Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques
Première STI2D
Sujet 0 de mathématiques pour les E3C (Épreuve commune de contrôle continu) en première STI2D et première STMG
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- Sujet 0 de mathématiques pour les E3C (Épreuve commune de contrôle continu) en première STI2D et première STMG
- Niveau
- Première STI2D
- Mots clé
- E3C, sujet 0, controle continu, fonctions, automatisme, pourcentage, taux, évolution, python, devoir de mathématiques, devoir corrigé, 1STI2D, STI2D, maths, bac 2021
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\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article} \usepackage[french]{babel} %\selectlanguage{francais} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \usepackage{enumerate} \usepackage{array} \usepackage{colortbl} \usepackage{multirow} \usepackage{pst-all} \usepackage{hyperref} \hypersetup{ pdfauthor={Yoann Morel}, pdfsubject={Corrigé E3C - Epreuve commune de controle continu 1ère STI2D - Sujet 0}, pdftitle={E3C STI2D - Correction du sujet 0}, pdfkeywords={E3C, sujet 0, correction, Mathématiques, 1ère STI2D, première STI2D} } \hypersetup{ colorlinks = true, linkcolor = blue, anchorcolor = red, citecolor = blue, filecolor = red, urlcolor = red } % Raccourcis diverses: \newcommand{\nwc}{\newcommand} \nwc{\dsp}{\displaystyle} \nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}} \nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}} \nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}} \nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}} \nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)} \nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]} \nwc{\ul}{\underline} \nwc{\tm}{\times} \nwc{\V}{\overrightarrow} \newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}} \newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}} \newcommand{\ct}{\centerline} \nwc{\bgsk}{\bigskip} \nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}} \nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}} \nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}} \nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}} \def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} \def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} \def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} \def\C{{\rm C\kern-4.7pt \vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} \def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}} \newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0} \newenvironment{EX}{% \stepcounter{nex} \bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm} }{} \nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}} \nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}} \setlength{\headsep}{0in} \setlength{\parskip}{0ex} \setlength{\parindent}{0mm} \textheight=27.8cm \textwidth=18.5cm \topmargin=0cm \headheight=-.2cm \footskip=.9cm \oddsidemargin=-1.7cm \voffset=-2.2cm \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancyplain} \setlength{\headheight}{0cm} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{.1pt} \lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1STI/}} \cfoot{} \rfoot{Devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} %\thispagestyle{empty} %\vspace*{-2.5em} \ct{\bf\LARGE{Correction de l'épreuve commune de contr\^ole continu}} \ct{\bf\Large{Séries technologiques -- Classe de première -- \'Epreuve 1}} \medskip \ct{\bf\Large{Enseignement commun de mathématiques}} %\ct{\bf\Large{Classe de première -- \'Epreuve 1}} \ct{\rule[0cm]{10em}{.1em}} \medskip {\bf{\LARGE{PARTIE I}}} {\bf Automatismes - Sans calculatrice (5 points) \hfill Durée: 20 minutes} \medskip\hspace*{-1.2em} \begin{tabular}{|c|c|c|}\hline \rowcolor{lightgray} \rule[-.6em]{0em}{2.1em}&\'Enoncé & Réponse \\\hline 1)&\rule[-.6em]{0em}{2.2em}Fraction irréductible égale à $\dfrac25+\dfrac34$& $\dfrac{2\tm4}{5\tm4}+\dfrac{3\tm5}{4\tm5}=\dfrac{23}{20}$ \\\hline 2)&\rule[-.6em]{0em}{2.2em}Fraction irréductible égale à $2-\dfrac17$& $\dfrac{2\tm7}7-\dfrac17=\dfrac{13}7$ \\\hline 3)&\rule[-.6em]{0em}{2.2em}Fraction irréductible égale à $\dfrac{12}5\tm\dfrac{20}9$& $\dfrac{3\tm4\tm4\tm5}{5\tm3\tm3}=\dfrac{16}3$ \\\hline 4)&\rule[-.8em]{0em}{2.4em}Compléter&$\dfrac25\tm\lp\dfrac52\tm3\rp = 3$ soit $\dfrac25\tm\dfrac{15}2=3$\\\hline 5)&\rule[-.4em]{0em}{1.6em}Compléter&$8x\tm 7x^2 = 56x^3$\\\hline 6)&\rule[-.8em]{0em}{2.4em}Calculer 30\% de 70 & $\dfrac{30\tm70}{100}=3\tm7=21$\\\hline 7)&\rule[-.9em]{0em}{2.5em}Si $T=\dfrac{2\pi}\omega$, alors $\omega=$& $\omega=\dfrac{2\pi}T$\\\hline 8)&\rule[-.8em]{0em}{2.4em}Développer $-3x(1-2x)$& $-3x+6x^2$ \\\hline 9)&Factoriser $(x+2)(x-3)-2(x+2)$& \bgmp{5.8cm}\[\bgar{lll}&&(x+2)\Bigl((x-3)-2\Bigr)\\&=&(x+2)(x-5)\enar\]\enmp \\\hline 10)&\rule[-.8em]{0em}{2.4em}$f(x)=x^2-4x$. Calculer $f(-2)$& $f(-2)=(-2)^2-4\tm(-2)=12$ \\\hline 11)&\rule[-1.9em]{0em}{3.2em} \bgmp[t]{11.3cm}Une réduction de 20\% d'un article représente une diminution du prix de 7\euro. Quel était le prix de cet article avant réduction ?\enmp & $20\%\tm x=7 \iff x=\dfrac{7}{20\%}=35$\\\hline 12)&Compléter& \rule[-1.4em]{0em}{3.4em}\bgmp{6cm}\ct{$2,7\tm10^{10}=27\tm10^9$} est égal à 27 milliards\enmp \\\hline 13)& \multirow{4}{*}{ \bgmp{4.2cm}\psset{unit=.58cm} \begin{pspicture*}(-2.6,-2.6)(2.6,4.32) \psline[linewidth=1.5pt]{>}(-2.5,0)(2.5,0) \psline[linewidth=1.5pt]{>}(0,-2.5)(0,4.5) \psplot[linewidth=2pt]{-2.6}{2.6}{-1 x 2 sub mul x 2 add mul} \rput[l](1.5,3){$\mathcal{C}_f$} \multido{\i=-2+1}{7}{ \psline[linewidth=.3pt](\i,-2.6)(\i,4.3)\rput(\i,-.4){$\i$} \psline[linewidth=.3pt](-2.3,\i)(2.3,\i)\rput[r](-.2,\i){$\i$} } \end{pspicture*}\enmp\quad \bgmp{5.2cm} $\mathcal{C}_f$ est la courbe \\ représentative d'une \\ fonction $f$ définie sur $\R$. \\[.5em] Compléter par lecture \\ graphique\enmp} &\rule[-.8em]{0em}{2em}L'image