Un système d'équations trigonométriques


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Soit $a\in\R$. Résoudre le système $\la\begin{array}{ll}
\cos a +\cos(a+x)+\cos(a+y)=0 \\[.3em]
\sin a +\sin(a+x)+\sin(a+y)=0
\enar\right.$


Correction

Correction

Le système est équivalent à
\[\begin{array}{ll}
e^{ia}+e^{i(a+x)}+e^{i(a+y)}=0
&\iff 
e^{ia}\left( 1+e^{ix}+e^{iy}\rp=0 \\
&\iff 1+e^{ix}+e^{iy}=0 \\
&\iff 
e^{i\frac{x+y}{2}}\left( e^{i\frac{x-y}{2}}+e^{-i\frac{x-y}{2}}\rp=-1 \\
&\iff 
2e^{i\frac{x+y}{2}}\cos\lp\dfrac{x-y}{2}\rp=-1 \\
&\iff
\la\begin{array}{ll}
2\cos\lp\dfrac{x+y}{2}\rp\cos\lp\dfrac{x-y}{2}\rp=-1\\
2\sin\lp\dfrac{x+y}{2}\rp\cos\lp\dfrac{x-y}{2}\rp=0\\
\enar\right.\\[2em]
&\iff
\la\begin{array}{ll}
\cos x+\cos y=-1\\
\sin x+\sin y=0\\
\enar\right.\\[1em]
\end{array}
\]

On a ainsi $\sin x=-\sin y=\sin(-y)\iff x\equiv-y\,[2\pi]$ et alors $\cos x+\cos y=2\cos y=-1\iff y\equiv\dfrac{2\pi}{3}\,[2\pi]$ ou $y\equiv -\dfrac{2\pi}{3}\,[2\pi]$, ou, $x\equiv\pi+y\,[2\pi]$ et alors $\cos x+\cos y=0$ ce qui est impossible.


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