Introduction de la notion de limite d'une suite
Construction et longueur de deux spirales
Deux exercices corrigés pour introduire la notion de limite d'une suite, par le calcul de la longueur de spirales dans deux constructions géométriques.
Exercice 1: Spirale harmonique dans un carré
On considère le carré A0 B0 C0 D0 de côté 4.
On construit ensuite les carrés
A1 B1 C1 D1 tel que
A0 A1 = B0 B1 = C0 C1 = D0 D1 = 1
A2 B2 C2 D2 tel que
A1 A2 = B1 B2 = C1 C2 = D1 D2 =
1 / 2
A3 B3 C3 D3 tel que
A2 A3 = B2 B3 = C2 C3 = D2 D3 =
1 / 3
…
An n n n tel que
An −1n n −1n n −1n n −1n 1 / n
Sn A0 A1 A2 …An
et on note ln S A0 A1 A2 …An
Spirale harmonique
longueur (jusque là…): L
n ≈
Donner les longueurs l 1 l 2 l 3
Donner l'expression de ln
Quel est le sens de variation de (ln ) ?
Peut-on trouver un entier naturel N ln > 4n ≥N
Peut-on trouver un entier naturel N ln > 6n ≥N
Peut-on trouver un entier naturel N ln > 10n ≥N
Peut-on trouver un entier naturel N ln > 100n ≥N
Quelle est alors la longueur de la spirale ?
Exercice 2: Spirale géométrique dans un carré
A0 B0 C0 D0 de côté 4.
On construit ensuite les carrés:
A1 B1 C1 D1 tel que
A0 A1 = B0 B1 = C0 C1 = D0 D1 = 1 / 4 0 B0
A2 B2 C2 D2 tel que
A1 A2 = B1 B2 = C1 C2 = D1 D2 =
1 / 4 1 B1
A3 B3 C3 D3 tel que
A2 A3 = B2 B3 = C2 C3 = D2 D3 =
1 / 4 2 B2
…
An n n n tel que
An −1n n −1n n −1n n −1n 1 / 4 n −1n −1
Sn A0 A1 A2 …An
et on note Ln S A0 A1 A2 …An
Spirale géométrique
longueur de la spirale (jusque là…): l
n ≈
Donner les longueurs L 1 L 2 L 3
Donner l'expression de Ln
Quel est le sens de variation de (Ln ) ?
Peut-on trouver un entier naturel N Ln > 3n ≥N
Peut-on trouver un entier naturel N Ln > 4n ≥N
Peut-on trouver un entier naturel N Ln > 5n ≥N
Que peut-on conjecturer pour les valeurs de Ln n (Ln ) ?
Voir aussi: