Nombres complexes



Le plan complexe


Théorème
Il existe un ensemble noté C, appelé ensemble des nombres complexes, qui possède les propriétés suivantes:
  • C contient l'ensemble des nombres réels: R⊂C
  • il existe un nombre complexe, noté i tel que i2 = −1 .
  • tout nombre complexe z s'écrit de manière unique sous la forme z = x + iy où x et y sont des nombres réels.


Exemples:
  • z = 3 + 2i∈C
    on a bien z = x + iy avec x = 3 et y = 2
  • z2 = −5 ∈R donc aussi z2∈C
    avec ici z2 = x + iy avec x = −5 et y = 0
  • z3 = 7 − 6i ∈C
    avec z3 = x + iy où x = 7 et y = −6


Définition
L'écriture z = x + iy, où x∈R et y∈R s'appelle la forme algébrique du nombre complexe z.
x est la partie réelle de z, notée Re(z), et y est la partie imaginaire de z, notée Im(z).

Si y = 0 alors z est réel.

Si x = 0 alors z = iy est dit imaginaire pur.



Exemples:
  • Pour z = 3 − 2i,
    on a z = x + iy avec x = Re(z) = 3 et y = Im(z) = −2
  • Pour z = −1 + i,
    on a z = x + iy avec x = Re(z) = −1 et y = Im(z) = 1
  • Pour z = 1/2i,
    on a z = x + iy avec x = Re(z) = 0 et y = Im(z) = 1/2
    z est de plus ici un nombre imaginaire pur.
  • Pour z = 12,
    on a z = x + iy avec x = Re(z) = 12 et y = Im(z) = 0
    z est de plus ici un nombre (simplement) réel.


Définition: Plan complexe
Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O; u, v ) direct.
À tout nombre complexe z = x + iy où x∈R et y∈R, on associe le point M de coordonnées M(x ; y).
On dit que z est l'affixe du point M, ou du vecteur OM, et que le point M, ou le vecteur OM est l'image de z.

Illustration graphique: point et affixe complexe



Définition
Les nombres réels sont les affixes des points de l'axe des abscisses, que l'on appelle donc axe réel.
Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle, z = 0 + iy = iy est appelé un nombre imaginaire pur. Les images de ces nombres sont les points de l'axe des ordonnées, que l'on appelle donc axe imaginaire (pur).



Exercice 1
Placer les points A, B et C d'affixes respectives: zA = −1 − 2i , zB = 4 − i et zC = 2 + 3/2i .
Déterminer les longueurs OA, OB, OC et AB


Opérations sur les nombres complexes

Opérations numériques et algébriques

Les règles de calcul algébrique sur les nombres réels se prolongent aux nombres complexes, en ajoutant la propriété i2 = −1.
Exercice 2
Exprimer sous forme algébrique les nombres complexes:
  1. z = ( 2 + 3i) + (−1 + 6i)
    z = 1 + 9i
  2. z = ( 5 + i) − ( 3 − 2i)
    z = 2 + 3i
  3. z = ( 1 + i)( 3 − 2i)
    On développe (double disritbutivité), et on utilise i2 = −1,
    z = 3 −2i + 3i −2i2 = 3 + i −2(−1) = 5 + i
  4. z = ( 4 + i)( −5 + 3i)
    De même que le calcul précédent,
    z = −20 + 12i − 5i + 3i2 = −20 + 7i +3(−1) = −23 + 7i
  5. z = ( 2 − i)2
    C'est une identité remarquable,
    z = 22 − 2×2×i + i2 = 4 −4i + (−1) = 3 − 4i
  6. z = ( x + iy)( x' + iy')
    On développe (à nouveau double distributivité), mais il s'agit cette fois d'un calcul algébrique général:
    z = xx' + ixy' + iyx' + i2yy' = xx' +i(xy'+x'y)−yy' = (xx' −yy') +i(xy'+x'y)
  7. z = ( x + iy)2
    À nouveau l'identité remarquable
    z = x2 + 2ixy + (iy)2 = x2 + 2ixy + i2y2 = x2 − y2 + 2ixy
  8. z = ( 2 − 3i)( 2 + 3i)
    Une autre identité remarquable
    z = 22 − (3i)2 = 4 − 32i2 = 4 + 9 = 13
  9. z = ( a + ib)( a − ib)
    La même identité remarquable que précédemment, dans le cas algébrique général,
    z = a2 − (ib)2 = a2 − i2b2 = a2 + b2



Exercice 3
On pose j = −1/2 + i3/2 .
Calculer 1 + j + j2.


Opérations géométriques



Les opérations sur les vecteurs et leurs coordonnées cartésiennes réelles se formulent aussi pour leurs affixes complexes.
Propriété
  • Soit deux points A et B d'affixes zA et zB, alors l'affixe du vecteur AB est zB − zA.
    pspicture A(z_A);B(z_B);\V{AB}(z_B-z_A)
  • Le milieu I du segment [AB] a pour affixe zI = zA + zB/2
  • Soit u et v deux vecteurs d'affixes z et z', alors le vecteur u + v a pour affixe z + z'.
  • Si k∈R, le vecteur ku a pour affixe kz.



Exercice 4
Les points A, B et C ont pour affixes respectives −2+i, 3+3i et 1+11/5i.
  1. Calculer les affixes des vecteurs AB et AC.
  2. En déduire que les points A, B et C sont alignés.
  3. Placer dans un repère les points A, B et C.



Exercice 5
Les points A, B et C ont pour affixes respectives 1+1/2i, 3/2+2i et −1−11/2i.
Placer les points A, B et C dans le plan complexe, et montrer qu'ils sont alignés.



Exercice 6
On considère dans le plan complexe les points A, B, C et D d'affixes zA = 3+i, zB = 2−2i, zC = 2i et zD = 1+5i.
  1. Faire une figure
  2. Montrer de deux façons différentes que ABCD est un parallélogramme.



Voir aussi:
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