Suite de Héron

Approximation de la racine carrée de 2 par une méthode itérative

1. Dresser le tableau de variation de .
2. On considère la suite définie par:
   
   1. Calculer et (donner les résultats sous forme de frations irréductibles, puis sous forme décimales arrondies à 10^-2 près).
   2. Écrire un algorithme / programme permettant de calculer et afficher les valeurs des 10 premiers termes de cette suite.
      Conjecturer à l'aide de ces valeurs le sens de variation et la limite de la suite.
   3. Démontrer, par récurrence, que pour tout , on a:
      
   4. Démontrer que, pour tout :
      
      
      
   5. En déduire, par récurrence, que pour tout entier n,
      
   6. En déduire la limite de la suite .