Source Latex
de la correction du devoir
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{pst-all}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\headheight=0cm
\textheight=26.8cm
\textwidth=18.8cm
\oddsidemargin=-1.4cm
\topmargin=-2.5cm
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
$1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}$ STG
\hspace{1cm}{\bf \Large{Correction du devoir surveillé de mathématiques}}
\bgex
a) $f'(x)=4\tm9 x^8-5\tm3x^2+0=36x^8-15x^2$
b) $\dsp g(x)=\frac{1}{u}$ avec $u(x)=3x-2$, donc $u'(x)=3$ et
$\dsp g'(x)= -\frac{u'}{u^2}=-\frac{3}{(3x-2)^2}$.
c) $\dsp h(x)=\frac{u}{v}$ avec
$\la\bgar{ll} u(x)=2x^2-5x+2 \\ v(x)=3x-4\enar\right.
\ \mbox{ donc, } \
\la\bgar{ll}
u'(x)=4x^2-5 \\
v'(x)=3
\enar\right.$
d'où, $\dsp h'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}=\frac{6x^2-16x+14}{(3x-4)^2}$
\enex
\bgex
\bgit
\item[a)] \vspace{-0.8cm}
\bgmp[t]{8cm}
Le sens de variation de la fonction $f$ est donné par le
signe de la dérivée $f'$.
$f'(x)=6x-12$
\enmp\hspace{0.5cm}
\bgmp{8cm}
\begin{tabular}[t]{|c|ccccc|}\hline
$x$&$-\infty$ & & $2$ & & $+\infty$ \\\hline
$f'(x)=6x-12$ & & $-$ & \zb & $+$ &\\\hline
&&&&& \\
$f(x)$ & & \Large{$\searrow$} & & \Large{$\nearrow$} & \\
&&&-11 && \\\hline
\end{tabular}
\enmp
\vspd
\item[b)]
\vspace{-5.6cm}
\bgmp[t]{8cm}
L'équation de la tangente $T_1$ en $x=1$ est :
$y=f'(1)(x-1)+f(1)$
avec, $f(1)=-8$ et $f'(1)=-6$, d'où l'équation,
\ul{$T_1: y=-6(x-1)-8=-6x-2$}.
\vspd
L'équation de la tangente $T_2$ en $x=2$ est de la forme $y=mx+p$,
avec $m=f'(2)=0$, soit $T_2 : y=0\tm x+p=p$.
De plus la droite $T_1$ passe par le point $A(2;f(2))$, soit
$A(2;-11)$, et donc, $-11=p$.
Finalement, \ul{$T_2 : y=-11$}
\enmp
\bgmp{8cm}\vspace{5cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.2cm}
\begin{pspicture}(-3,-15)(5,20)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1.5,0)(5.5,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-16)(0,17)
\multido{\i=-1+1}{7}{
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](\i,-16)(\i,15)
}
\multido{\i=-15+5}{7}{
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-1,\i)(5,\i)
}
\psplot[linewidth=1pt]{-1}{5}{
3 x mul x mul
-12 x mul add
1 add
}
\psplot[linewidth=0.8pt]{-1}{2.5}{-6 x mul -2 add}
\psplot[linewidth=0.8pt]{-0.5}{4.5}{-11}
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(1,0)\rput(1,-1){$1$}
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(0,5)\rput(0.2,5){$5$}
\rput(4.2,12){$\mathcal{C}_f$}
\rput(-1.4,5){$T_1$}
\rput(-0.8,-10){$T_2$}
\end{pspicture}
\enmp
\enit
\enex
\bgex
\bgit
\item[1)] Chaque lot étant vendu 200 euros, la vente de $x$ lots
rapporte $200x$ euros.
Le coût unitaire de production, pour $x$ lots produits, est de
$f(x)=x+72$.
Ainsi, la production de $x$ lots coûte $x\tm f(x)=x(x+72)$.
A ce coût s'ajoute les frais de fonctionnement de l'usine,
indépendants du nombre $x$ de lots produits, s'élevant à 3952
euros.
\vsp
Au final, le bénéfice réalisé pour $x$ lots produits et vendus est:
\ul{$B(x)=200x-\lb x(x+72)+3952\rb=-x^2+128x-3952$. }
\vspd
\item[2)]
\bgmp[t]{8.5cm}
Pour étudier les variations de $B$, on étudie le signe de sa
dérivée $B'$, avec,
$B'(x)=-2x+128$.
\vspd
On trouve, grâce au tableau de variations, que le bénéfice maximal
que peut espérer M. Dupré est de 144 euros pour 64 lots produits et
vendus.
\enmp\hspace{.2cm}
\bgmp[t]{8cm}
\begin{tabular}[t]{|c|ccccc|}\hline
$x$&$-\infty$ & & $64$ & & $+\infty$ \\\hline
$B'(x)=-2x-128$ & & $+$ & \zb & $-$ &\\\hline
&&&144 && \\
$B(x)$ & & \Large{$\nearrow$} & & \Large{$\searrow$} & \\
&&&&& \\\hline
\end{tabular}
\enmp
\vspd
\item[3)] En développant, on trouve que
$(x-52)(76-x)=76x-x^2-52\tm76+52x=-x^2+128x-3952=B(x)$
\vspd%\vspace*{-0.3cm}
\hspace{-0.5cm}
\bgmp{8.3cm}
La société est rentable si ce bénéfice est positif.
En dressant le tableau de signes de l'ex\-pres\-sion de $B(x)$, on
trouve que le bénéfice est positif pour $x\in[52;76]$:
\ul{la société doit produire est vendre entre 52 et 76 lots pour
être rentable.}
\enmp\hspace{0.4cm}
\bgmp{8cm}\vspace*{-1cm}
\begin{tabular}[t]{|c|ccccccc|}\hline
$x$&$-\infty$ & & $56$ & & $72$ & & $+\infty$ \\\hline
$x-56$ & & $-$ & \zb & $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline
$72-x$ & & $+$ & $|$ & $+$ & \zb & $-$ &\\\hline
$(x-56)(72-x)$ & & $-$ & \zb & $+$ & \zb & $-$ & \\\hline
\end{tabular}
\enmp
\enit
\enex
\end{document}
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