Paradoxal ? logique ?
Paradoxe et logique
D'une manière assez générale, dans sons sens commun, un paradoxe est une affirmation surprenante en son fond et/ou sa forme, qui contredit les idées reçues, l'opinion courante, les préjugés.Tel un effet d'optique mais dont le support, au lieu d'une expérience visuel, est la logique de l'esprit, un paradoxe induit, ou semble induire, en erreur le jugement de l'observateur.
A moins que l'effet paradoxal ne provienne et ne mette en avant une réelle "faille" de raisonnement ou, pire encore, une réelle "faille" théorique, ou de connaissances.
Philosophiquement / littérairement, on parle d'aporie (dont la traduction littérale, aporia est "impasse", "sans issue").
Aristote en parle comme d'une mise en présence de deux opinions contraires mais néanmoins également raisonnées et répondant à une même question. Pour Platon, il s'agit d'une réelle difficulté qui, pour être traitée, nécessite un changement de registre dans une recherche pour l'éclairer, le comprendre.
Bien plus tard, quelque deux millénaires après, Hilbert et son école, puis Gödel, suivront ce chemin, le changemet de registre, pour éclairer des paradoxes profonds dans les mathématiques.
C'est ainsi que certains des paradoxes qui suivent apparurent à l'origine de travaux majeurs en logiques mathématiques. Ils ont joué un rôle important dans la crise des fondements des mathématiques au début du XXe siècle: pour comprendre et déjouer ces paradoxes, il a fallut aux mathématiciens être particulièrement imaginatifs.
Quelques paradoxes célèbres
Logique et méthode axiomatique
La "logique" est un élément central, commun, et fondamental, dans tous ces paradoxes et dans toutes les branches mathématiques (et scientifiques même).À ce titre au moins, il semble bien plus que nécessaire de s'y pencher sérieusement, à part, pour tenter de bien comprendre de quoi il s'agit quand on parle de "logique", quand on conclut une démonstration mathématique par un "c'est logique", ou encore quand on l'invoque, "la logique", directement comme un argument à part entière.
Est-ce que "la logique" est un théorème ? est-celle qu'elle se démontre ? est-elle sûre ? existe-t-il une seule logique ou plusieurs ? …
La logique a toujours été utilisée est invoquée en maths, mais c'est surtout à partir du 19e siècle (avec G. Boole) que la logique a commencé à être étudiée en tant que telle, pour environ un siècle de travaux sur, et pour développer, la logique et la méthode axiomatique en mathémaiques.