Source Latex: TP de mathématiques, Construction géométrique et graphique avec un algorithme

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Construction géométrique et graphique avec un algorithme

Algorithme et programmation: escargot, ou colimaçon de Pythagore
Fichier
Type: TP
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Description
Algorithme et programmation: escargot, ou colimaçon de Pythagore
Niveau
-
Mots clé
escargot de Pythagore, colimaçon de Pythagore, trigonométrie, formules trigonométriques, formules d'addition, algorithme, programmation, graphique, python, graphique

Quelques devoirs


    Voir aussi:

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    Source Latex 

    \documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage{pst-all}
\usepackage{pstricks-add}

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Escargot de Pythagore - Activité géométrique, trigonométrique, et algorithmique},
    pdftitle={Escargot de Pythagore},
    pdfkeywords={Escargot de Pthagore, Colimaçon de Pythagore, trigonométrie, géométrie, suites, algorithmique et programmation, python}
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\hypersetup{
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}

\headheight=0cm
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\footskip=0.7cm
\textwidth=18.5cm
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\parindent=0.2cm

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Escargot de Pyhagore}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Informatique-Programmation/Exercices/}{xymaths.fr}}
\rfoot{\TITLE\  - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\TITLE}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.5cm}


\ct{\LARGE \bf \TITLE}

\bigskip
L'escargot, ou colima\c con, de Pythagore est une figure géométrique 
qui se construit de la manière suivante : 
on place le premier point, $A_1$ tel que $OA_1=1$. 
On construit ensuite $A_2$ tel que $OA_1A_2$ est rectangle en $A_1$ et 
$A_1A_2=1$, 
puis $A_3$ tel que $OA_2A_3$ est rectangle en $A_2$ et 
$A_2A_3=1$, et ainsi de suite~\dots

\medskip
On note, pout tout entier $n$, 
$\theta_n=\widehat{A_1OA_{n+1}}$ 
et 
$\alpha_n=\widehat{A_nOA_{n+1}}$. 


\[\fbox{\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-3,-.5)(2,2.2)

\psline(0,0)(1,0)
(1,1)(0,0)(1,1)
(0.29,1.70)(0,0)(0.29,1.70)
(-0.69,1.88)(0,0)(-0.69,1.88)
(-1.63,1.53)(0,0)(-1.63,1.53)
(-2.31,0.8)(0,0)(-2.31,0.8)
\psline[linestyle=dotted](-2.31,0.8)(-2.64,-0.14)(0,0)

\rput(-.2,-.2){$O$}
\rput(1.2,-.2){$A_1$}
\rput(1.2,1.1){$A_2$}
\rput(0.4,1.8){$A_3$}
\rput(-.8,2){$A_4$}
\rput(-1.7,1.7){$A_5$}
\rput(-2.45,.8){$A_6$}

\end{pspicture}}\]

\bgen
\item Construire sur une feuille les premiers points 
  $O$, $A_1$, $A_2$, \dots , $A_8$.  \\
  Représenter sur la figure les angles 
  $\alpha_1$, $\alpha_2$, \dots , $\alpha_7$ 
  et $\theta_2$, $\theta_3$, \dots , $\theta_7$. 

  \medskip
  \bgen[a)]
  \item Donner une relation simple entre les angles $\theta_n$, 
    $\theta_{n-1}$ et $\alpha_n$. 
  \item Exprimer en fonction de $n$ le cosinus et le sinus de $\alpha_n$. 
  \enen

\medskip
\item Déterminer les longueurs $OA_2$, $OA_3$, $OA_4$ , 
  puis $OA_n$ pour tout entier $n$. 

\medskip
\item On se place dans la suite dans le repère orthonormal direct 
  $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$, avec $\vec{i}=\V{OA_1}$. 
  \bgen[a)] 
  \item On note $A_n\lp x_n;y_n\rp$ les coordonnées 
    du point $A_n$. 

    Exprimer $x_n$ et $y_n$ en fonction de $n$ et $\theta_{n-1}$, 
    puis de m\^eme $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $n$ et~$\theta_n$. 
  \item En utilisant les formules trigonométriques: 
  \[\bgar{lcccl}
  \cos(a+b)&=&\cos(a)\cos(b) &-& \sin(a)\sin(b) \\[.5em]
  \sin(a+b)&=&\sin(a)\cos(b) &+& \sin(b)\cos(a)
  \enar\]
  exprimer les coordonnées $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $n$ et 
  $x_n$ et $y_n$. 
  \enen

\medskip
\item \'Ecrire alors un alogrithme et un programme, en python par exemple, 
  qui trace les $N$ premiers points de l'escargot de Pythagore. 
\enen


\label{LastPage}
\end{document}

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