Source Latex: Devoir corrigé de mathématiques

Première STI2D

Devoir de mathématiques et son corrigé: suites numériques
Fichier
Type: Devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir de mathématiques et son corrigé: suites numériques
Niveau
Première STI2D
Mots clé
suite, suites numériques, suite récurrente, construction graphique, étude de fonction, devoir corrigé de mathématiques, maths

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    \documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}
    
    \usepackage[french]{babel}
    %\selectlanguage{francais}
    \usepackage[utf8]{inputenc}
    \usepackage{amsfonts}
    \usepackage{amssymb}
    \usepackage{amsmath}
    \usepackage{enumerate}
    \usepackage{array}
    \usepackage{pst-all}
    \usepackage{hyperref}
    \hypersetup{
        pdfauthor={Yoann Morel},
        pdfsubject={Devoir de mathématiques en 1STI2D: suites},
        pdftitle={Devoir de mathématiques},
        pdfkeywords={Mathématiques, suites}
    }
    \hypersetup{
        colorlinks = true,
        linkcolor = red,
        anchorcolor = red,
        citecolor = blue,
        filecolor = red,
        urlcolor = red
    }
    \voffset=-1cm
    % Raccourcis diverses:
    \newcommand{\nwc}{\newcommand}
    \nwc{\dsp}{\displaystyle}
    \nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
    \nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
    \nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
    \nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
    
    \nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
    \nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
    \nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
    
    \nwc{\ul}{\underline}
    \nwc{\tm}{\times}
    \nwc{\V}{\overrightarrow}
    \newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
    \newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
    \newcommand{\ct}{\centerline}
    
    \nwc{\bgsk}{\bigskip}
    \nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
    \nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
    \nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
    \nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
    
    \def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
    \def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
    \def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
    \def\C{{\rm C\kern-4.7pt
    \vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
    \def\Q{\mathbb{Q}}
    \def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
    \def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
    
    \newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
    \newenvironment{EX}{%
    \stepcounter{nex}
    \bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
    }{}
    \nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
    
    \nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
    \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
    \nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
    \newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
    	\protect\vspace*{\fill}}
    \setlength{\columnsep}{30pt}	% default=10pt
    \setlength{\columnseprule}{1pt}	% default=0pt (no line)
    \setlength{\headsep}{0in}		% default=0.35in
    \setlength{\parskip}{0ex}
    \setlength{\parindent}{0mm}
    \voffset=-1cm
    \textheight=26.8cm
    \textwidth=18.5cm
    \topmargin=0cm
    \headheight=-0.cm
    \footskip=1.cm
    \oddsidemargin=-1.cm
    
    \usepackage{ifthen}
    \usepackage{fancyhdr}
    \pagestyle{fancyplain}
    \setlength{\headheight}{0cm}
    \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
    \renewcommand{\footrulewidth}{.1pt}
    \lhead{}\chead{}\rhead{}
    \lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1STI/}}
    \rfoot{Devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}STI2D$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
    \cfoot{}
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \begin{document}
    
    \ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}
    
    \bgex
    \bgen
    \item Donner le signe de $P(x)=-x^2+x-1$ en fonction de $x$. 
    \item On définit la suite $\lp u_n\rp$ par 
      $u_0=1$ puis, pour tout entier $n$, 
      $u_{n+1}=\dfrac{3u_n-1}{u_n+2}$. 
    
      On admet que pour tout entier $n$, $u_n>-2$. 
    
      \bgen[a)]
      \item Calculer les valeurs des premiers termes $u_1$ et $u_2$.
      \item Montrer que, pour tout entier $n$, 
        $u_{n+1}-u_n=\dfrac{P\lp u_n\rp}{u_n+2}$. 
    
        En déduire que, pour tout entier $n$, $u_{n+1}<u_n$. 
    
      \enen
    
      \item
        On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par 
        l'expression $f(x)=\dfrac{3x-1}{x+2}$, de telle manière que, 
        pour tout entier $n$, $u_{n+1}=f\lp u_n\rp$. 
        \bgen[a)]
        \item Dresser le tableau de variation de $f$. 
        \item Tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de $f$ 
          dans un repère orthonormal. \textsl{On prendra comme unité 10cm.} 
        \item Construire sur l'axe des abscisses les premiers termes de la suite 
          $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u4$. 
      \enen
    \enen
    \enex
    
    
    
    \bgex
    Soit la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par l'expression 
    $f(x)=3x(x-1)+1$. \\
    On note de plus $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y=x$. 
    \bgen
    \item Donner le tableau de variation de $f$. 
    
    
    \item Déterminer les coordonnés des éventuels points d'intersection 
      de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{D}$. 
    
    \item   Tracer $\mathcal{C}_f$ dans un repère orthonormal. 
      \textit{On prendra 1\,unité = 10\,cm.}
    
    \item On définit la suite $\lp u_n\rp$ par 
      $u_0=0,1$ puis, pour tout entier $n$, 
      $u_{n+1}=f\lp u_n\rp$. 
    
      Construire sur l'axe des abscisses les premiers termes 
      de la suite, $u_0$, $u_1$, $u_2$, \dots , $u_5$. 
    \enen
    \enex
    
    
    
    
    
    \label{LastPage}
    \end{document}
    

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