Source Latex
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\usepackage{array}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\textheight=25cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1.2cm
\evensidemargin=0cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\vspace*{-3cm}
\ct
{\Large{\bf Signaux num�riques - Echantillonnage et spectre}}
\vspace{0.5cm}
\vspq
\bgit
\item[1)] {\bf\ul{Echantillonnage d'un signal}}
\vspt
G�n�rer un signal sinuso�dal de fr�quence $f=10$ Hz d'une dur�e de
1s, �chantillonn� � la fr�quence $f_e=100$ Hz.
\vspd
Tracer sur un graphique � plusieurs cadrans
ce signal, sa transform�e de Fourier, puis, superpos�s,
la transform� inverse de la transform�e de Fourier et le signal
sinuso�dal original.
\vspd
Faire varier la fr�quence d'�chantillonnage $f_e$.
A partir de quelle fr�quence d'�chantillonnage le spectre observ�
est-il aberrant ?
\vspace{0.6cm}
\item[2)] {\bf\ul{Spectre du cr�neau}}
\vspt
G�n�rer un signal "cr�neau" (ou "porte", ou encore passe-bande), de
dur�e $T=1$s, �chantillonn� � $f=1$ kHz:
\[
s(t)=
\la\bgar{lll}
0 &\mbox{ si } &0\leqslant t< \dfrac{T}{4}\\[0.4cm]
1 &\mbox{ si } &\dfrac{T}{4}\leqslant t\leqslant \dfrac{3T}{4}\\[0.4cm]
0 &\mbox{ si } &\dfrac{3T}{4} < t \leqslant T
\enar\right.\]
\vspd
Tracer le signal $s$ et son spectre.
\vspd
Quel est la largeur du lobe principal du spectre de ce signal ?
\vspace{0.6cm}
\item[3)] {\bf\ul{Translation du spectre}}
\vspt
On consid�re le signal d�finie par
\[x(t)=e^{-a|t|}\ ,\ \ a>0\,.\]
Echantillonner ce signal $x$ � la fr�quence $f_e$.
\vspd
Tracer $x$ et sa transform�e de Fourier $\widehat{x}$.
\vspq
A partir du signal $x$, on d�finit le signal
$y(t)=x(t)e^{2i\pi f_0t}$, avec $f_0=50$ Hz.
\vspd
Tracer de m�me le signal $y$ et sa transform�e de Fourier $\widehat{y}$.
\vspd
Quel lien y-a-t'il entre $\widehat{x}$ et $\widehat{y}$ ?
\enit
\end{document}
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