Approximation numérique d'integrales

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Exercice 1:

Soit $I=\dsp\int_0^2 e^{-x}\, dx$

  1. On a
    \[\bgar{ll}I&=\Bigl[-e^{-x}\Bigr]_0^2\\[.8em] &=-e^{-2}-\lp-e^0\rp\\[.8em]&=1-e^{-2}\simeq0,865\enar\]

  2. L'approximation par la méthode des rectangles à gauche s'écrit
    \[I=\int_a^b f(x)dx\simeq h\sum_{i=0}^{n-1}f\lp x_i\rp\]

    où la suite $(x_i)$ est une discrétisation de l'intervalle $[0;2]$ d'intégration:

    \[\newcommand{\addu}[1]{#1 1 add} \begin{pspicture}(-2,-1.7)(11,1) \psline[arrowsize=8pt,linewidth=1.4pt]{->}(-.5,0)(10,0) \multido{\i=0+1}{3}{\psline(\i,-.2)(\i,.2)} \multido{\i=0+1}{2}{\psline[arrowsize=6pt]{<->}(\i,-1)(!\addu{\i}\space-1)} \rput(.5,-1.3){$h$}\rput(1.5,-1.3){$h$} \rput(2.8,-1){$\dots$} \rput(0,.4){$a\!=\!0$} \rput[r](0.2,-.4){$x_0$} \rput(1,-.4){$x_1$} \rput(2,-.4){$x_2$} \rput(4,-.4){$\dots$} \psline(4.8,-.2)(4.8,.2)\rput(4.8,-.4){$x_i$} \rput(5.5,-.4){$\dots$} \psline(8,-.2)(8,.2)\rput(8,-.4){$x_{n-1}$} \rput(8.8,.4){$b\!=\!2$}\psline(8.8,-.2)(8.8,.2)\rput[l](8.8,-.4){$x_n$} \psline[arrowsize=6pt]{<->}(8,-1)(8.8,-1)\rput(8.5,-1.3){$h$} \end{pspicture}\]


    Avec un pas $h=0,5$, on a $x_0=0$, $x_1=0,5$, $x_2=1$, $x_3=1,5$ et $x_4=2$, et alors

    \[I\simeq0,5\Bigl(f(0)+f(0,5)+f(1)+f(1,5) \Bigr)\simeq1,099\]
  3. Avec un pas   $h=0,25$,
    \[I\simeq0,25\Bigl(f(0,25)+f(0,5)+f(0,75)+\dots f(1,75) \Bigr)\simeq0,977\]


  4. Pour commenter, on calcule l'erreur relative:

    • avec un pas   $h=0,5$,
      \[\varepsilon_r\simeq\left|\dfrac{0,865-1,099}{0,865}\right|\simeq0,27\]

      et avec un pas   $h=0,25$,
      \[\varepsilon_r\simeq\left|\dfrac{0,865-0,977}{0,865}\right|\simeq0,13\]

    Ainsi, en divisant par 2 le pas, l'erreur est elle aussi divisée par, ce qui semble montrer que la méthode est d'ordre 1.
    Bien sûr les calculs avec des valeurs plus petites du pas nécessitent une automatisation des calculs, ou programmation: c'est l'objectif en TP.



Exercice 2:


On reprend l'intégrale $I=\dsp\int_0^2 e^{-x}\, dx$
  1. L'approximation par la méthode des trapèzes s'écrit
    \[\int_a^b f(x)dx\simeq\dfrac{h}{2}\lp f\lp x_0\rp+\dsp2\sum_{i=1}^{n-1}f\lp x_{i}\rp+f\lp x_n\rp\rp\]

    et donc,
    • avec un pas $h=0,5$, la discrétisation de l'intervalle est la même qu'à l'exercice précédent, et alors
      \[\bgar{ll}I&\simeq\dfrac{0,5}2\Biggl( f(0)+2\Bigl(f(0,5)+f(1)+f(1,5)\Bigr) + f(2)\Biggr)\\[1.3em] &\simeq0,8826\enar\]


    • avec un pas $h=0,25$, on a
      \[\bgar{ll}I&\simeq\dfrac{0,25}2\Biggl( f(0)+2\Bigl(f(0,25)+f(0,5)+\dots+f(1,75)\Bigr) + f(2)\Biggr)\\[1.3em] &\simeq0,8692\enar\]


  2. Pour commenter, on calcule l'erreur relative:
    • avec un pas $h=0,5$,
      \[\varepsilon_r\simeq\left|\dfrac{0,8647-0,8826}{0,8647}\right|\simeq2.10^{-2}\]

      et avec un pas $h=0,25$,
      \[\varepsilon_r\simeq\left|\dfrac{0,8647-0,8692}{0,8647}\right|\simeq5.10^{-3}\]

    Ainsi, en divisant par 2 le pas, l'erreur est divisée cette fois par 4, ce qui semble montrer que la méthode est d'ordre 2, c'est-à-dire que l'erreur est de l'ordre de $h^2$.



Exercice 3:

On reprend à nouveau l'intégrale $I=\dsp\int_0^2 e^{-x}\, dx$
  1. Avec un pas $h=0,5$, donc toujours la discrétisation $x_0=0$, $x_1=0,5$, $x_2=1$, $x_3=1,5$ et $x_4=2$, l'approximation de l'intégrale par la méthode de Simpson s'écrit,

    \[I\simeq =\dfrac{h}{6}\sum_{i=0}^{n-1}\lb f\lp x_i\rp+4f\lp\dfrac{x_i+x_{i+1}}{2}\rp + f\lp x_{i+1}\rp \rb\]
    soit

    \[\bgar{lll}I&\simeq \dfrac{0,5}6\Bigl[ &f(0)+4f\lp0,25\rp + f(0,5)\\[.6em] &&f(0,5)+4f(0,75)+f(1)\\[.6em] &&f(1)+4f(1,25)+f(1,5)\\[.4em] &&f(1,5)+4f(1,75)+f(2) \ \Bigr]\\ &\simeq0,86468 \enar \]

  2. L'erreur relative pour cette méthode est
    \[\varepsilon_r\simeq2.10^{-5}\]

    ce qui est, avec le même pas, 10 000 fois plus précis que la méthode des rectangles, et 1000 fois plus précis que la méthode des trapèzes.



Voir aussi:
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