Source Latex: Devoir corrigé de mathématiques, Série de Fourier - Nombres complexes

BTS

Série de Fourier - Nombres complexes

Devoir corrigé de mathématiques en BTS: équation différentielle, nombres complexes, série de Fourier
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Type: Devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir corrigé de mathématiques en BTS: équation différentielle, nombres complexes, série de Fourier
Niveau
BTS
Table des matières
  • Équation différentielle (BTS A1, 2010)
  • Nombres complexes et fonction de transert d'un filtre (BTS A1, 2007)
  • Série de Fourier (BTS A1, 2010)
Mots clé
Fourier, complexes, équation différentielle, filtre, fonction de transfert complexe, BTS, maths, devoir corrigé
Voir aussi:

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Source Latex sujet du devoir

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    pdfauthor={Yoann Morel},
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      complexes, nombres complexes, s�rie de Fourier, Fourier}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\vphi{\varphi}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=0cm
\textheight=25.cm
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\footskip=1.8cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\parindent=0.2cm

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\setlength{\ProgIndent}{0.3cm}

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
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  \settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{nprop}
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\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspq\noindent
  \ul{D�monstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{D�finition\!\!:\ \ }
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\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
  \begin{flushright}%
  \settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
  \settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
  \bgmp{17.1cm}
  \psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
    \bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
  \enmp
  \end{flushright}
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{BTS Groupement A}
\author{Y. Morel}
\date{}

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%\lfoot{Y. Morel\\ \url{https://xymaths.fr}}
\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/BTS/Groupe-A/Mathematiques-BTS.php}{xymaths.fr - BTS}}
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\cfoot{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.8cm}


\ct{\LARGE \bf \TITLE}
\vspace{0.4cm}

\hspace{-0.8cm}\ul{\bf\emph{Formulaire de math�matiques autoris�.}}

\vspace{0.5cm}

\noindent 
\textbf{Exercice 1\ {\it BTS, Groupement A1, 2010} \hfill 3 points}\\

\vspace{-0.5cm}
On consid�re un syst�me physique dont l'�tat est mod�lis� par la
fonction $y$ de la variable $t$, solution de l'�quation
diff�rentielle: 
\[
y''(t)+4y(t)=20\qquad (1)\,.
\]

\bgen
\item D�terminer la fonction constante $h$ solution particuli�re de
  l'�quation diff�rentielle $(1)$. 
\item D�terminer la solution g�n�rale de l'�quation diff�rentielle
  $(1)$. 
\item En d�duire l'expression de la fonction $f$ solution de
  l'�quation diff�rentielle $(1)$ qui v�rifie les conditions 
  $f(0)=0$ et $f'(0)=0$.
\enen

\noindent 
\textbf{Exercice 2\ {\it BTS, Groupement A1, 2007} \hfill 8 points}\\

\vspace{-0.5cm}
\noindent On d�signe par i le nombre complexe de module 1 dont un
argument est $\dfrac{\pi}{2}$.\\ 
On consid�re un filtre dont la fonction de transfert $T$ est d�finie
sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par  
\[T(\omega)=\dfrac{\text{i} \omega k}{1-\text{i}\dfrac{\omega}{2}}.\]

\vspace{-0.3cm}

\noindent
Le nombre $k$ est un nombre r�el strictement positif compris entre 0
et 1.\\ 
En associant trois filtres identiques au pr�c�dent, on obtient un
syst�me dont la fonction de transfert $H$ est d�finie sur
$]0~;~+\infty[$ par : 
\[H(\omega)=\left(T(\omega)\right)^3.\]

\begin{enumerate}
\item On note $r(\omega)$ le module de $H(\omega)$. 
  On a donc : $r(\omega)=\left|H(\omega)\right|$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que le module de $T(\omega)$ est 
    $\dfrac{k\omega}{\sqrt{1+\dfrac{\omega^2}{4}}}$.
  \item En d�duire $r(\omega)$.
  \end{enumerate}
  \vspace{1ex}
\item 
  \begin{enumerate}
  \item Justifier qu'un argument de $(i\omega k)^3$ est 
    $\dfrac{3\pi}{2}$.\\
    Justifier qu'un argument de $1-\text{i}\dfrac{\omega}{2}$ est
    $-\arctan\left(\dfrac{\omega}{2}\right)$.\\ 
    En d�duire qu'un argument de $H(\omega)$, not�e $\varphi(\omega)$,
    est d�fini sur $]0~;~+\infty[$ par : 
    \[\vphi(\omega)=\dfrac{3\pi}{2}+3\arctan\left(\dfrac{\omega}{2}\right).\]
  \item On note $\varphi'$ la d�riv�e de la fonction $\varphi$. 
    Calculer $\varphi'(\omega)$ et 
    d�terminer le signe de $\varphi'$.% sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
  \item D�terminer les limites de la fonction $\varphi$ en $0$ et $+\infty$.
\end{enumerate}