de 0 par $f$ est $f(0)=4$ \\\cline{1-1}\cline{3-3} 14) & & \rule[-.7em]{0em}{1.9em}Un antécédent de 0 par $f$ est $-2$ ou $2$ \\\cline{1-1}\cline{3-3} 15) & & \rule[-1.1em]{0em}{3.1em}\bgmp{5.5cm}L'ensemble des solutions de\\ $f(x)=3$ est $\bigl\{-1;1\bigr\}$ \enmp \\\cline{1-1}\cline{3-3} 16) & & \rule[-1.1em]{0em}{3.1em}\bgmp{5.5cm}L'ensemble des solutions de\\ $f(x)>0$ est $]-2;2[$ \enmp \\\hline 17)&\multirow{2}{*}{\bgmp{3.8cm}\psset{unit=.7cm} \begin{pspicture*}(-.9,-1.2)(4.6,2.5) \psline[linewidth=1.5pt]{>}(-.2,0)(2.5,0) \psline[linewidth=1.5pt]{>}(0,-1.2)(0,2.5) \psplot[linewidth=2pt]{-2.6}{4.6}{-2 3 div x mul 2 add} \rput[l](2.5,.5){$\mathcal{D}$} \multido{\i=-2+1}{7}{ \psline[linewidth=.3pt](\i,-1.2)(\i,2.6)\rput(\i,-.2){$\i$} \psline[linewidth=.3pt](-.3,\i)(4.3,\i)\rput[r](-.2,\i){$\i$} } \end{pspicture*}\enmp\quad \bgmp{6cm} La droite $\mathcal{D}$ est la représentation\\ graphique d'une fonction affine $f$\\ définie sur $\R$.\\[.4em] Compléter par lecture graphique. \enmp} &\rule[-1.5em]{0em}{3.3em}\bgmp{5.5cm}L'équation réduite de $\mathcal{D}$ est:\\ \ct{$y=-\dfrac23x+2$}\enmp\\\cline{1-1}\cline{3-3} 18)& &\rule[-2.8em]{0em}{4.4em}\bgmp{5.5cm}Le tableau de signes de $f$ est: \\ \begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$& $-\infty$ &&3&&$+\infty$ \\\hline $f(x)$&&$+$&0&$-$&\\\hline \end{tabular} \enmp\\\hline 19)& \rule[-.8em]{0em}{1.8em}L'équation réduite de la droite $\Delta$ est: $y=2,5x-13$. Compléter& $y=2,5\tm6-13=2$ soit $A\bigl(6; 2 \bigr)$\\\hline 20)&Compléter& \bgmp{5cm} \psset{unit=.35cm}\begin{pspicture*}(-2.2,-1.4)(4.5,3.6) \psline[linewidth=1.2pt]{>}(-2.3,0)(2.3,0) \psline[linewidth=1.2pt]{>}(0,-.4)(0,3.5) \psplot[linewidth=1.4pt]{-1.85}{1.85}{x 2 exp} \psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](-1.7,0)(-1.7,3)(0,3) \rput[l](2,2){$y=x^2$} \rput[l](.2,3){3} \rput(-1.5,-.8){$-\sqrt3$} \end{pspicture*}\enmp\\\hline \end{tabular} \clearpage %\vspace*{-3em} {\bf{\LARGE{PARTIE II}} - Calculatrice autorisée (type collège)} \hfill {\bf Durée: 1h30} \bigskip \ct{\bf\large Exercice 1 (5points)} {\bf Partie A: \'Etude d'une fonction}\\ Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=0,005x(x+56)$. \bgen \item On a $f(x)=0,005x^2+0,28x$: c'est une fonction du second degré et sa courbe représentative est donc une parabole. \item \bgit \item les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des abscisses sont tels que $f(x)=0\iff x=0 \text{ ou } x=-56$ \item l'axe de symétrie de $\mathcal{C}_f$ est la droite d'équation $x=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{0,28}{2\tm0,005}=-28$. \enit \[\psset{arrowsize=7pt,xunit=.1,yunit=1} \begin{pspicture*}(-65,-4.8)(18,4) \psline{->}(-65,0)(16,0) \psline{->}(0,-4.5)(0,4) \psplot{-65}{10}{0.005 x mul x 56 add mul} \multido{\i=-60+10}{8}{\psline(\i,-.05)(\i,.05)\rput(\i,-.3){$\i$}} \multido{\i=-4+1}{8}{\psline(-.5,\i)(.5,\i)\rput[r](-.8,\i){$\i$}} \end{pspicture*}\] \enen \medskip {\bf Partie B : Sur route humide}\\ \[\psset{arrowsize=7pt,xunit=0.1,yunit=0.038} \begin{pspicture}(-35,-10)(150,260) \psline[linewidth=1.3pt]{->}(0,0)(146,0) \psline[linewidth=1.3pt]{->}(0,0)(0,256) \multido{\i=5+10}{14}{\psline[linewidth=.1pt,linecolor=lightgray](\i,0)(\i,250)} \multido{\i=0+10}{15}{\psline[linewidth=.5pt](\i,-3)(\i,250)\rput(\i,-7){\i}} \multido{\i=10+10}{25}{\psline[linewidth=.1pt,linecolor=lightgray](0,\i)(140,\i)} \multido{\i=0+50}{6}{\psline[linewidth=.5pt](-2,\i)(140,\i)\rput[r](-2,\i){\i}} \psplot{0}{130}{0.005 x mul x 1.96 mul 56 add mul} \rput[r](140,-18){\bf Vitesse en km/h} \rput[l](0,260){\bf Distance d'arr\^et en m} \psline[linecolor=red,linewidth=2pt,arrowsize=10pt]{->}(80,0)(80,85)(0,85) \psline[linecolor=red,linewidth=2pt,arrowsize=10pt]{->}(90,0)(90,105)(0,105) \psline[linecolor=blue,linewidth=2pt,arrowsize=10pt]{->}(0,60)(65,60)(65,0) \end{pspicture}\] \bgen \item la distance d'arr\^t en mètres d'un véhicule automobile roulant à une vitesse de 80 km/h est d'environ 85 m; celle à une vitesse de 90 km/h est d'environ 105 m. \item la vitesse en km/h correspondant à une distance d'arr\^et de 60 mètres est d'environ 65 km/h. \enen \medskip {\bf Partie C : Sur route sèche}\\ Sur route sèche, la distance d'arr\^et en mètres d'un véhicule roulant à $x$ km/h est modélisée par la fonction $f$ de la partie A définie uniquement sur $[0; 130]$ par $f(x)=0,005x(x + 56)$. \bgen \item Calculer $f(80)=0,005\tm80(80+56)=54,4$: la distance d'arr\^et sur route sèche à une vitesse de 80 km/h est de 54,4 mètres. \item \[\begin{tabular}{|*9{c|}}\hline \rule[-.7em]{0em}{2em}$x$ & \quad0\quad\, & \quad30\quad\, &\quad50\quad,& \quad70\quad\, & \quad80\quad\, & \quad90\quad\, & \quad11\quad\,0 & \quad130\quad\, \\\hline \rule[-.8em]{0em}{2.2em}$f(x)$ & 0 & 13 & 27 & 44 & 54 & 66& 91 & 121 \\\hline \end{tabular}\] \item \[\psset{arrowsize=7pt,xunit=0.1,yunit=0.038} \begin{pspicture}(-35,-10)(150,260) \psline[linewidth=1.3pt]{->}(0,0)(146,0) \psline[linewidth=1.3pt]{->}(0,0)(0,256) \multido{\i=5+10}{14}{\psline[linewidth=.1pt,linecolor=lightgray](\i,0)(\i,250)} \multido{\i=0+10}{15}{\psline[linewidth=.5pt](\i,-3)(\i,250)\rput(\i,-7){\i}} \multido{\i=10+10}{25}{\psline[linewidth=.1pt,linecolor=lightgray](0,\i)(140,\i)} \multido{\i=0+50}{6}{\psline[linewidth=.5pt](-2,\i)(140,\i)\rput[r](-2,\i){\i}} \psplot{0}{130}{0.005 x mul x 1.96 mul 56 add mul} \rput[r](140,-18){\bf Vitesse en km/h} \rput[l](0,260){\bf Distance d'arr\^et en m} \psplot[linecolor=red,linewidth=1.8pt]{0}{130}{0.005 x mul x 56 add mul} \end{pspicture}\] \enen \medskip {\bf Partie D :}\\ Une campagne publicitaire de la Sécurité Routière du mois de juin 2018 affirme que baisser la vitesse sur les routes de 90 km/h à 80 km/h permet de gagner 13 mètres au moment du freinage. \bgen \item sur route humide, à 90 km/h il faut 105 m pour s'arr\^eter, tandis qu'à 80 km/h il faut 85 m. On gagne ainsi 20 m, soit plus qu'annoncé et l'affirmation est donc fausse. \item sur route sèche, à 90 km/h il faut 66 m pour s'arr\^eter, tandis qu'à 80 km/h il faut 54 m. On gagne insi 12 m, soit moins qu'annoncé et l'affirmation est donc fausse. \enen \bigskip \ct{\bf\large Exercice 2 (5points)} {\bf Partie A:} \bgen \item \[\begin{tabular}{*4{c|}}\cline{2-4} \rule[-1.3em]{0em}{3em} &\bgmp{4.5cm}Nombre de sondés ayant\\ souscrit le forfait $M$\enmp &\bgmp{4.5cm}Nombre de sondés ayant\\ souscrit le forfait $S$\enmp &\quad Total\quad\,\\\hline \multicolumn{1}{|c|}{\rule[-1.2em]{0em}{3em} \bgmp{5.5cm}Nombre de sondés ayant acheté\\le téléphone de modèle $A$\enmp} &635&15&650 \\\hline \multicolumn{1}{|c|}{\rule[-1.2em]{0em}{3em} \bgmp{5.5cm}Nombre de sondés ayant acheté\\le téléphone de modèle $B$\enmp} &405&945&1350\\\hline \multicolumn{1}{|c|}{\rule[-.5em]{0em}{1.8em}Total}&1040&960&2000\\\hline \end{tabular}\] \item La fréquence des sondés ayant souscrit un forfait S est $\dfrac{1040}{2000}=0,48=48\%$. \item \bgen \item La fréquence des sondés qui ont acheté un téléphone de modèle A et ont souscrit un forfait M est $\dfrac{635}{2000}=0,3175=31,75\%$. \item La formule la plus économique est la précédente: modèle A et forfait M, et il y a effectivement, 31,75\%, soit moins d'un tiers des sondés. \enen \item La probabilité est de $\dfrac{945}{960}\simeq0,98=0,98\%$, qui est effectivement forte. \enen \bigskip {\bf Partie B:}\\ \bgen \item Il y a $100\%-15\%-67\%=18\%$ de clients interrogés qui n'ont pas répondu à la première question. \item Parmi l'ensemble des clients interrogés, il y a $24\%\tm15\%=3,6\%$ de personnes qui ne sont pas satisfaits des conditions d'achat en raison d'un mauvais accueil. \enen \bigskip \ct{\bf\large Exercice 3 (5points)} \bgen \item $u(4)=189\tm1,08\simeq204$. \item $=B2*1,08$ \item La suite $u$ est géométrique de raison $1,08$ et de premier terme 150. \item \ct{\bgmp{6cm} \texttt{def nombre\_interesses(n):}\\ \hspace*{2em}\texttt{u=150 }\\ \hspace*{2em}\texttt{for i in range(n):}\\ \hspace*{4em}\texttt{u=u*1,08}\\ \hspace*{2em}\texttt{return u}\\ \enmp} \item \bgen \item Le nuage de points semble aligné, ce qui décrit les termes d'une suite arithmétique. \item La raison est $198-190=8$, et alors $v(n+1)=v(n)+8$ et: \\ \begin{tabular}{|*6{c|}}\hline \rule[-.7em]{0em}{2em} Rang de la semaine & \quad0\quad\, & \quad1\quad\, & \quad2\quad\, & \quad3\quad\, & \quad4\quad\, \\\hline \rule[-.7em]{0em}{2em} Nombre $v(n)$ de personnes intéressées & 190 & 198 & 206 & 214 & 222 \\\hline \end{tabular} \enen \item On cherche $n$ tel que $u(n)>v(n)$. On essayant des valeurs de $n$ successives (ou un algorithme et un programme), on trouve que pour $n=6$, $u(6)\simeq 238,03$ et $v(6)=238$. Ainsi, dès que $n\geqslant6$, il y a davantage de personnes intéressées par les photos de Lise que par celles d'Ali. \enen \label{LastPage} \end{document}
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