Source Latex: Devoir corrigé de mathématiques

Première STI2D

Devoir de mathématiques et son corrigé: suites numériques
Fichier
Type: Devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir de mathématiques et son corrigé: suites numériques
Niveau
Première STI2D
Mots clé
suite, suites numériques, suite récurrente, construction graphique, étude de fonction, devoir corrigé de mathématiques, maths

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    \documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

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\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{array}
\usepackage{pst-all}
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\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Devoir de mathématiques en 1STI2D: suites},
    pdftitle={Devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={Mathématiques, suites}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
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\setlength{\columnseprule}{1pt}	% default=0pt (no line)
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1STI/}}
\rfoot{Devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}STI2D$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}

\bgex
\bgen
\item Donner le signe de $P(x)=-x^2+x-1$ en fonction de $x$. 
\item On définit la suite $\lp u_n\rp$ par 
  $u_0=1$ puis, pour tout entier $n$, 
  $u_{n+1}=\dfrac{3u_n-1}{u_n+2}$. 

  On admet que pour tout entier $n$, $u_n>-2$. 

  \bgen[a)]
  \item Calculer les valeurs des premiers termes $u_1$ et $u_2$.
  \item Montrer que, pour tout entier $n$, 
    $u_{n+1}-u_n=\dfrac{P\lp u_n\rp}{u_n+2}$. 

    En déduire que, pour tout entier $n$, $u_{n+1}<u_n$. 

  \enen

  \item
    On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par 
    l'expression $f(x)=\dfrac{3x-1}{x+2}$, de telle manière que, 
    pour tout entier $n$, $u_{n+1}=f\lp u_n\rp$. 
    \bgen[a)]
    \item Dresser le tableau de variation de $f$. 
    \item Tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de $f$ 
      dans un repère orthonormal. \textsl{On prendra comme unité 10cm.} 
    \item Construire sur l'axe des abscisses les premiers termes de la suite 
      $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u4$. 
  \enen
\enen
\enex



\bgex
Soit la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par l'expression 
$f(x)=3x(x-1)+1$. \\
On note de plus $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y=x$. 
\bgen
\item Donner le tableau de variation de $f$. 


\item Déterminer les coordonnés des éventuels points d'intersection 
  de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{D}$. 

\item   Tracer $\mathcal{C}_f$ dans un repère orthonormal. 
  \textit{On prendra 1\,unité = 10\,cm.}

\item On définit la suite $\lp u_n\rp$ par 
  $u_0=0,1$ puis, pour tout entier $n$, 
  $u_{n+1}=f\lp u_n\rp$. 

  Construire sur l'axe des abscisses les premiers termes 
  de la suite, $u_0$, $u_1$, $u_2$, \dots , $u_5$. 
\enen
\enex





\label{LastPage}
\end{document}

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