Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques, Intégrales

BTS

Intégrales

Devoir de mathématiques en BTS: calcul intégral, primitive, calcul d'ire
Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir de mathématiques en BTS: calcul intégral, primitive, calcul d'ire
Niveau
BTS
Mots clé
intégrale, intégration, calcul d'aire, devoir corrigé de mathématiques, maths, BTS

Sujet du devoir

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Correction du devoir de mathématiques: Fonctions},
    pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={Mathématiques, devoir corrigé, BTS, MS, MI, SMS, maintenance industrielle, 
      groupe B, fonction, fonctions, étude de fonction, dérivée}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
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\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt       % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}   % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
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\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/BTS/}}
\rfoot{Devoir de mathématiques\ - BTS - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\ct{\bf\LARGE{Correction du devoir de math\'ematiques}}



\bgex
$F(x)=x^3+3x^2-x$ est une primitive de 
$f(x)=3x^2+6x-1$, \\
et donc, 
$\dsp I=\int_0^1 \lp 3x^2+6x-1\rp\,dx
\Bigl[\, F(x) \,\Bigr]_0^1
=F(1)-F(0)=3-0=3$. 
\enex


\bgex
Calculer $\dsp I=\int_0^2 \dfrac{2}{\lp 3x+2\rp^2}\,dx$

$F(x)=-\dfrac23\tm\dfrac{1}{3x+2}$ est une primitive de 
$f(x)=\dfrac{2}{\lp 3x+2\rp^2}$, \\
et donc 
$I=\Bigl[\,F(x)\Bigr]_0^2=F(2)-F(0)
=-\dfrac23\tm\dfrac{1}{8}+\dfrac23\tm\dfrac{1}{2}
=-\dfrac{1}{12}+\dfrac13
=\dfrac14$
\enex


\bgex
La valeur moyenne est 
$\mu\dsp=\dfrac1{\pi-0}\int_0^\pi f(x)\,dx$. \\
$F(x)=x^2-\cos(x)$ est une primitive de $f$, 
et donc 
$\mu=\dfrac1\pi\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^\pi
=\dfrac1\pi\lp F(\pi)-F(0)\rp$. 

De plus $F(\pi)=\pi^2-\cos(\pi)=\pi^2+1$ 
et $F(0)=0^2-\cos(0)=-1$, \\
et donc, $F(\pi)-F(0)=\pi^2+1-(-1)=\pi^2+2$. \\
On trouve alors la valeur moyenne, 
$\mu=\dfrac{\pi^2+2}{\pi}$.
\enex

\bgex
\bgen
\item $F(x)=-\dfrac16x^3+2x^2-\dfrac52x$ et 
  $G(x)=\dfrac12x^2$ sont des primitives de $f$ et $g$. 

  On a alors, 
  $I=\dsp\int_1^5f(x)dx=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_1^5
  =F(5)-F(1)$. 

  On a $F(5)=-\dfrac{5^3}{6}+2\tm5^2-\dfrac52\tm5
  =\dfrac{-125+300-75}{6}=\dfrac{100}{6}=\dfrac{50}{3}$ 

  et 
  $F(1)=-\dfrac16+2-\dfrac52=\dfrac{-1+12-15}{6}
  =\dfrac{-4}{6}=-\dfrac23$. 

  Ainsi, $I=\dfrac{52}{3}$. 

  \medskip
  De m\^eme, $G(5)=\dfrac12\tm5^2=\dfrac{25}{2}$ 
  et $G(1)=\dfrac12$, 
  d'où 
  $J=G(5)-G(1)=\dfrac{24}{2}=12$. 

\item L'aire $A$ recherchée est alors 
  $A=I-J=\dfrac{52}{3}-12=\dfrac{16}{3}$

\enen
\enex



\label{LastPage}
\end{document}

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