Exercice corrigé - Produit scalaire - Calcul de la mesure d'un angle dans un repère

Détermination de la mesure d'un angle à l'aide du produit scalaire

Première générale et scientifique

Exercice corrigé de mathématiques: Exercice corrigé - Produit scalaire - Calcul de la mesure d'un angle entre deux vecteurs dans un repère

Exercice - énoncé:

Dans un repère orthonormé $\left(O;\vec{i},\vec{j}\right)$ , on considère les vecteurs $\vec{u}\left(4;3\right)$ , et $\vec{v}\left(-1;1\right)$ .

Calculer le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}$ , puis déterminer une mesure de l'angle $\left(\vec{u},\vec{v}\right)$ à un degré près.

Correction exercice

Dans un repère orthonormé $\left(O;\vec{i},\vec{j}\right)$ , on considère les vecteurs $\vec{u}\left(4;3\right)$ , et $\vec{v}\left(-1;1\right)$ .

Calculer le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}$ , puis déterminer une mesure de l'angle $\left(\vec{u},\vec{v}\right)$ à un degré près.

$\vec{u}\cdot\vec{v}=4\times (-1)+3\times (1)=-1$ .

On a aussi, $\vec{u}\cdot\vec{v}=\Vert\vec{u}\Vert\times \Vert\vec{v}\Vert\times \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)$ ,

avec, $\Vert\vec{u}\Vert=\sqrt{4^2+3^2}=5$ et $\Vert\vec{v}\Vert=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}$ , d'où $\cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=\dfrac{-1}{5\sqrt{2}}$ ,

et donc $\left(\vec{u},\vec{v}\right)=\cos^{-1}\left(\dfrac{-1}{5\sqrt{2}}\right) \simeq \cos^{-1}\left(-0,14\right)\simeq 98^\circ$ .

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Voir aussi: