Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques, Fonctions

BTS

Fonctions

Devoir de mathématiques en BTS: étude de fonction, dérivée, sens de variation et limites
Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir de mathématiques en BTS: étude de fonction, dérivée, sens de variation et limites
Niveau
BTS
Mots clé
dérivée, sens de variation, fonction, limites, devoir corrigé de mathématiques, maths, BTS

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      groupe B, fonction, fonctions, étude de fonction, dérivée}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
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\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt       % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
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\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

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\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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	\protect\vspace*{\fill}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/BTS/}}
\rfoot{Corrigé du devoir\ - BTS - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{Corrigé du devoir de math\'ematiques}}

\bgex
Soit, pour $x\not=2$, $f(x)=\dfrac{x+5}{x^2-4}$. 

\bgen
\item On a $f=\dfrac{u}{v}$ 
  avec $u(x)=x+5$ donc $u'(x)=1$ 
  et $v(x)=x^2-4$ donc $v'(x)=2x$, 

  donc, $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, 
  soit 
  $f'(x)=\dfrac{x^2-4-(x+5)(2x)}{\lp x^2-4\rp^2}
  =\dfrac{-x^2-10x-4}{\lp x^2-4\rp^2}$. 
\item En l'infini, on a 
  $f\sim\dfrac{x}{x^2}=\dfrac1x$, 
  et ainsi, 
  $\dsp\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$. 
\enen
\enex


\bgex
$f(x)=x^3-2x^2+x+5$, 
donc, 
$f'(x)=3x^2-4x+1$. 

$f'(x)$ est du second degré, de discriminant 
$\Delta=16-12=4>0$ et admet donc deux racines: 
$x_1=\dfrac{4-2}{2\tm3}=\dfrac13$ 
et $x_2=\dfrac{4+2}{2\tm3}=1$. 

On a donc le tableau de variation: 
  \begin{tabular}{|c|*6{p{0.3cm}}p{0.5cm}|}\hline
    $x$ & $-\infty$ && $\frac13$ && $1$ && $+\infty$ \\\hline
    $f'(x)$ && $+$ & \zb & $-$ & \zb & $+$ & \\\hline
    &&&$\frac{139}{27}$&&&&$+\infty$\\
    $f$ && \Large{$\nearrow$} && \Large{$\searrow$}
    && \Large{$\nearrow$} &\\
    &$-\infty$&&&&$5$&&\\\hline
  \end{tabular}

\medskip
En l'infini, on a 
$f(x)\sim x^3$ et donc, 
$\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)
=\lim_{x\to+\infty} x^3=+\infty$, 

et de m\^eme $\dsp\lim_{x\to-\infty} f(x)=\dsp\lim_{x\to-\infty} x^3=-\infty$. 
\enex

\bgex
\bgen
\item $f$ est un produit: $f=u\,v$, 
  avec $u(x)=x^2-1$, et donc $u'(x)=2x$, et 
  $v(x)=e^x$, et donc $v'(x)=e^x$. 

  On a alors, $f'=u'v+uv'$, 
  soit 
  $f'(x)=2xe^x+(x^2-1)e^x$, 

  et donc, en factorisant par $e^x$, 
  $f'(x)=e^x\lp x^2+2x-1\rp$. 
\item Au point d'abscisse $a=0$, 
  on a $f(0)=-1$ et $f'(0)=-1)$. 

  Ainsi, la tangente a pour équation 
  $y=f'(0)(x-0)+f(0)=-x-1$. 

\item $F$ est un produit $F=u\,v$, 
  avec $u(x)=(x-1)^2$, et donc $u'(x)=2(x-1)$, 
  et $v(x)=e^x$ et donc $v'(x)=e^x$. 

  Ainsi $F'=u'v+uv'$, soit 
  $F'(x)=2(x-1)e^x+(x-1)^2e^x=e^x\lp 2x-2+x^2-2x+1\rp
  =e^x\lp x^2-1\rp=f(x)$. 
  
\item 
\[\psset{unit=1.2cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-4,-3.5)(4,2.4)
  \psline{->}(-3,0)(3,0)
  \psline{->}(0,-3)(0,3)
  \multido{\i=-3+1}{6}{\psline(\i,0.1)(\i,-0.1)\rput(\i,-0.3){$\i$}}
  \multido{\i=-2+1}{5}{\psline(0.1,\i)(-0.1,\i)\rput(-0.3,\i){$\i$}}
  \psplot{-3}{1.3}{x 2 exp 1 sub 2.718 x exp mul}
  \psplot{-3}{1.5}{-1 x mul 1 sub}
\end{pspicture}\]
\enen
\enex


\label{LastPage}
\end{document}

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