Équation polynomiale

Correction

1. , comme , et toutes ses dérivées, sont des fonctions polynômes.
   En particulier, est continue sur , donc sur , et y est donc bornée et atteint ses bornes, ce qui signifie exactement qu'il existe un réel tel que .
2. En dérivant la relation sur , on obtient
   
   
   
   et en dérivant une deuxième fois:
   
   
   
   En particulier, en multipliant par 2, et en ,
   
   
   
   or, de même que , d'où
   
   
   
   et
   
   
   
   La seule possiblité pour que l'égalité précédente soit vérifiée est donc que, à la fois
   
   
   
   
   
3. Si , donc on a donc aussi que , et donc on peut remplacer par .
4. On peut réitérer le raisonnement précédent: à partir de tel que , on a en fait
   
   
   
   atteint donc son maximum en une infinité de valeurs, et, en chacune de ces valeurs, sa dérivée s'annule nécessairement
   
   
   
   et donc s'annule une infinité de fois.
   Or est une fonction ploynôme qui admet au plus racines, où , sauf si est le polynôme nul, et on en conclut donc que , est un polynôme de degré au plus 2.