Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfsubject={Cours de math�matiques: �chantillonnage, fluctuation al�atoire, sondage},
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% Raccourcis diverses:
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\newcommand{\TITLE}{Fluctuation des �chantillons - Estimation \& sondage}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/2nde/Mathematiques-2nde.php}{xymaths.fr - 2nde}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\vspace*{-2cm}
\hfill{\raisebox{0.cm}[0.9cm]{\bgmp{11.5cm}\bf \huge{\TITLE}\enmp}}
\hfill
$2^{\mbox{\scriptsize{nde}}}$
\section{Inf�rence et �chantillonnage statistiques}
\hspace{2.8cm}
\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-5.5,-2.8)(4.5,3)
\psellipse(-.1,0.4)(2.1,2.8)
\rput(-0.1,2){Population}
\rput(0,1.7){proportion $p$}
\psellipse(-0.5,-1.1)(1.1,0.7)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](-0.5,-0.4)(1,0.3)\rput(-0.5,-0.4){Echantillon}
\psline(-1.3,-0.6)(0.25,-0.6)
\rput(-0.5,-0.85){taille $n$}
\rput(-0.5,-1.15){proportion $p'$}
%
\psarc[linecolor=red,linewidth=1.4pt]{->}(0.6,0.4){1.6}{-90}{80}
\rput(3.1,1){\textcolor{red}{\bf Inf�rence}}
\rput(3.2,0.6){\textcolor{red}{(induction)}}
\psarc[linecolor=blue,linewidth=1.4pt]{->}(-1.3,0.4){1.6}{80}{260}
\rput(-4.3,1){\textcolor{blue}{\bf Echantillonnage}}
\rput(-4,0.6){\textcolor{blue}{(d�duction)}}
\end{pspicture}
\vspd
\bgmp{8cm}
\ulb{L'�chantillonnage statistique} consiste � pr�dire, � partir d'une
population connue les caract�ristiques des �chantillons qui en seront
pr�lev�s.
On parle aussi de \ulb{d�duction} des caract�ristiques de l'�chantillon.
\enmp
\hspace{0.25cm}
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.4pt](0,1.3)(0,-1.2)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.4pt](0.1,1.3)(0.1,-1.2)
\hspace{0.25cm}
\bgmp{8.4cm}
\ulr{L'inf�rence statistique} consiste � induire les caract�ristiques
inconnues d'une population � partir de celles d'un �chantillon.
On parle aussi d'\ulr{induction}, ou encore d'extrapolation des
caract�ristiques � l'ensemble de la population.
\enmp
\section{Fluctuation d'�chantillonnage}
\bgdef{Lorsqu'on r�p�te $n$ fois une exp�rience al�atoire on obtient
une s�rie de $n$ r�sultats que l'on appelle
{\bf �chantillon de taille $n$}.
Si ces r�p�titions sont indentiques et ind�pendantes entre elles et
que l'issue de chacune admet deux issues
(0 ou 1, "R�ussite" ou "Echec", \ldots),
on dit que l'�chantillon rel�ve du mod�le de Bernoulli.
}
\bgdef{
Si on r�alise plusieurs �chantillons, la distribution des
proportions (ou fr�quences)
du nombre de "R�ussite" varie d'un �chantillon � l'autre.
Ce ph�nom�ne s'appelle la {\bf fluctuation d'�chantillonnage}.
}
\vspd\noindent
\ul{Exemple:}
Il y a $p=10\,\%$ de gauchers en France
(12\,\% exactement).
Dans un �chantillon de 30 �l�ves (la classe par exemple),
on peut donc s'attendre � trouver 3 gauchers.
\vsp
Dans certaines classes, il y a effectivement 3 gauchers, dans d'autes
il y en a 2, soit $2/30\simeq 7\,\%$, dans d'autres qu'un seul,
soit $1/30\simeq 3,5\,\%$, dans d'autres encore il peut y en a jusqu'�
6, soit ($6/30=20\,\%$), mais il semble tr�s rare de trouver une
classe avec 7 ou plus de gauchers.
\vsp
La fr�quence, ou proportion, de gauchers dans un �chantillon de 30
personnes, varie, ou fluctue d'un �chantillon � l'autre,
mais reste s�rement dans l'intervalle
$\Bigr[ 3,5\,\%\,;\,20\,\% \Bigr]=\Bigl[ 0,35\,;\,0,2\Bigr]$.
\section{Intervalle de fluctuation au seuil de 95\%}
On sait n�anmoins que plus la taille de l'�chantillon est grande, plus
la proportion observ�e se rapproche (se stabilise autour) d'une valeur
limite donn�e par la probabilit�:
c'est {\bf la loi des grands nombres}.
\vspd
Plus pr�cis�ment, si on d�signe par $p$ la proportion dans la
population compl�te, ou la probabilit� s'il s'agit d'une exp�rience
al�atoire, et qu'on r�alise un �chantillon de taille $n$, alors,
\bgprop{
Si $n\geqslant 25$ et $0,2\leqslant p\leqslant 0,8$,
la proportion $p'$ dans un �chantillon de taille $n$ est dans
l'intervalle
\[
\lb\ p-\frac{1}{\sqrt{n}}\ ;\ p+\frac{1}{\sqrt{n}}\ \rb
\]
avec une probabilit� d'environ 95\%.
Cet intervalle s'appelle l'intervalle de fluctuation � 95\%,
ou au seuil de 95\%, ou encore au seuil d'erreur de 5\%.
}
\vspd
Cet intervalle quantifie la fluctuation due � l'al�atoire de la
proportion $p'$ que l'on peut observer en ne pr�levant qu'un
�chantillon de taille $n$.
M�me si, comme l'�chantillon est constitu� al�atoirement, la
proportion $p'$ peut a priori prendre n'importe quelle valeur entre 0 et
1
(ou 0\% et 100\%), on est "presque s�r" (en fait avec un "petit"
risque d'erreur de 5\%) que la variation de la proportion $p'$ reste
limit�e dans cet intervalle.
\bgex
On r�alise un �chantillon de taille $n=50$ lancers d'une pi�ce
�quilibr�e; on a alors �quiprobabilit�: les probabilit�s des issues
"Pile" et "Face" sont
$p=P("Pile")=P("Face")=0,5$.
\bgen
\item Combien de fois peut-on s'attendre � obtenir l'issue "Pile" ?
\item On obtient 30 fois l'issue "Pile".
Calculer la fr�quence correspondante.
Est-ce que l'hypoth�se "la pi�ce est �quilibr�e" est cr�dible ?
\item On r�alise un �chantillon de $n=100$ lancers.
Calculer la fr�quence correspondante.
On obtient 60 fois l'issue "Pile".
Est-ce que l'hypoth�se "la pi�ce est �quilibr�e" est cr�dible ?
\item On r�alise un �chantillon de $n=200$ lancers.
Calculer la fr�quence correspondante.
On obtient 120 fois l'issue "Pile".
Est-ce que l'hypoth�se "la pi�ce est �quilibr�e" est cr�dible ?
\enen
\enex
\bgex {\bf Influence d'une usine � proximit�}
Une usine chimique est venue s'implanter pr�s d'une ville il y a 3
ans.
Pendant ces 3 ans sont n�s dans cette ville 132 enfants dont 52
gar�ons.
\bgen
\item Quelles sont les proportions de gar�ons et de filles n�s dans
cette ville ces 3 derni�res ann�es ?
\item Peut-on consid�rer que l'usine a eu un impact sur les naissances ?
\enen
\enex
\bgex {\bf Parit� homme-femme}
Deux entreprises $A$ et $B$ recrutent leur personnel dans un bassin
d'emploi o� il y a autant d'hommes que de femmes.
L'entreprise $A$ emploie $60$ personnes, dont 26 femmes, tandis que
l'entreprise $B$ emploie 1050 personnes, dont 480 femmes.
\bgen
\item Calculer les proportions de femmes employ�es dans chaque
entreprise.
Laquelle semble au mieux respecter la parit� ?
\item D�terminer pour chaque entreprise l'intervalle de fluctuation �
95\% de la proportion de femmes.
\item Les deux entreprises respectent-elles la parit� au seuil
d'erreur de 5\% ?
\enen
\enex
\bgex {\bf Conditionnement et commercialisation de pi�ces d�fectueuses}
La cha�ne de production d'une usine produit des pi�ces
commercialisables.
5\% des pi�ces produites sont d�fectueuses.
Ces pi�ces sont ensuites conditionn�es et exp�di�es par carton de 50
pi�ces.
\bgen
\item Quelle est la probabilit� pour que dans un carton:
\bgen[a)]
\item aucune pi�ce ne soit d�fectueuse ?
\item exactement une pi�ce soit d�fectueuse ?
\item il y ait au plus une pi�ce d�fectueuse ?
\enen
\item D�terminer l'intervalle de fluctuation � 95\% du nombre de
pi�ces d�fectueuses.
Interpr�ter.
