Source Latex
sujet du devoir
\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage[french]{babel}
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\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{array}
\usepackage{color}
\usepackage{pst-all}
%\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\textheight=25cm
\textwidth=18.5cm
\oddsidemargin=-1.4cm
\evensidemargin=0cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\vspace*{-3cm}
%\ul{Nom:}
\hspace{5cm}
{\Large Devoir � la maison}
\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}\,$S%3/10/2008
\vspace{0.2cm}
\bgex
\vspace*{-1cm}
\parbox[t]{11cm}{
Le but de cet exercice est de trouver g�om�triquement la position du
point $M$ sur la demi-droite $d$ perpendiculaire � $(AB)$ passant
par $H$, de fa�on � ce que l'angle $\widehat{AMB}$ soit maximal.
\vspd
On note $\Gamma$ le cercle circonscrit au triangle $MAB$, et
$\Omega$ son centre.
}
\parbox{6cm}{\vspace*{-1cm}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0.5)(2.5,2.5)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](0,0)(2.5,0)\put(2.3,-0.2){$d$}
\psline[linewidth=0.5pt](0,-0.6)(0,2.2)
\psdots[dotstyle=*](0,0)(0,1)(0,1.4)(1.5,0)
\put(-0.25,0.0){$H$}
\put(-0.25,1){$B$}
\put(-0.25,1.4){$A$}
\put(1.5,-0.2){$M$}
\psline[linewidth=0.5pt](1.5,0)(0,1.4)
\psline[linewidth=0.5pt](1.5,0)(0,1)
\psline[linewidth=0.3pt](0,0.15)(0.15,0.15)
\psline[linewidth=0.3pt](0.15,0.15)(0.15,0)
\end{pspicture}
}
\vspace*{1cm}
\bgit
\item[1)]{\bf Th�or�me de l'angle au centre.}
On consid�re un cercle de centre $O$, sur lequel sont situ�s trois
points $A$, $B$ et $M$.
On souhaite d�montrer le th�or�me de l'angle au centre:
{\it ``dans un cercle, un angle au centre mesure le double d'un
angle inscrit interceptant le m�me arc.''}
\vspd
\bgit
\item[a)] Montrer que
$\lp\V{OA};\V{OM}\rp=\pi-2\lp\V{MO};\V{MA}\rp$, et que, de m�me,
$\lp\V{OM};\V{OB}\rp=\pi-2\lp\V{MB};\V{MO}\rp$.
\vspd
\item[b)] Exprimer alors l'angle au centre $\lp\V{OA};\V{OB}\rp$
en fonction de l'angle inscrit $\lp\V{MA};\V{MB}\rp$.
Conclure.
\enit
\item[1)] Prouver que $\Omega$ est sur $\Delta$ m�diatrice de
$[AB]$, et que
$\Omega A\geq a$, o� $a$ est la distance entre
$\Delta$ et $d$.
\vspt
\item[2)] D�montrer que :
$\dsp\sin(\widehat{AMB}) = \frac{AB}{2\,\Omega A}$.
\vsp
En d�duire que $\widehat{AMB}$ est maximal lorsque $\Omega A=a$.
\vspt
\item[3)] Construire sur une figure le point $\Omega_0$
correspondant, puis le point $M_0$ solution.
\vspt
\item[4)] Calculer une mesure, � $0,1^{\circ}$ pr�s, de l'angle
$\widehat{AM_0B}$, et de la distance $M_0H$ � 10 cm pr�s.
\enit
\vspq
{\it Remarque: Cette situation se pr�sente lors de la transformation
d'un essai au rugby. $A$ et $B$ sont les poteaux, et le tireur a
tout int�r�t � �tre dans une position avec un angle de tir le plus grand
possible. }
\enex
\end{document}
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