Etude de fonctions

Etude à l'aide d'une fonction auxiliaire

Exercice corrigé - Etudes de fonctions, à l'aide d'une fonction auxiliaire et du théorème des valeurs intermédiaires


$ f$ est la fonction définie sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ par l'expression:      $ f(x)=2x^3-3x^2-1$ .

  1. a. Dresser le tableau de variation de $ f$ .
    b. Tracer la courbe représentative de la fonction $ f$ .

  2. a. Montrer que l'équation $ f(x)=0$ admet une unique solution $ \alpha$ sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ , et que $ \alpha\in[1;2]$ .
    b. Donner un encadrement à $ 10^{-2}$ près de $ \alpha$ .
    c. Déduire de ce qui précède le signe de $ f(x)$ .

  3. Soit $ g$ la fonction définie sur $ {\rm I\kern-.1567em R}\setminus\left\{-1\right\}$ par l'expression:      $ g(x)=\dfrac{1-x}{1+x^3}$ .

    a. Déterminer, pour tout nombre $ x\not=-1$ , $ g'(x)$ .
    b. Dresser alors le tableau de variation de $ g$ .

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