\item M�mes questions pour un conditionnement par cartons de 200
pi�ces.
\enen
\enex
\bgex {\bf Dimensionnement d'une cantine}
Dans un �tablissement de 3000 personnes, chaque personne peut ou non,
librement, manger � la cantine chaque jour.
En moyenne 65\% des personnes y mangent.
On souhaite estimer le nombre de places assises dans la cantine telle
mani�re que toutes les personnes aient une place pour manger.
Par ailleurs, par soucis d'�conomie, on souhaite aussi que le nombre
de places pr�vues soit minimal.
Combien de places doit-on pr�voir ?
\enex
\bgex {\bf Texas contre Partida}
En novembre 1976, dans un comt� du sud du Texas, Rodrigo Partida �tait
condamn� � 8 ans de prison pour cambriolage et tentative de viol.
Il attaqua ce jugement au motif que la d�signation des jur�s
�tait discriminante: alors que 79,1\% de la population du comt� �tait
d'origine mexicaine, sur les 870 personnes convoqu�es pour �tre jur�s
lors d'une certaine p�riode, il n'y e�t que 339 personnes d'origine
mexicaine.
\bgen
\item D�terminer l'intervalle de fluctuation pour la proportion de
personnes d'origine mexicaine dans un �chantillon de 870 personnes.
\item Quelle est la proportion de personnes d'origine mexicaine
constat�e parmi les jur�s convoqu�s ?
Qu'en conclure ?
\enen
\enex
\bgex {\bf Contr�le qualit�}
Dans une usine, le responsable de la fabrication affirme que la
proportion de produits d�fectueux fabriqu�s est de 20\%.
Sur la cha�ne de fabrication on a pr�lev� au hasard 72 produits,
et on a constat� que 24 d'entre eux �taient d�fectueux.
\bgen
\item Quelle est la proportion de produits d�fectueux dans
l'�chantillon pr�lev� ?
\item Que penser de l'affirmation du responsable de la fabrication ?
\enen
\enex
\bgex {\bf Influence du climat sur la couleur des yeux}
En France, la proportion de personnes ayant les yeux bleus est de
31\%.
Dans une grande ville fran�aise, au micro-climat particuli�rement
ensoleill�, sur 50 personnes rencontr�es au hasard, on a recens� 10
personnes ayant les yeux bleus.
\bgen
\item D�terminer l'intervalle de fluctuation � 95\% de la proportion
de personnes ayant les yeux bleus dans un �chantillon de 50
personnes.
\item Peut-on attribuer au micro-climat une influence sp�cifique sur
la couleur des yeux ?
\enen
\enex
\section{Estimation d'une proportion inconnue � partir d'un �chantillon}
\bgex {\bf Estimation du nombre de cyclistes citadins}
Dans une grande ville de 200\,000 habitants, la municipalit�
s'int�resse au nombre de cyclistes afin d'adapter au mieux les routes
et pistes cyclables. Elle cherche donc � estimer la propotion $p$ de
cyclistes dans la ville, ou encore le nombre $N$ de cyclistes.
La municipalit� a ainsi effectu� un sondage en interrogeant, au
hasard, 400 personnes.
Sur ces 400 personnes, 78 d�clarent circuler r�guli�rement en v�lo.
\bgen
\item Quelle est la proportion $p'$ de cyclistes dans l'�chantillon
interrog� ?
Peut-on affirmer que $p=p'$ ?
\item Pour une proportion $p$ de cyclistes dans la ville, donner
l'intervalle � 95\% de la proportion $p'$ dans un �chantillon de
taille 400.
Ecrire alors deux in�galit�s concernant les proportions $p$ et
$p'$.
\item Quelles in�galit�s doit alors satisfaire la proportion $p$ ?
En d�duire l'intervalle contenant la proportion $p$, puis un
encadrement de du nombre $N$ de cylcistes dans toute la ville.
\enen
\enex
\vspd
\bgdef{
Un �chantillon est un sous-ensemble de la population.
Un �chantillon \ul{repr�sentatif} est un sous-ensemble
\ul{choisi au hasard dans la population}.
}
\vspd
Connaissant la proportion (ou fr�quence) $p'$ d'un caract�re pour un
�chantillon al�atoire de taille $n$, on peut estimer la proportion $p$
du caract�re dans la population compl�te de la fa�on suivante:
\bgprop{
Lorsque $n\geqslant 25$ et $0,2\leqslant p\leqslant 0,8$,
l'intervalle
\[
\left[\ p'-\frac{1}{\sqrt{n}}\ ;\ p'+\frac{1}{\sqrt{n}} \ \right]
\]
contient la proportion $p$ avec une probabilit� sup�rieure ou �gale
� 95\%.
Cet intervalle s'appelle l'intervalle de confiance au seuil de 95\%,
ou l'intervalle au niveau de confiance de 95\%.
}
\bgex
La semaine pr�c�dent une �lection opposant deux candidats $A$ et $B$,
on a interrog� un �chantillon de 200 �lecteurs suppos� repr�sentatif
de l'ensemble des �lecteurs.
109 personnes de cet �chantillon ont d�clar� avoir l'intention de voter
pour le candidat $A$.
Le candidat $A$, suite � ce sondage, affirme:
\og si les �lections avaient eu lieu le jour du sondage j'aurais �t�
�lu\fg.
Qu'en pensez-vous ?
\enex
\bgsk
D'apr�s ce qui pr�c�de, on peut (et doit!) maintenant traduire un
r�sultat d'un sondage tel que:
{\sl \og Il y a 52\% de personnes qui voteraient pour le candidat A
(d'apr�s un sondage r�alis� aupr�s de 1000 personnes\fg,}
par:
{\sl \og Il y a 95\% de chances (ou une probabilit� de 0,95=95\%)
pour que l'intervalle [49\%\,;\,55\%] contiennent le pourcentage de
personnes pr�ts � voter pour le candidat A\fg.}
\vspd
Les sondages sont r�alis�s en g�n�ral sur des �chantillons de $n=1000$
personnes.
Bien s�r, si ce n'est pas le cas, on adapte alors l'intervalle de
confiance [49\%\,;\,55\%] gr�ce � la formule pr�c�dente.
\section{Dimensionnement des �chantillons}
En sondant un �chantillon plus important, l'intervalle de confiance
aurait �t� restreint. Deux �lements sont alors en concurrence:
\bgit
\item si la taille de l'�chantillon est faible, la fourchette obtenue
est large, et l'information peut manquer de pertinence;
\item on ne souhaite pas par ailleurs � sonder des �chantillons de
taille trop importante, afion de diminuer le co�t de l'�tude.
\enit
\bgex
Avec les donn�es de l'exercice pr�c�dent,
en supposant que la proportion d'�lecteurs favorables au candidat A
reste la m�me,
de quelle taille devrait �tre l'�chantillon des personnes interrog�es
pour pouvoir affirmer que A serait �lu ?
\enex
\bgex
En 2002, avant le 1er tour des �lections pr�sidentielles, les sondages
estimaient que L. Jospin allait l'emporter sur J.M. Le Pen avec 18\%
pour des votes contre 14\%.
A la surprise g�n�rale, le jour de l'�lection, J.M. Le Pen l'emporta
avec 16,86\% des votes contre 16,18\% pour L. Jospin\dots
\bgen
\item Voici un extrait d'un article publi� dans le journal "Le Monde"
par le statisticien Michel Lejeune apr�s le premier tour de
l'�lection pr�sidentielle de 2002:
\emph{
"Pour les rares scientifiques qui savent comment sont produites les
estimations, il est clair que l'�cart des intentions de vote entre
les candidats Le Pen et Jospin randait tout � fait plausible le
sc�nario qui s'est r�alis�.
En effet, certains des derniers sondages indiquaient 18\% pour
Jospin et 14\% pour Le Pen.
Si l'on se r�f�re � un sondage qui serait effectu� dans des
conditions id�ales~[\dots], on obtient sur de tels pourcentages une
incertitude de plus ou moins 3\% �tant donn� la taille de
l'�chantillon [\dots]"
}
\vsp
Quel est la taille de l'�chantillon auquel fait allusion
Michel Lejeune dans son article publi� dans "Le Monde" ?
\item D�terminer les intervalles de confiance � 95\% apr�s le
sondage (effectu� aupr�s de 1000 personnes).
Le r�sultat de l'�lection est-il si surprenant ?
\item V�rifier que les pourcentages de votes pour Jospin et Le Pen
sont bien coh�rents avec les r�sultats du sondage.
\item La taille de l'�chantillon �tait ici trop faible, pour pouvoir
tirer une conclusion, m�me avec un risque d'erreur de 5\%.
\vsp
Quelle devrait �tre la taille de l'�chantillon de personnes
sond�es pour que, si 18\% des personnes votent pour Jospin et 14\%
pour Le Pen, on puisse conclure, avec un risque d'erreur de 5\%, que
Jospin l'emporterait bien sur Le Pen.
\enen
\enex
\end{document}
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