Source Latex
de la correction du devoir
\documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{array}
\usepackage{color}
%\usepackage{pst-all}
%\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\textheight=25cm
\textwidth=18.5cm
\oddsidemargin=-1.4cm
\evensidemargin=0cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\vspace*{-3cm}
%\ul{Nom:}
\hspace{5cm}
{\Large Devoir � la maison}
\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}\,$S%3/10/2008
\vspace{0.2cm}
\setlength{\fboxsep}{0.2cm}
\bgex
\bgit
\item[1)] $\lp\mathcal{E}_1\rp$ a pour solution
$\dsp \lp\mathcal{S}_1\rp=\la -\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\ra$.
$\lp\mathcal{E}_2\rp$ a pour solution
$\dsp \lp\mathcal{S}_2\rp=\la -\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{6}\ra$.
\vspd
\item[2)] Comme $0<600<25^2$, alors $0<\sqrt{600}<25$, d'o� on a
$10\sqrt{6}<25$, ou encore $5-2\sqrt{6}>0$.
\item[3)]
\[\alpha^2=\lp\sqrt{2}+\sqrt{3}\rp^2\sqrt{5-2\sqrt{6}}^2
=\lp5+2\sqrt{6}\rp\lp5-2\sqrt{6}\rp
=1
\]
d'o� on d�duit que $\alpha=1$ ou $\alpha=-1$, et donc, comme
$\alpha>0$,
on trouve bien \fbox{$\alpha=1$}.
\vspace{-0.4cm}
\[t_1^2=\lb\lp\sqrt{2}+\sqrt{3}\rp-\sqrt{5-2\sqrt{6}}\rb^2
=\lp\sqrt{2}+\sqrt{3}\rp^2-2\alpha+\sqrt{5-2\sqrt{6}}^2
=5+2\sqrt{6}-2+5-2\sqrt{6}
=8
\]
d'o� on d�duit, comme $t_1>0$, que \fbox{$t_1=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$}.
\vspace{-0.4cm}
\[t_2^2=\lb\lp\sqrt{2}+\sqrt{3}\rp+\sqrt{5-2\sqrt{6}}\rb^2
=\lp\sqrt{2}+\sqrt{3}\rp^2+2\alpha+\sqrt{5-2\sqrt{6}}^2
=5+2\sqrt{6}+2+5-2\sqrt{6}
=12
\]
d'o� on d�duit, comme $t_2>0$, que \fbox{$t_2=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$}.
\vspd
\item[4)] En posant $X=\cos x$, $(\mathcal{E})$ s'�crit alors
comme l'�quation du second degr�
$X^2-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}X+\frac{\sqrt{6}}{4}=0$,
de discriminant
$\Delta=\lp\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}\rp^2-\sqrt{6}
=\frac{5-2\sqrt{6}}{2}$.
D'apr�s la question $2)$, $\Delta>0$, et cette �quation admet deux
racines r�elles distinctes:
\[X_1=\frac{1}{2}\lb \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}
-\frac{\sqrt{5-2\sqrt{6}}}{2} \rb=\frac{t_1}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}
\ \mbox{ et de m�me, }
X_2=\frac{t_2}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}
\]
\hspace{-0.8cm}
On a donc, $\cos x=X_1=\frac{\sqrt{2}}{2}$, ou
$\cos x=X_2=\frac{\sqrt{3}}{2}$, et alors, d'apr�s 1),
\fbox{$\dsp \mathcal{S}=\mathcal{S}_1\cup\mathcal{S}_2
=\la -\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4};
-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{6}\ra$}
\enit
\enex
\bgex
\bgit
\item[1)] Les coordonn�es cart�siennes de $A$ sont \fbox{$A(2;0)$} et
$\dsp B\lp2\cos\frac{3\pi}{4};2\sin\frac{3\pi}{4}\rp$,
soit \fbox{$B(-\sqrt{2};\sqrt{2})$}.
Enfin, \fbox{$\dsp I\lp \frac{2-\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\rp$}.
\vspd
\item[2)]
\bgit
\item[a)] On a $OA=OB$ et $IA=IB$, donc $(OI)$ est la m�diatrice de
$[AB]$ mais aussi, dans le triangle isoc�le $AOB$, la bissectrice
de l'angle $\widehat{AOB}$.
On en d�duit que
$\dsp(\vec{i},\V{OI})=\frac{1}{2}\tm\frac{3\pi}{4}=\frac{3\pi}{8}$.
\vspd
\item[b)] D'apr�s 1),
$\dsp OI=\sqrt{\lp\frac{2-\sqrt{2}}{2}\rp^2 +
\lp\frac{\sqrt{2}}{2}\rp^2}
=\sqrt{ \frac{6-4\sqrt{2}}{4}+\frac{2}{4} }
=\sqrt{2-\sqrt{2}}
$
Ainsi, en utilisant aussi la question pr�c�dente, les coordonn�es
polaires de $I$ sont \fbox{$\dsp I\lp\sqrt{2-\sqrt{2}},\frac{3\pi}{8}\rp$}.
\enit
\item[3)] D'apr�s les questions $1)$ et $2\,b)$, on a:
\[ \sqrt{2-\sqrt{2}}\cos\frac{3\pi}{8}=\frac{2-\sqrt{2}}{2}
\ \mbox{ et donc, }\
\mbox{\fbox{$\dsp
\cos\frac{3\pi}{8}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$}}
\]
et de m�me,
\fbox{$\dsp \sin\frac{3\pi}{8}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2-\sqrt{2}}}$}.
\enit
\enex
\end{document}
Télécharger le fichier source 
