Réalisation d'un récupérateur d'eau
Bac S - Amérique du nord, 2016
Un particulier veut faire fabriquer un récupérateur d'eau. Ce récupérateur d'eau est une cuve qui doit respecter le cahier des charges suivant:- elle doit être située à deux mètres de sa maison;
- la profondeur maximale doit être de deux mètres;
- elle doit mesurer cinq mètres de long;
- elle doit épouser la pente naturelle du terrain.
![$$(-1.8,-0.5)(7,5)
\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}
\pspolygon(2,0)(2,1.8)(-1.3,2.5)(-1.3,0.7)
\rput(-3.3,0.7){\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}}
\psline(2.1,2.7)(5.4,2)
\psline(-1.3,2.5)(2.1,2.7)
\psline(2,1.8)(5.4,2)
\psline[linewidth=0.5pt](2,1.8)(2,3)\psline[linewidth=0.5pt](-1.3,2.5)(-1.3,3.7)
\psset{arrowsize=2pt 3}
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=8pt]{<->}(2,3)(-1.3,3.7)
\psline[linewidth=0.5pt](2,1.8)(1.2,1.75)\psline[linewidth=0.5pt](2,0)(1.2,-0.05)
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=8pt]{<->}(1.2,1.75)(1.2,-0.05)
\uput[l](1.2,0.85){2 m}\uput[u](1.35,3.35){5 m}
$$](IMG/1.png)
La partie incurvée est modélisée par la courbe
![$\mathcal{C}_f$](IMG/2.png)
![$f$](IMG/3.png)
![$[2;2e]$](IMG/4.png)
![\[f(x)=x\ln \lp\dfrac{x}{2}\rp-x+2.\]](IMG/5.png)
La courbe
![$\mathcal{C}_f$](IMG/6.png)
On considère les points
![$A(2;2)$](IMG/7.png)
![$I(2;0)$](IMG/8.png)
![$B(2e;2)$](IMG/9.png)
![\[\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-0.25,-0.3)(6,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-0.2,-0.25)(6,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(6,2.5)
\uput[u](2.8,0.2){$\mathcal{C}_f$}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}
\psline(5.437,2)(6,2)
\psline(6,0)(2,0)}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}
\psline(5.437,2)(6,2)
\psline(6,0)(2,0)}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,2)
\psdots(2,2)(5.437,2)
\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}
\psplot[plotpoints=4000]{3}{5.8}{x 2 add 5.437 sub}
\uput[u](2,2){$A$}
\uput[u](5.437,2){$B$}
\uput[ul](5.75,2.2){$\mathcal{T}$}
\uput[dl](2,0){$I$}
\uput[dr](3.437,0){$D$}
\rput(1,1){Terrain}
\rput(3.2,1.2){Cuve}
\rput(4.7,0.5){Terrain}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](2,2)(5.437,2)
\end{pspicture*}\]](IMG/10.png)
Partie A  L'objectif de cette partie est d'évaluer le volume de la cuve.
- Justifier que les points
et
appartiennent à la courbe
et que l'axe des abscisses est tangent à la courbe
au point
.
- On note
la tangente à la courbe
au point
, et
le point d'intersection de la droite
avec l'axe des abscisses.
- Déterminer une équation de la droite
et en déduire les coordonnées de
.
- On appelle
l'aire du domaine délimité par la courbe
, les droites d'équations
,
et
.
peut être encadrée par l'aire du triangle
et celle du trapèze
.
Quel encadrement du volume de la cuve peut-on en déduire ?
- Déterminer une équation de la droite
-
- Montrer que, sur l'intervalle
, la fonction
définie par
est une primitive de la fonctiondéfinie par
.
- En déduire une primitive
de la fonction
sur l'intervalle
.
- Déterminer la valeur exacte de l'aire
et en déduire une valeur approchée du volume
de la cuve au
près.
- Montrer que, sur l'intervalle
Partie B  Pour tout réel
![$x$](IMG/42.png)
![$2$](IMG/43.png)
![$2e$](IMG/44.png)
![$v(x)$](IMG/45.png)
![$^3$](IMG/46.png)
![$f(x)$](IMG/47.png)
On admet que, pour tout réel
![$x$](IMG/48.png)
![\[v(x) = 5\left[\dfrac{x^2}{2}\ln \left( \dfrac{x}{2}\right) - 2x\ln\left( \dfrac{x}{2}\right) - \dfrac{x^2}{4} + 2x - 3\right].\]](IMG/49.png)
![\[\psset{xunit=1.2cm,yunit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-.9,-0.5)(5.8,3.2)
\psline(0,-0.5)(0,3.5)
\pscurve(2,0.1)(3,0.316)(4,0.87)(4.15,1.)(5,1.68)(5.437,2.1)
\multido{\n=0+1}{4}{\psline(-0.1,\n)(0.1,\n)}
\rput{3}(0,0){
\psline(-0.5,0)(6,0)
\multido{\n=0+1}{6}{\psline(\n,0.1)(\n,-0.1)\uput[d](\n,0){\n}}
}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2,0.1)(2,1.5)(0.35,2.3)(0.35,0.9)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2,1.5)(0.35,2.3)(3.37,2.47)(5.08,1.7)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gray]{
\pscurve(2,0.1)(3,0.316)(4,0.87)(5.08,1.75)
\psline(5.08,1.75)(2,1.5)
}
\pspolygon(5.437,2.1)(2,1.85)(0.35,2.7)(3.787,2.95)
\psline(2,1.85)(2,1.5)
\psline(0.35,2.7)(0.35,2.3)
\pscurve(0.35,0.9)(1.35,1.16)(2.35,1.72)(3.35,2.5)(3.787,2.95)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](5.08,0.2)(5.08,1.75)(0,1.37)
\uput[d](5.2,0.3){$x$}
\uput[l](0,1.37){$f(x)$}
\multido{\n=0+1}{4}{\uput[l](0,\n){\n}}
\end{pspicture}\]](IMG/50.png)
- Quel volume d'eau, au m3 près, y a-t-il dans la cuve lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est de un mètre ?
- On rappelle que
est le volume total de la cuve,
est la fonction définie en début d'exercice et
la fonction définie dans la partie B.
On considère l'algorithme ci-dessous.
Interpréter le résultat que cet algorithme permet d'afficher.
Variables: a est un réel
b est un réelTraitement: a prend la valeur 2
b prend la valeur 2e
Tant que v(b)-v(a) > 10-3 faire:
c prend la valeur (a+b)/2
Si v(c) < V/2, alors
a prend la valeur c
Sinon
b prend la valeur c
Fin Si
Fin Tant queSortie: Afficher f(c)
Voir aussi: