox{0.45\linewidth}{ \psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture}(10,7) %\psgrid \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.6,4.3)(8.4,4.6) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,1.3)(1.8,1.6) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](8.2,1.3)(9.9,1.6) \pspolygon*(1.6,0)(2.4,0)(2.4,0.4)(2.2,0.4)(2.2,5)(1.8,5)(1.8,0.4)(1.6,0.4) \pspolygon*(7.6,0)(8.4,0)(8.4,0.4)(8.2,0.4)(8.2,5)(7.8,5)(7.8,0.4)(7.6,0.4) \psline(1.6,4.6)(1.8,5)(2.2,5.8)(2.2,5)\psline(2.2,5.8)(2.5,5.8)(2.5,4.6) \psline(8.4,4.6)(8.2,5)(7.8,5.8)(7.8,5)\psline(7.8,5.8)(7.5,5.8)(7.5,4.6) \psline(2,0)(8,0) \rput(4.9,6.8){Position haute} \rput(4.9,5){tablier du pont} \rput(4.9,0.4){chenal maritime} \rput(0.8,1.9){route}\rput(9.2,1.9){route} \end{pspicture}} \hfill\parbox{0.45\linewidth}{ \psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture}(10,7) %\psgrid \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.6,1.3)(9.9,1.6) %\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,1.3)(1.8,1.6) %\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](8.2,1.3)(9.9,1.6) \pspolygon*(1.6,0)(2.4,0)(2.4,0.4)(2.2,0.4)(2.2,5)(1.8,5)(1.8,0.4)(1.6,0.4) \pspolygon*(7.6,0)(8.4,0)(8.4,0.4)(8.2,0.4)(8.2,5)(7.8,5)(7.8,0.4)(7.6,0.4) \psline(1.6,4.6)(1.8,5)(2.2,5.8)(2.2,5)\psline(2.2,5.8)(2.5,5.8)(2.5,1.6) \psline(8.4,4.6)(8.2,5)(7.8,5.8)(7.8,5)\psline(7.8,5.8)(7.5,5.8)(7.5,1.6) \psline(2,0)(8,0) \rput(4.9,6.8){Position basse} \rput(4.9,1.9){tablier du pont} \rput(4.9,0.4){chenal maritime} \rput(0.8,1.9){route}\rput(9.2,1.9){route} \end{pspicture} } %\includegraphics[scale=0.1]{pont.png} \]


\[\begin{array}{|l |}\hline \text{Hauteur du tablier en position haute : 7 m\`etres}\\ \text{Longueur du tablier : 30 m\`etres}\\ \text{Temps de mont\'ee du tablier : 2 minutes}\\ \text{Temps en position haute du tablier (hors incident) : 8 minutes}\\ \text{Temps de descente du tablier : 2 minutes}\\ \hline \end{array}\]


Partie A - Sur la route


Un automobiliste se présente devant le pont. Le tablier du pont est en position haute. On s'intéresse ici au temps d'attente $D$, exprimé en minutes, de l'automobiliste avant qu'il puisse franchir le canal, pont baissé (hors incident).
  1. Combien de temps l'automobiliste attend-il au minimum ? au maximum?
  2. On admet que le temps d'attente, en minutes, de l'automobiliste pour franchir le pont est une variable aléatoire $D$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [2 ; 10].
    Déterminer l'espérance $E(D)$ de la variable aléatoire $D$ et interpréter le résultat dans le contexte.
  3. Calculer la probabilité que le temps d'attente de l'automobiliste ne dépasse pas 5 minutes.




Partie B - Sur l'eau


Dans cette partie les résultats demandés seront arrondis à $10^{-2}$ près.


Lorsqu'un bateau est passé, le tablier du pont revient en position basse. Le temps, exprimé en heures, avant que le bateau suivant se présente devant le pont est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,05$. Ce temps est appelé temps de latence.
  1. Déterminer l'espérance $E(T)$ de la variable aléatoire $T$ et interpréter le résultat dans le contexte.
  2. On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par

    \[f(x)=0,05e^{-0,05 x}.\]


    1. Montrer que la fonction $F$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $F(x)=-e^{-0,05 x}$ est une primitive de $f$.
    2. On rappelle que pour tout nombre réel $t$ de $[0~;~+\infty[$, $P(T \leqslant t) = \dsp\int_0 ^t f(x)\; dx$.
      Démontrer que $P(T\leqslant t)=1-e^{-0,05 t}$.
    1. Calculer la probabilité que le temps de latence soit inférieur à une demi-journée, soit 12 heures.
    2. Calculer la probabilité que le temps de latence soit supérieur à un jour.
    3. Calculer $P(12\leqslant T\leqslant 24)$.

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