Suites récurrentes - Construction graphique

Construction graphique des premiers termes d'une suite récurrente

Définition de la suite par une relation de récurrence

Soit la suite (un) définie par u0 = 1 et, pour tout entier n, un+1 = 6 − 5/un + 1 .

La suite (un) est définie par récurrence, c'est-à-dire que chaque terme de la suite est défini à partir du précédent:
  • u1 est défini à partir de u0: u1 = 6 − 5/u0 + 1 soit, avec la valeur initiale u0 = 1, on obtient u1 = 6 − 5/1 + 1 = 7/2
  • u2 est défini à partir de u1: u2 = 6 − 5/u1 + 1 avec la valeur de u1 trouvée juste précédemment
  • u3 est défini à partir de u2: u3 = 6 − 5/u2 + 1 avec la valeur de u1 issue du calcul précédent
  • …
L'objectif de l'exercice qui suit est l'étude de cette suite récurrente: on commence par étudier les variations de la fonction f qui permet de définir la suite, afin de tracer sa courbe représentative.
Ensuite, à l'aide de ce graphique, on construit graphiquement les termes de la suite afin de comprendre son comportement et conjecturer son sens de variation et sa limite

Énoncé de l'exercice et correction

On a un+1 = f (un) avec la fonction f définie sur R∖{−1} par l'expression    f (x) = 6 − 5/x + 1 .
  1. Étudier le sens de variation de f sur ] −1 ; +∞[.

  2. Tracer l'allure de la courbe Cf représentative de f et construire graphiquement les premiers termes u0, u1, u2, et u3 de la suite (un).
    Quelles conjectures peut-on faire sur la suite (un) ?


Un autre exemple/exercice détaillé ?


Voir aussi:
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