  \vspd
\item Dans le tableau ci-apr�s on donne les variations de la fonction
  $r$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.\\ 
    Recopier et compl�ter ce tableau en utilisant les r�sultats
    obtenus dans la question 2. 
    \begin{center}
      \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.9cm}
      \begin{pspicture}(1,2)(15.5,7.4)
        %lignes horizontales}
        \psline(1,1)(15.5,1)
        \psline(1,1.6)(15.5,1.6)
        \psline(1,3.9)(15.5,3.9)
        \psline(1,6.1)(15.5,6.1)
        \psline(1,6.7)(15.5,6.7)
        \psline(1,7.2)(15.5,7.2)
        %lignes verticales
        \psline(1,1)(1,7.2)
        \psline(3.11,1)(3.1,7.2)
        \psline(15.5,1)(15.5,7.2)
        \psline[doubleline=true](3.5,1)(3.5,6.7)
        %fleches
        \psline{->}(5,4.2)(13.7,5.7)
        %les colonnes
        \rput(2,6.9){$\omega$}
        \rput(2,6.4){$r'(\omega)$}
        \rput(2,5){$r(\omega)$}
        \rput(2,2.7){$\varphi(\omega)$}
        \rput(2,1.2){$\varphi'(\omega)$}
        \rput(3.5,6.9){$0$}
        \rput(14.2,6.9){$+\infty$}
        \rput(14.2,5.7){$8k^3$}
        \rput(4.5,4.2){$0$}
        %les signes
        \rput(9,6.4){$+$}
      \end{pspicture}
    \end{center}
    \vspd
  \item \textbf{Dans cette derni�re question, on se place dans le cas
    o� $\mathbf{k=0,9}$.}\\
    Lorsque $\omega$ d�crit l'intervalle $]0~;~+\infty[$, 
    le point d'affixe $H(\omega)$ d�crit une courbe $\mathcal{C}$.\\
    En \textbf{annexe 1, � rendre avec la copie,} la courbe
    $\mathcal{C}$ est trac�e dans le plan complexe.\\
    On note $\omega_0$ la valeur de $\omega$ pour laquelle le module
    de $H(\omega)$ est �gal � 1.
    \begin{enumerate}
    \item Placer pr�cis�ment le point $M_0$ d'affixe $H(\omega_0)$ sur le
      document r�ponse donn� en \textbf{annexe~1.} 
    \item Calculer une valeur arrondie � $10^{-2}$ pr�s du nombre
      $\omega_0$, puis de $\varphi(\omega_0)$. 
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspq
\textbf{Exercice 3\ {\it BTS, Groupement A1, 2010} \hfill 9 points}

\begin{center} \textbf{Sp�cialit�s CIRA, �lectrotechnique, G�nie optique, Syst�mes �lectroniques, TPIL} \end{center}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, on se propose d'�tudier dans la partie A une perturbation d'un signal continu et, dans la partie B, la correction de cette perturbation par un filtre analogique.}

\medskip
 
 
Dans cet exercice, on note $\tau$ une constante r�elle appartenant � l'intervalle $[0~;~2\pi]$ et on consid�re les fonctions $f$ et $g$ d�finies sur  l'ensemble $\R$ des nombres r�els, telles que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] pour tout nombre r�el $t,~f(t) = 1$  ; 
\item[$\bullet~$] la fonction $g$ est p�riodique de p�riode $2\pi$ et : 

\[\left\{\begin{array}{l c l l}
g(t) &=& 0 &\text{si}~0 \leqslant  t < \tau\\
g(t) &=& 1 &\text{si}~\tau \leqslant t < 2\pi\\
\end{array}\right.\] 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Pour tout nombre r�el $t$, on pose : 

\[h(t)= f(t)- g(t)\]
 
La fonction $h$ ainsi d�finie repr�sente la perturbation du signal.
 
\begin{enumerate}
\item Les courbes repr�sentatives des fonctions $f$ et $g$ sont trac�es sur le \textbf{document r�ponse \no 2}. (figures 1 et 2). 

