Résolution numérique d'équations
Éléments de correction
du cours ![Lien vers le pdf](/include/pdficon_small.gif)
Exercice 1:
On considère par exemple l'équation![$(E): e^x=x+2$](fich-IMG/1.png)
- L'étude de la fonction
définie par
permet de répondre à la question.
On aet donc
et on trouve donc le tableau de variation:
Avec les limites,et aussi, par croissances comparées cette fois en
,
Comme la fonctionest continue (et même dérivable) on en déduit que l'équation
admet exactement 2 solutions, une sur
et l'autre sur
.
- On eput calculer par exemple
et
d'où on peut donner l'encadrement un peu plus précis
De même pour l'autre solution, on aet
d'où
Bien sûr, on n'est pas limité à des valeurs entières, et on peut tester des valeurs décimales pour obtenir des encadrements plus précis.
On recherche simplement des valeurs entre lesquelleschange de signe, et donc passe par 0.
- On teste des valeurs plus précises:
, puis
d'où l'encadrement plus précis
De même pour l'autre solutionet
d'où
Et on pourrait chercher de même des encadrements à, ou encore
, ... ou à une précision quelconque souhaitée.
Exercice 2:
Pour résoudre l'équation![$e^x=x+2$](fich-IMG/30.png)
![$f(x)=x$](fich-IMG/31.png)
On pose donc ici
![$f(x)=e^x-2$](fich-IMG/32.png)
![$f(x)=x\iff e^x-2=x\iff e^x=x+2$](fich-IMG/33.png)
La méthode du point fixe consiste à pertir d'une valeur initiale
![$x_0$](fich-IMG/34.png)
![\[x_{n+1}=f(x_n)\]](fich-IMG/35.png)
Initialisation par
![$x_0=0$](fich-IMG/36.png)
On calcule successivement
![$x_1=f(x_0)=-1$](fich-IMG/37.png)
![$x_2=f(x_1)\simeq-1,63$](fich-IMG/38.png)
![$x_3=f(x_2)\simeq-1,80$](fich-IMG/39.png)
![$x_4=f(x_3)\simeq-1,83$](fich-IMG/40.png)
![$x_5=f(x_4)\simeq-1,84$](fich-IMG/41.png)
…
Initialisation par
![$x_0=1$](fich-IMG/42.png)
On calcule successivement
![$x_1=f(x_0)\simeq0,718$](fich-IMG/43.png)
![$x_2=f(x_1)\simeq0,05$](fich-IMG/44.png)
![$x_3=f(x_2)\simeq-0,95$](fich-IMG/45.png)
![$x_4=f(x_3)\simeq-1,61$](fich-IMG/46.png)
![$x_5=f(x_4)\simeq-1,80$](fich-IMG/47.png)
![$x_6=f(x_5)\simeq-1,83$](fich-IMG/48.png)
…
Les valeurs convergent encore vers la solution
![$\alpha$](fich-IMG/49.png)
Initialisation par
![$x_0=-10$](fich-IMG/50.png)
On calcule successivement
![$x_1=f(x_0)\simeq-1,99$](fich-IMG/51.png)
![$x_2=f(x_1)\simeq-1,86$](fich-IMG/52.png)
![$x_3=f(x_2)\simeq-1,84$](fich-IMG/53.png)
![$x_4=f(x_3)\simeq-1,84$](fich-IMG/54.png)
…
Les valeurs convergent encore vers la solution
![$\alpha$](fich-IMG/55.png)
Initialisation par
![$x_0=2$](fich-IMG/56.png)
On calcule successivement
![$x_1=f(x_0)\simeq5,39$](fich-IMG/57.png)
![$x_2=f(x_1)\simeq217$](fich-IMG/58.png)
![$x_3=f(x_2)\simeq1,74.10^{94}$](fich-IMG/59.png)
![$x_3$](fich-IMG/60.png)
![$x_4$](fich-IMG/61.png)
En résumé, pour la méthode du point fixe:
- sa mise en œuvre est très aisée
- si la méthode converge, on ne sait pas vers quelle solution (d'où l'importance de l'étde préalable permettant d'en connaître le nombre et une localisation, même très grossière)
- la méthode peut diverger selon la valeur initiale
- Une question reste ouverte: comment choisir la valeur initiale ?
