Probabilités Continues - Exercices corrigés
Exercices pour le BTS
Exercice 1
Soit
une variable aléatoire qui suit la loi normale
.
Pour
une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée
réduite , on note et donne
,
,
,
,
Exprimer en fonction de
,
,
et
, puis donner une valeur
approchée de:
- a)
- b)
- c)
- d)
Exercice 2
Soit
une variable aléatoire suivant la loi normale
.
Déterminer le réel
tel que
.
Exercice 3
Soit
une variable aléatoire suivant la loi normale
.
On donne
.
Déterminer l'écart-type
tel que
.
Exercice 4 Surréservation d'une compagnie aérienne
Une compagnie utilise des avions d'une capacité de 320 passagers. Une étude statistique montre que 5 passagers sur 100 ayant réservé ne se présente pas à l'embarquement. On considérera ainsi que la probabilité qu'un passager ayant réservé ne se présente pas à l'embarquement est de 0,05.
- La compagnie accepte 327 réservations sur un vol.
Soit
la variable aléatoire indiquant le nombre de passagers se présentant à l'embarquement.
- a. Quelle est la loi de probabilité suivie par
?
- b. Par quelle loi normale peut-on approcher la loi de
? Les paramètres de la loi seront déterminés à
près.
- c. En utilisant l'approximation par la loi normale,
calculer
.
Penser vous que le risque pris par la compagnie en acceptant 327 réservations soit important ?
- a. Quelle est la loi de probabilité suivie par
- Serait-il raisonnable pour la compagnie d'accepter sur ce même
vol 330 réservations ? 335 réservations ?
- La compagnie accepte 337 réservation sur ce même vol d'une
capacité de 320 passagers.
310 personnes sont déjà présentes à l'embarquement. Quelle est la probabilité que moins de 320 personnes se présentent en tout à l'embarquement ?
Exercice 5 Une entreprise fabrique des brioches en grande quantité.
On pèse les boules de pâte avant cuisson.
On note
la variable aléatoire qui, à chaque boule de pâte, associe
sa masse.
On admet que
suit la loi normale de moyenne 700 g et d'écart type
20 g.
- Seules les boules dont la masse est comprise entre 666 g et 732
g sont acceptées à la cuisson.
Quelle est la probabilité qu'une boule, prise au hasard dans la production, soit acceptée à la cuisson ?
- Déterminer le réel positif
afin que l'on ait:
.
Enoncer ce résultat à l'aide d'une phrase.
- On admet que 8% des boules sont refusées à la cuisson.
On prélève au hasard, successivement et avec remise,
boules dans la production. On note
la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de
boules, associe le nombre de boules qui seront refusées à la cuisson. Cette variable aléatoire
suit une loi binomiale.
Dans le cas
,
- a. calculer la probabilité d'avoir, parmi les
10 boules prélevées, exactement 3 boules refusées à la cuisson;
- b. calculer la probabilité d'avoir, parmi les 10 boules
prélevées, au moins 7 boules acceptées à la cuisson.
- a. calculer la probabilité d'avoir, parmi les
10 boules prélevées, exactement 3 boules refusées à la cuisson;
Exercice 6 Une ligne de transmission entre un émetteur et un récepteur transporte des pages de texte, chaque page étant représentée par 100000 bits.
La probabilité pour qu'un bit soit erroné est estimé à 0,0001 et on admet que les erreurs sont indépendantes les unes des autres.
Partie A. Soit
la variable aléatoire donnant le nombre
d'erreurs lors de la transmission d'une page.
- Quelle est la loi de probabilité suivie par
?
Calculer la moyenne et l'écart type de
.
- On admet que cette loi peut être approchée par une loi normale
de paramètres
et
. Dans ces conditions, déterminer la probabilité pour qu'une page comporte au plus 15 erreurs.
Partie B. Pour corriger les erreurs commises à la suite de la transmission d'une page, on transmet cette page autant de fois qu'il le faut jusqu'à l'obtention d'une page sans erreur.
Soit
la variable aléatoire égale au nombre de transmissions (d'une
même page) nécessaires pour obtenir une page sans erreur.
On suppose que
est la probabilité de transmission d'une page
sans erreur et
est la probabilité de transmission d'une page avec erreur.
On admet que
suit la loi de probabilité
définie par
; pour tout
entier naturel non nul.
- a. Calculer
.
- b. Montrer que pour tout entier
,
.
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