Source Latex: TP de mathématiques, Echantillonnage et spectre d'un signal

Post-bac

Echantillonnage et spectre d'un signal

Signaux numériques - Echantillonnage et spectre
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Type: TP
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Description
Signaux numériques - Echantillonnage et spectre
Niveau
Post-bac
Table des matières
  • Echantillonnage d'un signal
  • Spectre du créneau
  • Translation du spectre
Mots clé
signal numérique, fft, spectre, echantillonnage
Voir aussi:

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Source Latex

\documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}

\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}

\usepackage{array}
\usepackage{color}
\usepackage{tabularx}
%\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\nwc{\tm}{\times}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\textheight=25cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1.2cm
\evensidemargin=0cm


\setlength{\unitlength}{1cm}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\vspace*{-3cm}

\ct
{\Large{\bf Signaux num�riques - Echantillonnage et spectre}}
\vspace{0.5cm}


\vspq
\bgit
\item[1)] {\bf\ul{Echantillonnage d'un signal}}

  \vspt
  G�n�rer un signal sinuso�dal de fr�quence $f=10$ Hz d'une dur�e de
  1s, �chantillonn� � la fr�quence $f_e=100$ Hz.
  
  \vspd
  Tracer sur un graphique � plusieurs cadrans 
  ce signal, sa transform�e de Fourier, puis, superpos�s, 
  la transform� inverse de la transform�e de Fourier et le signal
  sinuso�dal original. 

  \vspd
  Faire varier la fr�quence d'�chantillonnage $f_e$. 
  A partir de quelle fr�quence d'�chantillonnage le spectre observ�
  est-il aberrant ?

\vspace{0.6cm}
\item[2)] {\bf\ul{Spectre du cr�neau}}

  \vspt
  G�n�rer un signal "cr�neau" (ou "porte", ou encore passe-bande), de
  dur�e $T=1$s, �chantillonn� � $f=1$ kHz: 
  \[
  s(t)=
  \la\bgar{lll}
  0 &\mbox{ si } &0\leqslant t< \dfrac{T}{4}\\[0.4cm]
  1 &\mbox{ si } &\dfrac{T}{4}\leqslant t\leqslant \dfrac{3T}{4}\\[0.4cm]
  0 &\mbox{ si } &\dfrac{3T}{4} < t \leqslant T
  \enar\right.\]

\vspd
Tracer le signal $s$ et son spectre. 

\vspd
Quel est la largeur du lobe principal du spectre de ce signal ?


\vspace{0.6cm}
\item[3)] {\bf\ul{Translation du spectre}}

  \vspt
  On consid�re le signal d�finie par 
  \[x(t)=e^{-a|t|}\ ,\ \  a>0\,.\]
  Echantillonner ce signal $x$ � la fr�quence $f_e$. 

  \vspd
  Tracer $x$ et sa transform�e de Fourier $\widehat{x}$. 

  \vspq
  A partir du signal $x$, on d�finit le signal 
  $y(t)=x(t)e^{2i\pi f_0t}$, avec $f_0=50$ Hz. 

  \vspd
  Tracer de m�me le signal $y$ et sa transform�e de Fourier $\widehat{y}$. 

  \vspd
  Quel lien y-a-t'il entre $\widehat{x}$ et $\widehat{y}$ ?

\enit




\end{document} 

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