Paradoxe d'Épiménide
Je suis un menteur ? et (nombreuses) autres variantes
- Paradoxe crétois
- Paradoxe du menteur
- Paradoxe du pendu
- Paradoxe du barbier
- Paradoxe de Russel
- Paradoxe de Richard
Paradoxe du menteur
Que pensez-vous de l'assertion :"je suis un menteur. "
Suis-je crédible ?
Deux alternatives se profilent:
- c'est vrai: je suis un menteur.
Dans ce cas, en énnonçant cette phrase, je dis bien la vérité, et
donc, ne suis pas si menteur que ça ...
- c'est faux, et je mens donc. Mais dans ce cas, en menteur qui se respecte, je mens aussi lorsque je prononce cette phrase: "je suis un menteur", ce qui signifierait donc que je n'en suis pas réellement un ...
Ce type de paradoxe peut facilement se généraliser à de nombreuses affirmations portant sur elles-mêmes. On appelle ceci l' "autoréférence".
En voici une autre forme, encore simplifiée: "Cette phrase est fausse."
Paradoxe du pendu
Sancho Pança ("Don Quichotte, chapitre 51") est gouverneur d'une île dans laquelle tout visiteur se voit poser la question :Pourquoi venez-vous ici ?
Deux possibilités s'offrent alors: si le visteur dit la vérité, il est bienvenu sur l'île, dans le cas contraire, s'il ment, il est pendu.
Cette règle paraissait bien établie jusqu'au jour ou un visiteur répondit:
"Je viens ici pour être pendu."
La clémence lui fut accordée car la loi était devenue inapplicable sans elle-même s'enfreindre.
Paradoxe du barbier
"Dans un village, un unique barbier rase toute les hommes ne se rasant pas eux-même."Le barbier se rase-t-il lui-même ?
Question en apparence très simple, donnant la simple aternative de réponse:
- oui, dans ce cas doit-il alors vraiment se raser lui-même, comme la règle l'exige ?
- non, dans ce cas, encore selon la règle, il doit être raser par ... le barbier
Paradoxe de Russel
Le paradoxe de Russel s'est bien répandu sous la forme du paradoxe du barbier. Il s'agit d'une version plus mathématique, et qui prend part à la théorie des ensembles:On s'intéresse à des ensembles et éventuellement à des ensembles d'ensembles. Parmi tous les ensembles, on peut dresser deux catégories:
- les ensembles qui ne se contiennent pas eux-même
- les ensembles qui se contiennent eux-même
Paradoxe de Richard
On considère les nombres entiers et toutes les règles et propriétés arithmétiques que l'on peut établir. Imaginons qu'on énonce toutes ces propriétés les unes après les autres,par exemple "2 est un nombre pair", "3+2=5", "un nombre pair ajouté à un nombre impair donne un nombre impair", ...
et qu'ainsi faisant en numérote ces propriétés.
Imaginons pour ce faire qu'on classe par exemple toutes ces propriétés simplement par ordre alphabétique.
Parmi toutes ces propriétés certaines vont recevoir un numéro, qui est donc un nombre entier, et qui aura le bon goût d'être en accord justement avec la propriété elle-même. On dira que ces nombres sont ricardien. Tous les autres nombres, ceux qui servent à numéroter une propriété que ne s'applique pas à eux-même, sont donc non-ricardien.
Mais, maintenant, "ne pas être ricardien" est une propriété qui fait aussi parti de la liste des propriété, disons qu'il s'agit la propriété numéro n.
La question est donc maintenant: n est-il ricardien ?
Ce paradoxe a été repris est popularisé par Russel, sous le nom de paradoxe de Barry, dont une formulation peut-être:
"Soit n le plus petit entier non définissable par une phrase de 20 mots"
En énumérant toutes les phrases possibles de moins de 20 mots (il y en a un nombre fini, c'est faisable en un temps fini), on trouve ainsi ce fameux n. Or on vient de le définir de moins de 20 mots...
Paradox de Gödel ?
Il semble plausible qu'à la suite de tous ces paradoxes (particulièrement le paradoxe de Richard dont il reprendra l'idée dans sa propre démonstration) l'idée de départ de Gödel est était de former une contradiction en arithmétique en créant un énoncé A voulant dire "je ne suis pas vrai".À ce moment là, de deux choses l'une:
- soit la théorie (contenant donc au moins l'arithmétique) permet de prouver cette propriété et alors la théorie en question est contradictoire
- soit il est impossible de la prouver, ce qui montre alors qu'il existe des propriétés qui ne peuvent pas être démontrées, ni leur contraire, et qui sont donc indécidables
Voir aussi: