Factoriser

Factorisation des expressions algébriques

Factoriser: définition et méthode

Factoriser une expression consiste à tranformer les additions et soustractions en produits.
Pour factoriser une expression, on peut soit :

identifier un terme commun et le mettre en facteur
utiliser une identité remarquable

Exemples: 6x−kx est une expression algébrique avec une soustraction,
et 6x−kx = x(6 − k) est l'expression factorisée.
Si on développe cette dernière expression factorisée, on revient bien à l'expression développée de départ. Pour être à l'aise avec les factorisations, il faut tout d'abord être au point sur le développement d'expression algébriques

Factorisation grâce à un terme commun

Lorsqu'une expression est commune à tous les termes ajoutés et/ou soustraits, on peut le mettre en facteur de tous les autres.

Exemples

Quelques exemples de factorisation:

a(x) = 6x+3x = (6+3)x = 9x.
Et oui, cette simple et courante opération est en fait une factorisation.
b(x) = 5x²−πx = (5x − π)x.
c(x) =(x+1)(2x+3) + (x+1)(4x−1) = (x+1) ((2x+3) + (4x−1))
et on finit le calcul de la factorisation par le terme entre parenthèse:
c(x) = (x+1)(6x+2)

Exercice 1: factorisation grâce à un terme en commun

a(x) =(2x − 3)(x + 2) + (2x − 3)(x + 5)
a(x) = (2x − 3)(2x + 7)
On identifie le terme commun:
a(x) = (2x − 3)(x + 2) + (2x − 3)(x + 5)
qu'on, justement, factorise:
a(x) = (2x − 3) ((x + 2) + (x + 5))
Il ne reste plus qu'à développer dans la grande parenthèse:
a(x) = (2x − 3) (2x + 7)
b(x) =(x + 2)(2x + 5) + (x + 2)(x − 7)
b(x) = (x + 2)(3x − 2)
On identifie le terme commun:
b(x) = (x + 2)(2x + 5) +(x + 2)(x −7)
qu'on, justement, factorise:
b(x) = (x + 2) ((2x + 5) + (x − 7))
Il ne reste plus qu'à développer dans la grande parenthèse:
b(x) = (x − 2) (3x − 2)
c(x) = (x + 4)(3x + 5) − (x + 4)(x + 2)
c(x) = (x + 4)(2x + 3)
On identifie le terme commun:
c(x) = (x + 4)(3x + 5) − (x + 4)(x + 2)
qu'on, justement, factorise (sans oublier les parenthèses !):
c(x) = (x + 4) ((3x + 5) − (x + 2))
Il ne reste plus qu'à développer dans la grande parenthèse:
c(x) = (x + 4) (3x + 5 − x − 2)
soit finalement,
c(x) = (x + 4) (2x + 3)
d(x) =(2x + 3)(4x + 5) − (4x + 5)(x − 3)
d(x) = (4x + 5)(x + 6)
On identifie le terme commun:
