Source Latex
de la correction du devoir
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% %
% Generateur automatique de devoir, %
% par Y. Morel %
% https://xymaths.fr %
% %
% Genere le: %
% dimanche 29 janvier 2012 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[10pt,onecolumn,a4paper]{article}
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\usepackage{epsf}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{pst-all}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\protect\vspace*{\fill}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ifthenelse{\pageref{LastPage}=1}
{\pagestyle{empty}}%
{%
\lfoot{}\cfoot{}\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}}
\ct{\bf\LARGE{Corrig\'e du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
\bgen
\item
\bgen[a.]
\item $f(0)=1$, $f(1)=0$, $f'(1)=-\dfrac{3}{2}$, $f'(2)=0$
\item
\[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $0$ && $2$ && $+\infty$ \\\hline
&&&$1$&&&&\\
$f(x)$ && \LARGE{$\nearrow$} && \LARGE{$\searrow$}
&&\LARGE{$\nearrow$} &\\
&&&&&$-1$&&\\\hline
\end{tabular}\]
\enen
\vspd
\item Soit $h$ la fonction d\'efinie par $h(x)=\lb f(x)\rb^2$.
\bgen[a.]
\item Pour tout $x$ r\'eel, $h'(x)=2f'(x)f(x)$.
\item
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $0$ && $1$ && $2$ \\\hline
$f'(x)$ & \zb& $-$& $|$ & $-$& \zb \\\hline
$f(x)$ & & $+$ &\zb& $-$& \\\hline
$h'(x)=2f'(x)f(x)$ & \zb & $-$ &\zb& $+$& \zb \\\hline
&$1$&&&&$1$\\
$h(x)$ && \LARGE{$\searrow$} && \LARGE{$\nearrow$} & \\
&&&$0$&&\\\hline
\end{tabular}\]
\enen
\enen
\enex
\bgex
\bgit
\item[A.]{\it Etude d'une fonction auxiliaire.}
On pose $g(x)=x^3-3x-4$.
\bgen
\item Pour tout $x$ r\'eel, $g'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)3(x-1)(x+1)$.
\[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-1$ && $1$ && $+\infty$ \\\hline
$x^2-1$ && $+$ & \zb & $-$ & \zb & $+$ & \\\hline
&&&$-2$&&&&\\
$g(x)$ && \LARGE{$\nearrow$} && \LARGE{$\searrow$} &&
\LARGE{$\nearrow$} & \\
&&&&&$-6$&&\\\hline
\end{tabular}\]
\item La fonction $g$ est d\'erivable, strictement croissante sur
l'intervalle $[1;3]$, avec $g(1)=-6<0$ et $g(3)=14>0$.
D'apr\`es le th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires, il existe donc une
unique solution $\alpha$ \`a l'\'equation $g(x)=0$ sur l'intervalle
$[1;3]$.
\vsp
De plus, sur $]-\infty;\alpha[$, on a $g(x)<0$
et sur $\alpha;+\infty[$, on a $g(x)>0$.
Ainsi, il ne peut pas y avoir d'autre solution sur $\R$ \`a
l'\'equation $g(x)=0$ sur $]-\infty;1]$.
\item On a de plus, $g(2,1)\simeq -1,03<0$ et $g(2,2)\simeq 0,05>0$,
d'o\`u on en d\'eduit l'encadrement $2,1<\alpha<2,2$.
