Source Latex: Devoir corrigé de mathématiques, Intégrales

BTS

Intégrales

Devoir de mathématiques en BTS: calcul intégral, primitive, calcul d'ire
Fichier
Type: Devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir de mathématiques en BTS: calcul intégral, primitive, calcul d'ire
Niveau
BTS
Mots clé
intégrale, intégration, calcul d'aire, devoir corrigé de mathématiques, maths, BTS

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\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{calc}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{multicol}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Devoir de mathématiques: Fonctions},
    pdftitle={Devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={Mathématiques, BTS, MS, MI, SMS, maintenance industrielle, 
      groupe B, fonction, fonctions, étude de fonction, dérivée}
}
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\voffset=-1cm


% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt       % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}   % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
\setlength{\columnsep}{30pt}	% default=10pt
\setlength{\columnseprule}{1pt}	% default=0pt (no line)
\setlength{\headsep}{0in}		% default=0.35in
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\oddsidemargin=-1.cm

\usepackage{ifthen}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/BTS/}}
\rfoot{Devoir de mathématiques\ - BTS - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-3em}
\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}

\bgex
Calculer $\dsp I=\int_0^1 \lp 3x^2+6x-1\rp\,dx$
\enex

\bgex
Calculer $\dsp I=\int_0^2 \dfrac{2}{\lp 3x+2\rp^2}\,dx$
\enex

\bgex
Déterminer la valeur moyenne de la fonction 
$f(x)=2x+\sin(x)$ sur l'intervalle $[0;\pi]$. 
\enex

\noindent
\bgmp{11cm}
\bgex
On cherche à calculer l'aire du domaine grisé sur le graphique ci-contre. 

Le domaine est compris entre une portion de parabole 
et un segment de droite. 

La parabole représente la fonction 
$f$ dont l'expression est 
$f(x)=-\dfrac12x^2+4x-\dfrac52$. 

La droite est la représentation de la fonction affine 
$g(x)=x$. 


\bgen
\item Calculer les intégrales $\dsp\int_1^5f(x)\,dx$ et 
  $\dsp\int_1^5g(x)\,dx$. 
\item En déduire l'aire recherchée. 
\enen
\enex
\enmp
\bgmp{8cm}\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(8,6.8)
  \nwc\f[1]{#1 #1 mul -0.5 mul 4 #1 mul add -2.5 add}
  \renewcommand{\g}[1]{#1}
  %
  \pscustom{
    \psplot[plotpoints=100]{1}{5}{\f{x}}\gsave
    \psplot{1}{5}{\g{x}}
    \fill[fillstyle=solid,fillcolor=gray]
    \grestore}
  %
  \multido{\i=1+1}{6}{
    \psline[linewidth=.2pt,linestyle=dashed](-.2,\i)(7.2,\i)
  }
  \multido{\i=1+1}{7}{
    \psline[linewidth=.2pt,linestyle=dashed](\i,-.2)(\i,6.3)
  }
  %
  \psplot[linewidth=2pt,plotpoints=100]{.5}{7.5}{\f{x}}
  \psplot[linewidth=2pt]{0}{6.6}{\g{x}}
  \psline{->}(-.3,0)(8,0)
  \psline{->}(0,-1)(0,6.5)
  \psline(0,1)(1,1)(1,0)
  \rput(-0.2,-0.2){$O$}
  \rput(1,-0.35){$1$}\rput(-0.2,1){$1$}
  \rput(5,-0.35){$5$}
\end{pspicture}
\enmp





\label{LastPage}
\end{document}

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