Exercice 3:
Calculer par dichotomie un encadrement de la solution de l'équation![\[(E): \cos\lp\dfrac{x}{2}\rp=0\]](fich-IMG/62.png)
Tout d'abord, sur l'intervalle
![$[2;4]$](fich-IMG/63.png)
![$\pi$](fich-IMG/64.png)
On note
![$f(x)=\cos\lp\dfrac{x}{2}\rp$](fich-IMG/65.png)
![$\alpha$](fich-IMG/66.png)
![$f(x)=0$](fich-IMG/67.png)
- On part de l'intervalle
, soit
et
.
On coupe l'intervalle en deux, soitet on calcule:
Comme le produit, la fonction ne change pas de signe entre
et
, et la solution
recherchée est donc entre
et
.
- On recommence l'étape précendente avec donc
et
.
On coupe en deux:et on calcule
de sorte queet on peut donc maintenant affirmer que la solution est entre
et
.
- On recommence avec maintenant
et
.
On coupe en deux:et on calcule
de sorte queet on peut donc maintenant affirmer que la solution est entre
et
.
- On recommence avec maintenant
et
.
On coupe en deux:et on calcule
de sorte queet on peut donc maintenant affirmer que la solution est entre
et
.
On a finalement trouvé l'encadrement, après quatre itérations de dichotomie,
![\[3,125<\alpha<3,25\]](fich-IMG/100.png)
Illustration graphique
Exercice 4
L'équation est la même que dans l'exercice précédent:![$f(x)=0$](fich-IMG/101.png)
![$f(x)=\cos\lp\dfrac{x}2\rp$](fich-IMG/102.png)
La méthode de Newton utilise la dérivée de la fonction, ici
![\[f'(x)=-\dfrac12\sin\lp\dfrac{x}2\rp\]](fich-IMG/103.png)
et ensuite, à partir d'une valeur itiniale
![$x_0$](fich-IMG/104.png)
![\[x_{n+1}=x_n-\dfrac{f\lp x_n\rp}{f'\lp x_n\rp}\]](fich-IMG/105.png)
On calcule ainsi
![\[x_1=x_0-\dfrac{f\lp x_0\rp}{f'\lp x_0\rp}\simeq3,28418\]](fich-IMG/106.png)
puis, à partir de cette valeur,
![\[x_2=x_1-\dfrac{f\lp x_1\rp}{f'\lp x_1\rp}\simeq3,14135\]](fich-IMG/107.png)
puis
![\[x_3=x_2-\dfrac{f\lp x_2\rp}{f'\lp x_2\rp}\simeq3,14159\]](fich-IMG/108.png)
puis
![\[x_4=x_3-\dfrac{f\lp x_3\rp}{f'\lp x_3\rp}\simeq3,14159\]](fich-IMG/109.png)
et on remarque que les valeurs convergent rapidement vers la solution recherchée
![$\pi$](fich-IMG/110.png)
Cette qualification de "rapidement" est bien sûr faite ici comparativement aux méthodes précédentes.
Illustration graphique de la méthode de Newton
Exercice 5
On reprend à nouveau l'équation et la fonction précédente, mais on utilise maintenant l'algorithme de la sécante qui, à partir d'une valeur initiale
![$x_0$](fich-IMG/111.png)
![\[x_{n+1}=x_n-f\lp x_n\rp\dfrac{x_n-a}{f\lp x_n\rp-f(a)}\]](fich-IMG/112.png)
Ici, avec
![$a=2$](fich-IMG/113.png)
![$x_0=b=4$](fich-IMG/114.png)
![\[x_1=x_0-f\lp x_0\rp\dfrac{x_0-a}{f\lp x_0\rp-f(a)}\simeq3,12981\]](fich-IMG/115.png)
puis
![\[x_2=x_1-f\lp x_1\rp\dfrac{x_1-a}{f\lp x_1\rp-f(a)}\simeq3,14226\]](fich-IMG/116.png)
puis
![\[x_3=x_2-f\lp x_1\rp\dfrac{x_2-a}{f\lp x_2\rp-f(a)}\simeq3,14155\]](fich-IMG/117.png)
et enfin
![\[x_4=x_3-f\lp x_3\rp\dfrac{x_3-a}{f\lp x_3\rp-f(a)}\simeq3,14159\]](fich-IMG/118.png)
et les valeurs convergent à nouveau vers la valeur recherchée.
Illustration graphique de la méthode de la sécante
Voir aussi:
- Modélisation, simulation et résolution numérique de problème
- Introduction: modélisation, simulation et approximation numérique d'un problème
- Partie III: approximation numérique de dérivées