\item On en d\'eduit le tableau de signe de $g(x)$:
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $\alpha$ && $+\infty$ \\\hline
$g(x)$ && $-$ & \zb & $+$ & \\\hline
\end{tabular}\]
\enen
\vspt
\item[B.] {\it Etude des variations de $f$.}
Pour tout $x\in\R\setminus\la-1;1\ra$,
\[
f'(x)
=\dfrac{\lp3x^2+4x\rp\lp x^2-1\rp-\lp x^3+2x^2\rp\lp2x\rp}{(x^2-1)^2}
=\dfrac{x^4-3x^2-4x}{(x^2-1)^2}
=\dfrac{x\lp x^3-3x-4\rp}{(x^2-1)^2}
=\dfrac{xg(x)}{(x^2-1)^2}
\]
On en d\'eduit la tableau de variation:
\[\begin{tabular}{|c|ccccccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-1$ && $0$ && $1$ && $\alpha$ && $+\infty$ \\\hline
$x$ && $-$ & $|$ & $-$ & \zb & $+$ & $|$ & $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline
$g(x)$ && $-$ & $|$ & $-$ & $|$ & $-$ & $|$ & $-$ &\zb & $+$ & \\\hline
$(x^2-1)^2$ && $+$ & \zb & $+$ & $|$ & $+$ & \zb & $+$ & $|$ & $+$ & \\\hline
$f'(x)$ && $+$ & \db & $+$ & \zb & $-$ & \db & $-$ & \zb & $+$ & \\\hline
&&&&&$0$&&&&&&\\
$f(x)$ && \LARGE{$\nearrow$} &
\psline(0,-0.65)(0,1)\,\psline(0,-0.65)(0,1)&
\LARGE{$\nearrow$} &&
\LARGE{$\searrow$} &\psline(0,-0.65)(0,1)\,\psline(0,-0.65)(0,1)&
\LARGE{$\searrow$} && \LARGE{$\nearrow$} &\\
&&&&&&&&&$f(\alpha)$&&\\\hline
\end{tabular}\]
\item[C.] {\it Tangente.}
La tangente $(T)$ \`a $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$ a pour
\'equation:
$y=f'(2) (x -2)+f(2)$
avec $f'(2)=\dfrac{2g(2)}{\lp2^2-1\rp^2}=-\dfrac{4}{9}$,
et $f(2)=\dfrac{16}{3}$,
soit
$y=-\dfrac{4}{9}(x-2)+\dfrac{16}{3}
=-\dfrac{4}{9}x+\dfrac{56}{9}$
\enit
\enex
\bgex
Il suffit de d\'evelopper:
\[
\begin{aligned}
(\cos x+\sin x)^2+(\cos x-\sin x)^2&= \cos^2 x+2 \cos x \times \sin
x+\sin^2 x\\
&\qquad\qquad+\cos^2 x-2 \cos x \times \sin
x+\sin^2 x \\[1ex]
&=2(\cos^2 x+\sin^2 x) \\
&=2 \quad \text{car} \quad \cos^2 x+\sin^2 x=1
\quad\text{pour tout r\'eel } x
\end{aligned}
\]
\enex
\bgex
\bgen
\item
$\bgar[t]{ll}
A(x)
&=\sin\lp-x\rp-\cos\lp\dfrac{\pi}{2}-x\rp
+\cos\lp-x\rp
+\sin\lp\dfrac{\pi}{2}-x\rp \vspd\\
&=-\sin(x)-\sin(x)+\cos(x)+\cos(x) \vspd\\
&=-2\sin(x)+2\cos(x)
\enar$
\item
$\bgar[t]{ll}
B(x)
&=\sin\lp\pi-x\rp+\cos\lp\dfrac{\pi}{2}+x\rp\cos\lp3\pi-x\rp+\sin\lp\dfrac{\pi}{2}+x\rp \vspd\\
&=\sin(x)-\sin(x)-\cos(x)+\cos(x) \vspd\\
&=0
\enar$
\enen
\enex
\bgex
Dans $\R$,
$\cos\lp3x\rp=\dfrac{1}{2}=\cos\dfrac{\pi}{3}
\iff
\la\bgar{ll}
3x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi,\ k\in\Z \vspd\\
3x=-\dfrac{\pi}{3}+k'2\pi,\ k'\in\Z
\enar\right.
\iff
\la\bgar{ll}
x=\dfrac{\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3},\ k\in\Z \vspd\\
x=-\dfrac{\pi}{9}+k'\dfrac{2\pi}{3},\ k'\in\Z
\enar\right.\,.
$
\vspd
Il y a donc 6 solutions dans $]-\pi;\pi[$:
$\la -\dfrac{7\pi}{9};\dfrac{5\pi}{9};
-\dfrac{\pi}{9};\dfrac{\pi}{9};
\dfrac{5\pi}{9};\dfrac{7\pi}{9};
\ra$
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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