Sur la figure 3 du \textbf{document r�ponse \no 2}, tracer la
repr�sentation graphique de la fonction~$h$.  
\item On admet que la fonction $h$ est p�riodique de p�riode $2\pi$.
 
Pour tout nombre r�el $t$, on d�finit la s�rie de Fourier $S(t)$ associ�e � la fonction $h$ par

\[S(t) = a_{0} + \sum_{n=1}^{+ \infty} \left(a_{n} \cos (nt) + b_{n} \sin (nt)\right)\] 
 
\begin{enumerate}
\item D�terminer $a_{0}$. 
\item Soit $n$ un nombre entier sup�rieur ou �gal � 1.
  
  Calculer 
  \[\int_{0}^{\tau}  \cos (nt)\:\text{d}t\]
  et en d�duire que
  \[a_{n} =  \dfrac{1}{n\pi} \sin (n \tau).\]
  
\item Montrer que pour tout nombre entier $n$ sup�rieur ou �gal � 1,  
  \[b_{n} = \dfrac{1}{n\pi}(1 - \cos(n\tau)).\]
  
\end{enumerate} 
\item Soit $n$ un nombre entier naturel. On associe � $n$ le nombre
  r�el $A_{n}$ tel que : 

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $A_{0} =  a_{0}$ 
\item[$\bullet~$] $A_{n} = \sqrt{\dfrac{a_{n}^2 + b_{n}^2}{2}}$ si $n$ est un nombre entier sup�rieur ou �gal � 1.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
 
Montrer que, pour tout entier $n$ sup�rieur ou �gal � 1, on  a : 

$A_{n} = \dfrac{1}{n\pi}\sqrt{1 - \cos (n\tau)}.$

\medskip 

\textbf{On suppose, pour toute la suite de l'exercice, 
  que $\tau = \dfrac{\pi}{4}$.}
 
\item Compl�ter le \textbf{tableau} du \textbf{document r�ponse
  \no~3} avec des valeurs approch�es � $10^{-5}$ pr�s.  
\item La valeur efficace $h_{\text{eff}}$ de la fonction $h$ est telle
  que :  
  \[h_{\text{eff}}^2 = \dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}[h(t)]^2\,dt.\] 

  \begin{enumerate}
  \item Calculer $h_{\text{eff}}^2$. 
  \item Montrer que, pour tout $\tau\in[0\,;\,2\pi]$, 
    $0\leqslant 1-\cos(n\tau)\leqslant2$, 
    et en d�duire que la s�rie 
    $\dsp P=\sum_{n=0}^{+\infty} A_n^2$ converge. 
  \item Calculer une valeur approch�e � $10^{-4}$ pr�s du nombre r�el
    $P_3$ d�fini par $P_3 = \dsp\sum_{n=0}^3  A_{n}^2$.   
  \item  Calculer une valeur approch�e � $10^{-2}$ pr�s du quotient
    $\dfrac{P_3}{h_{\text{eff}}^2}$. 
  \end{enumerate}
\end{enumerate}



\begin{center}
  \textbf{Annexe 1\\
Document r�ponse � rendre avec la copie}

\vspq

\psset{unit=1.25cm,algebraic=true}
\def\r{(0.9*t/sqrt(1+(t^2)/4))^3}
\def\Pi{3.1415927}
\def\a{1.5*\Pi+3*atg(t/2)}
\fbox{\begin{pspicture}(-8.5,-2.5)(3.5,5.5)
  \psline{->}(-8.4,0)(3.4,0)
  \psline{->}(0,-2)(0,5.5)
  \multido{\i=-8+1}{12}{\psline(\i,-0.05)(\i,0.05)\rput(\i,-0.25){$\i$}}
  \multido{\i=-2+1}{8}{\psline(-0.05,\i)(0.05,\i)\rput(-0.3,\i){$\i$}}
  \parametricplot[plotpoints=5000]{0.001}{1000}{(\r)*cos(\a)|(\r)*sin(\a)}
\end{pspicture}
}
\end{center}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Document r�ponse \no 2, � rendre avec la copie (exercice 1)}

\bigskip

\textbf{Figure 1 :} courbe repr�sentative de $f$

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-6,-1)(6,3)
\psline[linewidth=1.25pt](-6,2)(6,2)\uput[ul](0,2){1}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,griddots=8,gridwidth=0.8pt](0,0)(-6,-1)(6,3)
\multido{\n=-5.5+1.0}{12}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.8pt,linecolor=orange](\n,-1)(\n,3)}
\uput[d](-6,0){$-3\pi$} \uput[d](-4,0){$-2\pi$} \uput[d](-2,0){$-\pi$} \uput[d](2,0){$\pi$} \uput[d](4,0){$2\pi$} \uput[d](6,0){$3\pi$}
\uput[d](0,0){$0$} 
\end{pspicture}

\vspace{0,5cm}

\bigskip

\textbf{Figure 2 :} courbe repr�sentative de $g$

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-6,-1)(6,3)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=white](-6,0)(6,0)\uput[ul](0,2){1}
%\psline[linewidth=1.25pt](-6,2)(6,2)
\psline[linewidth=1.25pt](-6.2,2)(-4,2)\psarc[linewidth=1.25pt](-3.4,2){6mm}
{165}{195}
\psline[linewidth=1.25pt](-3.5,2)(0,2)\psarc[linewidth=1.25pt](0.6,2){6mm}
{160}{200}\rput(-3.5,2){$\bullet$}
\psline[linewidth=1.25pt](0.5,2)(4,2)\psarc[linewidth=1.25pt](4.6,2){6mm}
{165}{195}\rput(0.5,2){$\bullet$}
\psline[linewidth=1.25pt](4.5,2)(6.2,2)\rput(4.5,2){$\bullet$}
\psline[linewidth=1.25pt](-4,0)(-3.5,0)\psarc[linewidth=1.25pt](-2.9,0){6mm}
{160}{200}\rput(-4,0){$\bullet$}
\psline[linewidth=1.25pt](0,0)(0.5,0)\psarc[linewidth=1.25pt](1.1,0){6mm}
{160}{200}\rput(0,0){$\bullet$}
\psline[linewidth=1.25pt](4,0)(4.5,0)\psarc[linewidth=1.25pt](5.1,0){6mm}
{160}{200}\rput(4,0){$\bullet$}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,griddots=8,gridwidth=0.8pt](0,0)(-6,-1)(6,3)
\multido{\n=-5.5+1.0}{12}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.8pt,linecolor=orange](\n,-1)(\n,3)}
\uput[d](-6,0){$-3\pi$} \uput[d](-4,0){$-2\pi$} \uput[d](-2,0){$-\pi$} \uput[d](2,0){$\pi$} \uput[d](4,0){$2\pi$} \uput[d](6,0){$3\pi$}
\uput[d](0,0){$0$} 
\end{pspicture}

\vspace{0,5cm}

\bigskip

\textbf{Figure 3 :} courbe repr�sentative de $h$

\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-6,-1)(6,3)
\uput[ul](0,2){1}
%\psline[linewidth=1.25pt](-6,2)(6,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,griddots=8,gridwidth=0.8pt](0,0)(-6,-1)(6,3)
\multido{\n=-5.5+1.0}{12}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.8pt,linecolor=orange](\n,-1)(\n,3)}
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\uput[d](0,0){$0$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\vspq
\begin{center}
\textbf{Document r�ponse \no 3, � rendre avec la copie (exercice 1)}

\bigskip


\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$n$	&0	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7\\ \hline
$A_{n}$&\nombre{0,12500}&\nombre{0,17227}&&\nombre{0,13863}&&\nombre{0,08318}&\nombre{0,05305}&\nombre{0,02461}\\ \hline \hline
$n$&8&9&10&11&12&13&14&15\\ \hline
$A_{n}$&&\nombre{0,01914}&\nombre{0,03183}&\nombre{0,03781}&&\nombre{0,03199}&\nombre{0,02274}&\nombre{0,01148}\\ \hline
\end{tabularx}

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\end{center}


\end{document}

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