d(x) = (2x + 3)(4x + 5) − (4x + 5)(x − 3)
qu'on, justement, factorise (sans oublier les parenthèses !):
d(x) = (x + 4) ((3x + 5) − (x + 2))
Il ne reste plus qu'à développer dans la grande parenthèse:
d(x) = (x + 4) (3x + 5 − x − 2)
soit finalement,
d(x) = (x + 4) (2x + 3)
e(x) = 2x(x + 3) − x(3x + 2)
e(x) = x(−x + 4)
On identifie le terme commun:
e(x) = 2x(x + 3) − x(3x + 2)
qu'on, justement, factorise (sans oublier les parenthèses !):
e(x) = x (2(x + 3) − (3x + 2))
Il ne reste plus qu'à développer dans la grande parenthèse:
e(x) = x (2x + 6 − 3x − 2)
soit finalement,
e(x) = x (−x + 4)
f(x) = (2x − 1)(x + 3) + (2x − 1)
f(x) = (2x − 1)(x + 4)
On identifie le terme commun:
f(x) = (2x − 1)(x + 3) + (2x −1)
qu'on, justement, factorise (attention, quand on développe on doit bien retomber sur l'expression de départ !):
f(x) = (2x − 1) ((x + 3) + 1)
soit finalement,
f(x) = (2x − 1) (x + 4)
g(x) = (5x + 2)(x − 2) − (x − 2)
g(x) = (x − 2)(5x + 1)
On identifie le terme commun:
g(x) = (5x + 2)(x − 2) − (x −2)
qu'on, justement, factorise (attention, quand on développe on doit bien retomber sur l'expression de départ !):
g(x) = (x − 2) ((5x + 2) − 1)
soit finalement,
g(x) = (x − 2) (5x + 1)
h(x) = (3x − 2) − (x + 2)(3x − 2)
h(x) = (3x − 2)(−1 − x)
On identifie le terme commun:
h(x) = (3x − 2) − (x + 2)(3x −2)
qu'on, justement, factorise (attention, quand on développe on doit bien retomber sur l'expression de départ !):
h(x) = (3x − 2) (1 − (x + 2))
et donc
h(x) = (3x − 2) (1 − x − 2)
soit finalement,
h(x) = (3x − 2) (−1 − x)
i(x) = (2x + 1)² + (x + 4)(2x + 1)
i(x) = (2x + 1)(3x + 5)
On identifie le terme commun:
i(x) = (2x + 1)² + (x + 4)(2x + 1)
qu'on factorise: on se rappelle bien que le carré signifie le produit par le même terme: (2x+1)² = (2x+1)(2x+1) et donc
i(x) = (2x + 1) ((2x + 1) + (x + 4))
et donc
i(x) = (2x + 1) (3x + 5)
j(x) = (2x − 1)(x + 4) − (2x − 1)²
j(x) = (2x − 1)(−x + 5)
On identifie le terme commun:
j(x) = (2x − 1)(x + 4) − (2x − 1)²
qu'on factorise: on se rappelle bien que le carré signifie le produit par le même terme: (2x−1)² = (2x−1)(2x−1) et donc
j(x) = (2x − 1) ((x + 4) − (2x − 1))
soit, en développant (attention aux signes…),
j(x) = (2x − 1) (x + 4 − 2x + 1)
et donc
j(x) = (2x − 1) (−x + 5)

Factorisation grâce à une identité remarquable

Les identités remarquables permettent aussi de factoriser des expressions algébriques.

On rappelle ces trois identités remarquables, forme algébrique développée à gauche et factorisée à droite:

a² + 2ab + b²= (a+b)² a² − 2ab + b²= (a−b)² a² − b²= (a−b)(a+b)

Exemples

Quelques exemples de factorisation en utilisant une identité remarquable:

a(x) = x² + 6x + 9.
On reconnaît une identité remarquable, la 1ère ci-dessus, avec a = x et b = 3, et alors l'identité remarquable donne la factorisation
a(x) = (x + 3)²
b(x) = x² − 9.
On reconnaît la 3ème identité remarquable ci-dessus, avec a = x et b = 3, et alors l'identité remarquable donne la factorisation
a(x) = x² − 3² = (x−3)(x+3)
b(x) = (2x+3)² − (x+1)².
On reconnaît la même 3ème identité remarquable ci-dessus, avec a = 2x+3 et b = x+1, et alors l'identité remarquable donne la factorisation
a(x) = ((2x+3)−(x+1))((2x+3)+(x+1))
soit, en développant dans chaque parenthèse,
a(x) = (x+2)(3x+4)

Exercice 2: factorisation grâce à une identité remarquable

a(x) = (x + 3)² − 16
a(x) = (x − 1)(x + 7)
On écrit
a(x) = (x + 3)² − 4²
et reconnaît la 3ème identité remarquable a² − b²= (a−b)(a+b) avec a = x + 3 et b = 4, et alors l'identité remarquable donne la factorisation
a(x) = ((x+3)−4)((x+3)+4)
soit encore
a(x) = (x−1)(x+7)
b(x) = (x + 1)² − 5
b(x) =(x + 1 −5)(x + 1 +5)
5 n'est pas un carré parfait, mais c'est un carré quand même: 5 = 5², et donc
b(x) = (x + 1)² − 5²
et alors
b(x) = ((x + 1)−5)((x+1)+5)
soit encore
b(x) = (x+1−5)(x+1+5)
c(x) = (2x + 3)² − (x + 1)²
c(x) = (x + 2)(3x + 4)
On reconnaît directement la 3ème identité remarquable a² − b²= (a−b)(a+b) avec a = 2x + 3 et b = x + 1, et alors l'identité remarquable donne la factorisation
c(x) = ((2x+3)−(x+1))((2x+3)+(x+1))
soit encore
c(x) = (2x+3−x−1)(2x+3+x+1)
d'où
c(x) = (x+2)(3x+4)
d(x) = (x − 1)² − (2x − 3)²
d(x) = (−x + 2)(3x − 4)
On reconnaît directement la 3ème identité remarquable a² − b²= (a−b)(a+b) avec a = x − 1 et b = 2x − 3, et alors l'identité remarquable donne la factorisation
d(x) = ((x−1)−(2x−3))((x−1)+(2x−3))
soit encore, en prenant garde aux signes,
d(x) = (x−1−2x+3)(x−1+2x−3)
d'où
d(x) = (−x+2)(3x−4)
e(x) = 4x² − (x − 2)²
e(x) = (x + 2)(3x − 2)
On remarque tout d'abord que 4x² = (2x)² et alors
e(x) = (2x)² − (x − 2)²
est une identité remarquable qui se factorise par
e(x) = ((2x)−(x−2))((2x)+(x−2))
soit encore, en prenant garde aux signes,
e(x) = (2x−x+2)(2x+x−2)
soit finalement
e(x) = (x+2)(3x−2)

Exercices 3: factorisation d'expressions algébriques

Factoriser au plus les expressions algébriques suivantes.

A(x) = (2x − 3)(x − 2) + (2x − 3)(x + 4)
A(x) = 2(2x − 3)(x + 1)
On identifie un terme en commun
A(x) = (2x − 3)(x − 2) + (2x − 3)(x + 4) = (2x − 3)((x − 2) + (x + 4)) = (2x − 3)(2x + 2)
Le dernier terme, dans la deuxième parenthèse, peut encore se factoriser par 2, soit
A(x) = (2x − 3)2(x + 1)
qu'on écrit plus esthétiquement
A(x) = 2(2x − 3)(x + 1)
B(x) = (x − 3)(3x − 7) − (x − 3)(x + 4)
B = (x − 3)(2x − 11)
On identifie un terme commun:
B(x) = (x − 3)(3x − 7) − (x − 3)(x + 4)
qu'on, justement, factorise:
B(x) = (x − 3) ((3x − 7) − (x + 4))
Il ne reste plus qu'à développer dans la grande parenthèse:
B(x) = (x − 3) (3x − 7 −x − 4)
soit finalement
B(x) = (x − 3) (2x − 11)
C(x) = (5x + 3)(x + 2) + (3 − 4x)(x + 2)
C = (x + 2)(x + 6)
On identifie un terme commun:
B(x) = (5x + 3)(x + 2) + (3 − 4x)(x + 2)
qu'on, justement, factorise:
B(x) = (x + 2) ((5x + 3) + (3 − 4x))
Il ne reste plus qu'à développer dans la grande parenthèse:
B(x) = (x + 2) (x + 6)
D(x) = (2x + 2)(3x − 3) − (x − 3)(2x + 2)
D(x) = 4x(x + 1)
On identifie le terme commun:
D(x) = (2x + 2)(3x − 3) − (x − 3)(2x + 2)
qu'on, justement, factorise:
D(x) = (2x + 2) ((3x − 3) − (x − 3))
Il ne reste plus qu'à développer dans la grande parenthèse, en prenant garde aux signes,
D(x) = (2x + 2) (3x − 3 − x + 3)
et donc pour obtenir,
D(x) = (2x + 2) (2x)
qu'on écrit plutôt
D(x) = 2x(2x + 2)
Maintenant, on peut encore factoriser dans la parenthèse: 2x + 2 = 2(x+1) et on obtient finalement la factorisation
D(x) = 4x(x + 1)
E(x) =(3x² + 2x)(x − 6) − (x + 7)(3x² + 2x)
E(x) = −13x(3x + 2)
On identifie un terme en commun qu'on s'empresse de mettre en facteur:
E(x) = (3x² + 2x)(x − 6) − (x + 7)(3x² + 2x) = (3x² + 2x)((x − 6) − (x + 7)) = (3x² + 2x)(x − 6 − x − 7) = (3x² + 2x)( − 13) = −13(3x² + 2x)
et on peut encore factoriser dans la parenthèse où on y identifie aussi un terme commun: x:
E(x) = −13(3x² + 2x) = −13x(3x + 2)
F(x) = (−2x + 5)² + ( −2x + 5)(3x − 4)
F(x) = (−2x + 5)(x + 1)
Avec (−2x + 5)² = (−2x + 5)(−2x + 5) on identifie un terme en commun à factoriser
F(x) = (−2x + 5)² + (−2x + 5)(3x − 4) = (−2x + 5)( − 2x + 5) + (−2x + 5)(3x − 4) = (−2x + 5)((− 2x + 5) + (3x − 4)) = (−2x + 5)(x + 1)
G(x) = (x + 2)² − 9²
G(x) = (x − 1)(x + 5)
On reconnaît directement la 3ème identité remarquable a² − b²= (a−b)(a+b) avec a = x + 2 et b = 3, et alors l'identité remarquable donne la factorisation
G(x) = ((x+2)−3)((x+2)+3)
soit encore
G(x) = (x−1)(x+5)
H(x) = (2x + 3)² − (x − 3)²
H(x) = 3x(x+6)
On reconnaît directement la 3ème identité remarquable a² − b²= (a−b)(a+b) avec a = 2x + 3 et b = x − 3, et alors l'identité remarquable donne la factorisation
H(x) = ((2x+3)−(x−3))((2x+3)+(x−3))
soit encore
H(x) = (2x+3−x+3)(2x+3+x−3)
d'où
H(x) = (x+6)(3x)
ou encore
H(x) = 3x(x+6)
I(x) = 2(x² − 9) − (x − 3)(x + 2)
I(x) = (x − 3)(x + 4)
Pas de terme en commun évident, mais une identité remarquable "un peu cachée":

I(x) = 2(x² − 9) − (x − 3)(x + 2) = 2(x² − 3²) − (x − 3)(x + 2) = 2(x + 3)(x − 3) − (x − 3)(x + 2)
ce qui fait alors justement apparaître un terme en commun x − 3, que l'on peut maintenant factoriser:
I(x) = (x − 3)(2(x + 3) − (x + 2)) = (x − 3)(2x + 6 − x − 2) = (x − 3)(x + 4)
J(x) = (2x + 3)² − (x + 1)²
J(x) = (x + 2)(3x + 4)
On reconnaît directement la 3ème identité remarquable a² − b²= (a−b)(a+b) avec a = 2x + 3 et b = x + 1, et alors l'identité remarquable donne la factorisation
J(x) = ((2x+3)−(x+1))((2x+3)+(x+1))
soit encore
J(x) = (2x+3−x−1)(2x+3+x+1)
d'où
J(x) = (x+2)(3x+4)

Voir aussi: