Source Latex: Cours de mathématiques, Intervalle de fluctuation et intervalle de confiance

Seconde

Intervalle de fluctuation et intervalle de confiance

Cours de mathématiques en 2nde: fluctuation des échantillons - Estimation et sondage
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Type: Cours
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Description
Cours de mathématiques en 2nde: fluctuation des échantillons - Estimation et sondage
Niveau
Seconde
Table des matières
  • Inférence et échantillonnage statistiques
  • Fluctuation d'échantillonnage
  • Intervalle de fluctuation au seuil de 95%
  • Estimation d'une proportion inconnue à partir d'un échantillon
  • Dimensionnement des échantillons
  • Exercices
Mots clé
echantillonnage, estimation, statistique, inférence, cours de mathématiques, 2nde

Quelques devoirs


    Voir aussi:

    Documentation sur LaTeX     lien vers la documentation Latex
    Source Latex LaTex icone

    Source Latex 

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours de math�matiques: �chantillonnage, fluctuation al�atoire, sondage},
    pdftitle={Echantillonnage, fluctuation al�atoire, sondage et estimation},
    pdfkeywords={�chantillonnage, estimation, sondage, al�atoire, statistique, math�matiques, cours, probabilit�s, seconde, 2nde}
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\voffset=-1.5cm

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\nwc{\tm}{\times}

\newcounter{nex}\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}



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\renewcommand{\no}{\noindent}

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  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}

\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}


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\nwc{\bgth}{\begin{theoreme}}\nwc{\enth}{\end{theoreme}}

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}

\nwc{\V}{\overrightarrow}

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\newcommand{\TITLE}{Fluctuation des �chantillons - Estimation \& sondage}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/2nde/Mathematiques-2nde.php}{xymaths.fr - 2nde}}
\rfoot{\TITLE\ - $2^{\mbox{\scriptsize{nde}}}$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\TITLE\\$2^{\mbox{\scriptsize{nde}}}$}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}


%\vspace*{-2cm}


\hfill{\raisebox{0.cm}[0.9cm]{\bgmp{11.5cm}\bf \huge{\TITLE}\enmp}}  
\hfill
$2^{\mbox{\scriptsize{nde}}}$


\section{Inf�rence et �chantillonnage statistiques}

\hspace{2.8cm}
\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-5.5,-2.8)(4.5,3)
  \psellipse(-.1,0.4)(2.1,2.8)
  \rput(-0.1,2){Population}
  \rput(0,1.7){proportion $p$}
  \psellipse(-0.5,-1.1)(1.1,0.7)
  \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](-0.5,-0.4)(1,0.3)\rput(-0.5,-0.4){Echantillon} 
  \psline(-1.3,-0.6)(0.25,-0.6)
  \rput(-0.5,-0.85){taille $n$}
  \rput(-0.5,-1.15){proportion $p'$}
  %
  \psarc[linecolor=red,linewidth=1.4pt]{->}(0.6,0.4){1.6}{-90}{80}
  \rput(3.1,1){\textcolor{red}{\bf Inf�rence}}
  \rput(3.2,0.6){\textcolor{red}{(induction)}}
  \psarc[linecolor=blue,linewidth=1.4pt]{->}(-1.3,0.4){1.6}{80}{260}
  \rput(-4.3,1){\textcolor{blue}{\bf Echantillonnage}}
  \rput(-4,0.6){\textcolor{blue}{(d�duction)}}
\end{pspicture}


\vspd
\bgmp{8cm}
\ulb{L'�chantillonnage statistique} consiste � pr�dire, � partir d'une
population connue les caract�ristiques des �chantillons qui en seront
pr�lev�s. 

On parle aussi de \ulb{d�duction} des caract�ristiques de l'�chantillon. 
\enmp
\hspace{0.25cm}
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.4pt](0,1.3)(0,-1.2)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.4pt](0.1,1.3)(0.1,-1.2)
\hspace{0.25cm}
\bgmp{8.4cm}
\ulr{L'inf�rence statistique} consiste � induire les caract�ristiques
inconnues d'une population � partir de celles d'un �chantillon. 

On parle aussi d'\ulr{induction}, ou encore d'extrapolation des
caract�ristiques � l'ensemble de la population. 
\enmp

\section{Fluctuation d'�chantillonnage}


\bgdef{Lorsqu'on r�p�te $n$ fois une exp�rience al�atoire on obtient
  une s�rie de $n$ r�sultats que l'on appelle 
  {\bf �chantillon de taille $n$}. 

  Si ces r�p�titions sont indentiques et ind�pendantes entre elles et
  que l'issue de chacune admet deux issues 
  (0 ou 1, "R�ussite" ou "Echec", \ldots), 
  on dit que l'�chantillon rel�ve du mod�le de Bernoulli. 
}

\bgdef{
  Si on r�alise plusieurs �chantillons, la distribution des
  proportions (ou fr�quences) 
  du nombre de "R�ussite" varie d'un �chantillon � l'autre.  

  Ce ph�nom�ne s'appelle la {\bf fluctuation d'�chantillonnage}.
}

\vspd\noindent
\ul{Exemple:} 

Il y a $p=10\,\%$ de gauchers en France 
(12\,\% exactement).
Dans un �chantillon de 30 �l�ves (la classe par exemple), 
on peut donc s'attendre � trouver 3 gauchers. 

\vsp
Dans certaines classes, il y a effectivement 3 gauchers, dans d'autes
il y en a 2, soit $2/30\simeq 7\,\%$, dans d'autres qu'un seul, 
soit $1/30\simeq 3,5\,\%$, dans d'autres encore il peut y en a jusqu'�
6, soit ($6/30=20\,\%$), mais il semble tr�s rare de trouver une
classe avec 7 ou plus de gauchers. 

\vsp
La fr�quence, ou proportion, de gauchers dans un �chantillon de 30
personnes, varie, ou fluctue d'un �chantillon � l'autre, 
mais reste s�rement dans l'intervalle 
$\Bigr[ 3,5\,\%\,;\,20\,\% \Bigr]=\Bigl[ 0,35\,;\,0,2\Bigr]$. 



\section{Intervalle de fluctuation au seuil de 95\%}

On sait n�anmoins que plus la taille de l'�chantillon est grande, plus
la proportion observ�e se rapproche (se stabilise autour) d'une valeur
limite donn�e par la probabilit�: 
c'est {\bf la loi des grands nombres}.

\vspd
Plus pr�cis�ment, si on d�signe par $p$ la proportion dans la
population compl�te, ou la probabilit� s'il s'agit d'une exp�rience
al�atoire, et qu'on r�alise un �chantillon de taille $n$, alors, 

\bgprop{
  Si $n\geqslant 25$ et $0,2\leqslant p\leqslant 0,8$, 
  la proportion $p'$ dans un �chantillon de taille $n$ est dans
  l'intervalle 
 \[
 \lb\ p-\frac{1}{\sqrt{n}}\ ;\ p+\frac{1}{\sqrt{n}}\ \rb
 \]
 avec une probabilit� d'environ 95\%. 

 Cet intervalle s'appelle l'intervalle de fluctuation � 95\%,
 ou au seuil de 95\%, ou encore au seuil  d'erreur de 5\%.
}

\vspd
Cet intervalle quantifie la fluctuation due � l'al�atoire de la
proportion $p'$ que l'on peut observer en ne pr�levant qu'un
�chantillon de taille $n$. 

M�me si, comme l'�chantillon est constitu� al�atoirement, la
proportion $p'$ peut a priori prendre n'importe quelle valeur entre 0 et
1 
(ou 0\% et 100\%), on est "presque s�r" (en fait avec un "petit"
risque d'erreur de 5\%) que la variation de la proportion $p'$ reste
limit�e dans cet intervalle.

\bgex
On r�alise un �chantillon de taille $n=50$ lancers d'une pi�ce
�quilibr�e; on a alors �quiprobabilit�: les probabilit�s des issues
"Pile" et "Face" sont 
$p=P("Pile")=P("Face")=0,5$.  

\bgen
\item Combien de fois peut-on s'attendre � obtenir l'issue "Pile" ? 
\item On obtient 30 fois l'issue "Pile". 
  Calculer la fr�quence correspondante. 

  Est-ce que l'hypoth�se "la pi�ce est �quilibr�e" est cr�dible ? 
\item On r�alise un �chantillon de $n=100$ lancers. 
  Calculer la fr�quence correspondante. 

  On obtient 60 fois l'issue "Pile". 
  Est-ce que l'hypoth�se "la pi�ce est �quilibr�e" est cr�dible ? 

\item On r�alise un �chantillon de $n=200$ lancers. 
  Calculer la fr�quence correspondante. 

  On obtient 120 fois l'issue "Pile". 
  Est-ce que l'hypoth�se "la pi�ce est �quilibr�e" est cr�dible ? 
\enen
\enex

\bgex {\bf Influence d'une usine � proximit�}

Une usine chimique est venue s'implanter pr�s d'une ville il y a 3
ans. 
Pendant ces 3 ans sont n�s dans cette ville 132 enfants dont 52
gar�ons. 

\bgen
\item Quelles sont les proportions de gar�ons et de filles n�s dans
  cette ville ces 3 derni�res ann�es ? 

\item Peut-on consid�rer que l'usine a eu un impact sur les naissances ?
\enen
\enex


\bgex {\bf Parit� homme-femme}

Deux entreprises $A$ et $B$ recrutent leur personnel dans un bassin
d'emploi o� il y a autant d'hommes que de femmes. 

L'entreprise $A$ emploie $60$ personnes, dont 26 femmes, tandis que
l'entreprise $B$ emploie 1050 personnes, dont 480 femmes. 

\bgen
\item Calculer les proportions de femmes employ�es dans chaque
  entreprise. 

  Laquelle semble au mieux respecter la parit� ? 

\item D�terminer pour chaque entreprise l'intervalle de fluctuation �
  95\% de la proportion de femmes. 

\item Les deux entreprises respectent-elles la parit� au seuil
  d'erreur de 5\% ?
\enen
\enex

\bgex {\bf Conditionnement et commercialisation de pi�ces d�fectueuses} 

La cha�ne de production d'une usine produit des pi�ces
commercialisables. 
5\% des pi�ces produites sont d�fectueuses. 
Ces pi�ces sont ensuites conditionn�es et exp�di�es par carton de 50
pi�ces. 

\bgen
\item Quelle est la probabilit� pour que dans un carton: 
  \bgen[a)]
  \item aucune pi�ce ne soit d�fectueuse ? 
  \item exactement une pi�ce soit d�fectueuse ? 
  \item il y ait au plus une pi�ce d�fectueuse ? 
  \enen
\item D�terminer l'intervalle de fluctuation � 95\% du nombre de
  pi�ces d�fectueuses. 
  Interpr�ter. 
\item M�mes questions pour un conditionnement par cartons de 200
  pi�ces. 
\enen
\enex


\bgex {\bf Dimensionnement d'une cantine}

Dans un �tablissement de 3000 personnes, chaque personne peut ou non, 
librement, manger � la cantine chaque jour. 
En moyenne 65\% des personnes y mangent. 

On souhaite estimer le nombre de places assises dans la cantine telle 
mani�re que toutes les personnes aient une place pour manger. 
Par ailleurs, par soucis d'�conomie, on souhaite aussi que le nombre 
de places pr�vues soit minimal. 

Combien de places doit-on pr�voir ?
\enex

\bgex {\bf Texas contre Partida} 

En novembre 1976, dans un comt� du sud du Texas, Rodrigo Partida �tait
condamn� � 8 ans de prison pour cambriolage et tentative de viol. 
Il attaqua ce jugement au motif que la d�signation des jur�s 
�tait discriminante: alors que 79,1\% de la population du comt� �tait
d'origine mexicaine, sur les 870 personnes convoqu�es pour �tre jur�s
lors d'une certaine p�riode, il n'y e�t que 339 personnes d'origine
mexicaine. 

\bgen
\item D�terminer l'intervalle de fluctuation pour la proportion de
  personnes d'origine mexicaine dans un �chantillon de 870 personnes. 
\item Quelle est la proportion de personnes d'origine mexicaine
  constat�e parmi les jur�s convoqu�s ? 

  Qu'en conclure ?
\enen
\enex

\bgex {\bf Contr�le qualit�}

Dans une usine, le responsable de la fabrication affirme que la
proportion de produits d�fectueux fabriqu�s est de 20\%. 

Sur la cha�ne de fabrication on a pr�lev� au hasard 72 produits, 
et on a constat� que 24 d'entre eux �taient d�fectueux. 

\bgen
\item Quelle est la proportion de produits d�fectueux dans
  l'�chantillon pr�lev� ? 
\item Que penser de l'affirmation du responsable de la fabrication ?
\enen
\enex

\bgex {\bf Influence du climat sur la couleur des yeux}

En France, la proportion de personnes ayant les yeux bleus est de
31\%. 

Dans une grande ville fran�aise, au micro-climat particuli�rement
ensoleill�, sur 50 personnes rencontr�es au hasard, on a recens� 10
personnes ayant les yeux bleus. 

\bgen
\item D�terminer l'intervalle de fluctuation � 95\% de la proportion
  de personnes ayant les yeux bleus dans un �chantillon de 50
  personnes. 

\item Peut-on attribuer au micro-climat une influence sp�cifique sur
  la couleur des yeux ?
\enen
\enex

\section{Estimation d'une proportion inconnue � partir d'un �chantillon}

\bgex {\bf Estimation du nombre de cyclistes citadins}

Dans une grande ville de 200\,000 habitants, la municipalit�
s'int�resse au nombre de cyclistes afin d'adapter au mieux les routes
et pistes cyclables. Elle cherche donc � estimer la propotion $p$ de
cyclistes dans la ville, ou encore le nombre $N$ de cyclistes. 

La municipalit� a ainsi effectu� un sondage en interrogeant, au
hasard, 400 personnes. 
Sur ces 400 personnes, 78 d�clarent circuler r�guli�rement en v�lo. 

\bgen
\item Quelle est la proportion $p'$ de cyclistes dans l'�chantillon
  interrog� ? 

  Peut-on affirmer que $p=p'$ ? 

\item Pour une proportion $p$ de cyclistes dans la ville, donner 
  l'intervalle � 95\% de la proportion $p'$ dans un �chantillon de
  taille 400. 

  Ecrire alors deux in�galit�s concernant les proportions $p$ et
  $p'$. 

\item Quelles in�galit�s doit alors satisfaire la proportion $p$ ? 

  En d�duire l'intervalle contenant la proportion $p$, puis un
  encadrement de du nombre $N$ de cylcistes dans toute la ville. 
\enen
\enex

\vspd
\bgdef{
  Un �chantillon est un sous-ensemble de la population. 
  
  Un �chantillon \ul{repr�sentatif} est un sous-ensemble 
  \ul{choisi au hasard dans la population}. 
}

\vspd
Connaissant la proportion (ou fr�quence) $p'$ d'un caract�re pour un
�chantillon al�atoire de taille $n$, on peut estimer la proportion $p$
du caract�re dans la population compl�te de la fa�on suivante: 

\bgprop{
  Lorsque $n\geqslant 25$ et $0,2\leqslant p\leqslant 0,8$, 
  l'intervalle 
  \[
  \left[\ p'-\frac{1}{\sqrt{n}}\ ;\ p'+\frac{1}{\sqrt{n}} \ \right]
  \]
  contient la proportion $p$ avec une probabilit� sup�rieure ou �gale
  � 95\%. 

  Cet intervalle s'appelle l'intervalle de confiance au seuil de 95\%,
  ou l'intervalle au niveau de confiance de 95\%. 
}

\bgex
La semaine pr�c�dent une �lection opposant deux candidats $A$ et $B$,
on a interrog� un �chantillon de 200 �lecteurs suppos� repr�sentatif
de l'ensemble des �lecteurs. 

109 personnes de cet �chantillon ont d�clar� avoir l'intention de voter
pour le candidat $A$. 

Le candidat $A$, suite � ce sondage, affirme: 
\og si les �lections avaient eu lieu le jour du sondage j'aurais �t�
�lu\fg. 

Qu'en pensez-vous ?
\enex

\bgsk
D'apr�s ce qui pr�c�de, on peut (et doit!) maintenant traduire un
r�sultat d'un sondage tel que: 

{\sl \og Il y a 52\% de personnes qui voteraient pour le candidat A 
(d'apr�s un sondage r�alis� aupr�s de 1000 personnes\fg,}

par: 
{\sl \og Il y a 95\% de chances (ou une probabilit� de 0,95=95\%) 
pour que l'intervalle [49\%\,;\,55\%] contiennent le pourcentage de
personnes pr�ts � voter pour le candidat A\fg.}

\vspd
Les sondages sont r�alis�s en g�n�ral sur des �chantillons de $n=1000$
personnes. 
Bien s�r, si ce n'est pas le cas, on adapte alors l'intervalle de
confiance [49\%\,;\,55\%] gr�ce � la formule pr�c�dente. 

\section{Dimensionnement des �chantillons}

En sondant un �chantillon plus important, l'intervalle de confiance
aurait �t� restreint. Deux �lements sont alors en concurrence: 
\bgit
\item si la taille de l'�chantillon est faible, la fourchette obtenue
  est large, et l'information peut manquer de pertinence; 
\item on ne souhaite pas par ailleurs � sonder des �chantillons de
  taille trop importante, afion de diminuer le co�t de l'�tude. 
\enit


\bgex
Avec les donn�es de l'exercice pr�c�dent, 
en supposant que la proportion d'�lecteurs favorables au candidat A
reste la m�me, 
de quelle taille devrait �tre l'�chantillon des personnes interrog�es
pour pouvoir affirmer que A serait �lu ?
\enex

\bgex
En 2002, avant le 1er tour des �lections pr�sidentielles, les sondages
estimaient que L. Jospin allait l'emporter sur J.M. Le Pen avec 18\%
pour des votes contre 14\%. 

A la surprise g�n�rale, le jour de l'�lection, J.M. Le Pen l'emporta
avec 16,86\% des votes contre 16,18\% pour L. Jospin\dots

\bgen
\item Voici un extrait d'un article publi� dans le journal "Le Monde"
  par le statisticien Michel Lejeune apr�s le premier tour de
  l'�lection pr�sidentielle de 2002: 
  
  \emph{
    "Pour les rares scientifiques qui savent comment sont produites les
    estimations, il est clair que l'�cart des intentions de vote entre
    les candidats Le Pen et Jospin randait tout � fait plausible le
    sc�nario qui s'est r�alis�. 
    En effet, certains des derniers sondages indiquaient 18\% pour
    Jospin et 14\% pour Le Pen. 
    Si l'on se r�f�re � un sondage qui serait effectu� dans des
    conditions id�ales~[\dots], on obtient sur de tels pourcentages une
    incertitude de plus ou moins 3\% �tant donn� la taille de
    l'�chantillon [\dots]"
  }

  \vsp
  Quel est la taille de l'�chantillon auquel fait allusion 
  Michel Lejeune dans son article publi� dans "Le Monde" ? 

\item D�terminer les intervalles de confiance � 95\% apr�s le
  sondage (effectu� aupr�s de 1000 personnes). 

  Le r�sultat de l'�lection est-il si surprenant ? 

\item V�rifier que les pourcentages de votes pour Jospin et Le Pen
  sont bien coh�rents avec les r�sultats du sondage. 

\item La taille de l'�chantillon �tait ici trop faible, pour pouvoir
  tirer une conclusion, m�me avec un risque d'erreur de 5\%. 

  \vsp
  Quelle devrait �tre la taille de l'�chantillon de personnes
  sond�es pour que, si 18\% des personnes votent pour Jospin et 14\%
  pour Le Pen, on puisse conclure, avec un risque d'erreur de 5\%, que
  Jospin l'emporterait bien sur Le Pen. 
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