Équation polynomiale


Soit $a>0$. On cherche le degré des polynômes vérifiant:
\[\forall x\in[0;2a], \
\dfrac12f(x)=f\lp\dfrac{x}2\rp+f\lp a-\dfrac{x}2\rp\]

On note $M=\underset{t\in[0;2a]}{\max}f''(t)$.
  1. Montrer qu'il existe $c\in[0;2a]$ tel que $f''(c)=M$.
  2. Montrer que $f''(c)=f''\lp\dfrac{c}2\rp$.
  3. Montrer que l'on aurait pu choisir $c$ dans $[0;a]$.
  4. Montrer que $f'''$ s'annule une infinité de fois. Conclure.

Correction
Oral ENSAE - 2014/2015
Soit $a>0$. On cherche le degré des polynômes vérifiant:
\[\forall x\in[0;2a], \
\dfrac12f(x)=f\lp\dfrac{x}2\rp+f\lp a-\dfrac{x}2\rp\]

On note $M=\underset{t\in[0;2a]}{\max}f''(t)$.
  1. $f$, comme $f'$, $f''$ et toutes ses dérivées, sont des fonctions polynômes.
    En particulier, $f''$ est continue sur $\R$, donc sur $[0;2a]$, et y est donc bornée et atteint ses bornes, ce qui signifie exactement qu'il existe un réel $c\in[0;2a]$ tel que $f''(c)=\underset{t\in[0;2a]}{\max}f''(t)=M$.
  2. En dérivant la relation sur $f$, on obtient
    \[\dfrac12f'(x)=\dfrac12f'\lp\dfrac{x}2\rp-\dfrac12 f'\lp a-\dfrac{x}2\rp\]

    et en dérivant une deuxième fois:
    \[\dfrac12f''(x)=\dfrac14f''\lp\dfrac{x}2\rp+\dfrac14 f''\lp a-\dfrac{x}2\rp\]

    En particulier, en multipliant par 2, et en $x=c$,
    \[f''(c)=M=\dfrac12f''\lp\dfrac{c}2\rp+\dfrac12 f''\lp a-\dfrac{c}2\rp\]

    or, $\dfrac{c}2\in[0;2a]$ de même que $a-\dfrac{c}2\in[0;2a]$, d'où
    \[\dfrac12f''\lp\dfrac{c}2\rp\leqslant\dfrac12M\]

    et
    \[\dfrac12f''\left( a-\dfrac{c}2\rp\leqslant\dfrac12M\]

    La seule possiblité pour que l'égalité précédente soit vérifiée est donc que, à la fois
    \[f''\lp\dfrac{c}2\rp=f''\lp a-\dfrac{c}2\rp=M\]


  3. Si $c\notin[0;a]$, donc $c\in[a;2a]$ on a donc aussi que $f''\lp\dfrac{c}2\rp=M$, et donc on peut remplacer $c$ par $\dfrac{c}2\in[0;a]$.
  4. On peut réitérer le raisonnement précédent: à partir de $c\in[0;a]$ tel que $f''(c)=M$, on a en fait
    \[M=f''(c)=f''\lp\dfrac{c}2\rp=f''\lp\dfrac{c}4\rp=\dots\]

    $f''$ atteint donc son maximum en une infinité de valeurs, et, en chacune de ces valeurs, sa dérivée s'annule nécessairement
    \[0=f'''(c)=f'''\lp\dfrac{c}2\rp=f'''\lp\dfrac{c}4\rp=\dots\]

    et donc $f'''$ s'annule une infinité de fois.
    Or $f'''$ est une fonction ploynôme qui admet au plus $n$ racines, où $n=\deg\left( f'''\rp$, sauf si $f'''$ est le polynôme nul, et on en conclut donc que $f\in\R_2[X]$, $f$ est un polynôme de degré au plus 2.


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