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Matrices

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Description

Cours de mathématiques: matrices

Niveau

Terminale générale, maths expertes

Table des matières

• Introduction
• Définitions
• Opérations sur les matrices: addition, multiplication par un réel, produit matriciel
• Produit de matrices
• Inverse d'une matrice
• Systèmes d'équations et matrices
• Exercices

Mots clé

Cours de mathématiques, matrice, système d'équations, produit matriciel

Voir aussi:

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Source Latex du cours de mathématiques

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\makeatother

\voffset=-.5cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\No{\N_0}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}




\headheight=0cm
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\topmargin=-1.8cm
\footskip=.8cm
\textwidth=18.8cm
\oddsidemargin=-1.5cm

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Théorème }%\arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp\bigskip
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
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  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp\bigskip
}

\newcounter{ndef}
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\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Définition }% \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

%\newenvironment{proof}{
%  \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak} 
\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspd\noindent
  \ul{Démonstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Calcul matriciel}
\author{Y. Morel}
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\begin{document}

\vspace*{2cm}

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\hfill{\Huge \bf \TITLE}
\hfill\bgmp{5cm} Mathématiques expertes\\Terminale générale\enmp


\vspace{6em}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.8}\normalsize
\tableofcontents
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}\normalsize


\clearpage

\section{Introduction}

Si les matrices sous leur formalisme actuel datent du début du XXe
siècle, avec notamment l'appui de Heisenberg, l'intérêt pour les 
"tableaux de chiffres" est bien plus ancien. 

Par exemple, le problème des "carrés magiques" intriguait déjà les
mathématiciens chinois en 650 av. J.-C. et les systèmes d'équations
linéaires furent complètement résolus trois siècles plus tard. 
La méthode de Cramer (1750) en est l'équivalent moderne. 

\medskip
En 1925, Heisenberg utilise la théorie des matrices pour formuler la
mécanique quantique (alors aussi appelée
\href{https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique_matricielle}{\textsl{"mécanique matricielle"}}, et qui est la première définition complète et correcte de la mécanique quantique), ancrant définitivement dans l'esprit des mathématiciens l'intérêt indéniable de ces objets, et convaincant les physiciens de l'efficacité de son utilisation.
Dans les années qui suivent, de nombreux résultats furent découverts, en cryptographie, en calcul, en théorie des graphes, en optique... 

\vspd
La décomposition de matrices est encore actuellement un thème de recherche. 
De telles opérations permettent par exemple 
\bgit
\item de diminuer le temps de calcul informatique de simulations
  numériques de phénomènes physiques, écono\-miques,~\dots, et donc de
  permettre d'en réaliser de plus précises, plus complexes et donc
  plus réalistes. 
\item de séparer le bruit d'une image (décomposition en valeurs singulières), 
\item de repérer les caractéristiques d'un code génétique ou d'étudier automatiquement des données statistiques (\href{https://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_en_composantes_principales}{\textsl{analyse en composantes principales}})
\item \dots
\enit

\bigskip

\noindent\bgmp[t]{8.4cm}\vspace*{-.7cm}\bgex
\textbf{Carrés magiques.} \\
Compléter le tableau suivant avec les nombres de 1
à 9 de telle manière que la somme des nombres sur chaque ligne, sur
chaque colonne et sur chaque diagonale soit égale à 15. 

\[\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
  2 & \bgmp{1cm}{\ \vspd\\ \ }\enmp& \\\hline
  \bgmp{1cm}{\ \vspd\\ \ }\enmp&5& \\\hline
  4 & &\bgmp{1cm}{\ \vspd\\ \ }\enmp \\\hline
\end{tabular}\]
\enex
\enmp\hfill\psline(-.4,0)(-.4,-5)
\bgmp[t]{9.2cm}
On peut de même rechercher un carré magique d'ordre 4, les sommes
étant cette fois de 34: 
\[\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
  16 & 3 &&\bgmp{0.8cm}{\ \vspd\\ \ }\enmp \\\hline
  \bgmp{0.8cm}{\ \vspd\\ \ }\enmp&10& &\\\hline
  9 & &\bgmp{0.8cm}{\ \vspd\\ \ }\enmp  &\\\hline
  4 & \bgmp{0.8cm}{\ \vspd\\ \ }\enmp&14 &1 \\\hline  
\end{tabular}\]
%{\it (la somme des quatre chiffres figurant dans les quatre cases
%  centrales ou encore dans les quatre cases d'angle vaut aussi 34) }
\enmp


\bigskip
\bgex \textbf{Un sudoku}
\[\def\arraystretch{1.6}
\begin{tabular}{|*9{p{.5cm}|}}\hline
  \psline[linewidth=2.2pt](2.6,.6)(2.6,-6.9)
  \psline[linewidth=2pt](5.4,.6)(5.4,-6.9)
  \psline[linewidth=2pt](-.2,-1.9)(8.2,-1.9)
  \psline[linewidth=2pt](-.2,-4.4)(8.2,-4.4)
    & 4 &   & 5 &   &   &   &   &   \\\hline
    &   & 3 & 4 &   & 7 &   &   & 2 \\\hline
    &   & 2 &   & 6 & 8 & 1 & 7 &   \\\hline
    & 2 & 9 &   &   &   &   & 6 & 5 \\\hline
    &   & 8 &   &   &   & 4 &   &   \\\hline
  1 & 6 &   &   &   &   & 7 & 2 &   \\\hline
    & 9 & 4 & 7 & 8 &   & 6 &   &   \\\hline
  8 &   &   & 6 &   & 5 & 2 &   &   \\\hline
    &   &   &   &   & 2 &   & 8 &   \\\hline
\end{tabular}
\qquad
\begin{tabular}{|*9{p{.5cm}|}}\hline
  \psline[linewidth=2.2pt](2.6,.6)(2.6,-6.9)
  \psline[linewidth=2pt](5.4,.6)(5.4,-6.9)
  \psline[linewidth=2pt](-.2,-1.9)(8.2,-1.9)
  \psline[linewidth=2pt](-.2,-4.4)(8.2,-4.4)
  5 & 6 &   & 7 &   &   & 9 &   &   \\\hline
    &   & 4 & 8 &   &   &   & 5 &   \\\hline
    & 1 & 2 &   & 6 &   &   &   & 8 \\\hline
  4 & 5 &   & 9 &   & 8 & 3 &   &   \\\hline
    &   & 1  & 3 &   &   & 5 &   &   \\\hline
    &   &   & 6 &   & 1 &   & 9 & 4 \\\hline
  8 &   &   &   & 7 &   & 2 & 3 &   \\\hline
    & 7 &   &   &   & 5 & 6 &   &   \\\hline
    &   & 5 &   &   & 3 &   &   & 1 \\\hline
\end{tabular}
\]
\enex

\clearpage
\paragraph{Image numérique.} On peut représenter numériquement une
image en découpant celle-ci suivant une grille comportant un certain
nombre de lignes et de colonnes. 

En associant chaque couleur à un nombre, puis un nombre à chaque
"case" de cette grille, usuellement appelée pixel (pour {\it picture element}), on reconstitue ainsi l'image. \\
La dimension du pixel et le nombre utilisé (donc le nombre de lignes
et de colonnes) donne la qualité de définition de l'image. 
Par exemple, les appareils photo numériques actuels sont équipés de
capteur de quelques mégapixels (c'est-à-dire millions de pixels, quelques milliers de lignes et quelques milliers de colonnes). 


%\vspt
%\ct{
%\includegraphics[width=5cm,bb= 20 20 300 500]{./Image-resolution.eps}
%\epsx=13cm\epsy=4cm
%\epsfbox{./Image-resolution.eps}
%}
\[\begin{pspicture}(0,0)(12.1,5)
\rput[l](0,2.5){\includegraphics[width=121mm,height=50mm]{./Image-resolution.eps}}
\end{pspicture}\]


\bgex \textbf{Un système d'équations}\\
Résoudre les systèmes\vspace*{-2.6em}
\[\hspace*{1cm}\la\bgar{rcrcl}
3x&+&2y&=&7\\
-x&+&y&=&1
\enar\right.
\qquad
\la\bgar{rcrcrcr}
3x&-&2y&+&z&=&-6\\
&&2y&-&3z&=&16\\
-3x&+&3y&+&2z&=&5
\enar\right.
\]

\enex



\section{Définitions}
\vspace{-1.5em}

\bgdef{Une matrice de dimension $n\tm p$ est un tableau de réels à $n$
  lignes et $p$ colonnes. 

  \medskip
  De fa\c con générale, on note $a_{i,j}$
  le terme de la ligne $i$ et de la colonne $j$. 
  On note ainsi, $A=(a_{i,j})$ ou en détaillant 
  \[A=\lp\bgar{cccccc} 
  a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,j} & \cdots & a_{1,p} \\
  a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,j} & \cdots & a_{2,p} \\
  \vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots  &        & \vdots\\
  a_{i,1} & a_{i,2} & \cdots & a_{i,j} & \cdots & a_{i,p} \\
  \vdots  & \vdots  &        & \vdots  & \ddots & \vdots\\
  a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,j} & \cdots & a_{n,p} \\
  \enar\rp\]

}

\vspd 

\noindent\ul{Exemple:} $M=\lp\bgar{ccc} 2&3&-5\\-1&0&6\enar\rp$ est une matrice
de dimension\ \  $2\tm3$. 

\vspt\vsp
Soit $A(1,1,1)$ et $B(1,2,3)$ deux points de l'espace; 
$A$ et $B$ peuvent être considérés comme des matrices de dimension 
$1\tm3$, et le vecteur $\V{AB}\lp\bgar{c} 0\\ 1\\2\enar\rp$
comme une matrice de dimension $2\tm1$.

\vspd

\noindent
\ul{\textbf{Matrices particulières:}} Soit $M$ une matrice de dimension $n\tm p$:
\vspd
\bgen[$\bullet$]
\item Si $n=p$, alors $M$ est une \ul{matrice carrée
       d'ordre n};
  \vsp
\item Si $n=1$, $M$ est un vecteur ligne de dimension $p$;
  (par exemple, les points $A$ et $B$ précédents)
  \vsp
\item Si $p=1$, $M$ est un vecteur colonne de
  dimension $n$. 
  (par exemple le vecteur $\V{AB}$ précédent). 
\item Une matrice diagonale d'ordre $n$ est une matrice carrée dont tous les coefficients hors de la diagonale sont nuls. 
\enen



\bgex \'Ecrire explicitement les matrices: 
\bgen[a)]
\item $A$ la matrice de dimension $3\tm4$ définie par 
$A_{i,j}=i+j$.
\item $B$ la matrice de dimension $5\tm3$ définie par 
  $b_{i,j}=0$ si $i\geqslant j$
  et $b_{i,j}=ij$ si $i<j$
\item $C$ la matrice de dimension $5\tm3$ définie par 
  $c_{i,i}=0$ 
  et $c_{i,j}=\max(i,j)$ si $i\not=j$
\enen
\enex


\bgdef{\textbf{Matrices égales}\\
  Deux matrices $A$ et $B$ sont égales si et seulement si elles ont m\^eme dimension $n\tm p$ et que, pour tous $1\leqslant i\leqslant n$ et $1\leqslant j\leqslant p$, on a $a_{i,j}=b_{i,j}$. 
  }

\bigskip
\ul{Exemple:} 
$\lp\bgar{ccc} a&b&c\\d&e&f\enar\rp
=\lp\bgar{ccc} 2&3&-5\\-1&0&6\enar\rp$
est équivalent à $a=2$, $b=3$, $c=-5$, \dots

\bgdef{\textbf{Matrice transposée}\\
  Soit $A$ une matrice de dimension $n\tm p$. On appelle transposée
  de la matrice $A$, notée $^t\!A$, la matrice de dimension $p\tm n$
  dont les lignes sont les colonnes de $A$. 
}

\ul{Exemple:} $M=\lp\bgar{ccc} 2&3&-5\\-1&0&6\enar\rp$, alors \ \ 
$^t\!M=\lp\bgar{cc} 2 &-1 \\ 3&0 \\ -5& 6\enar\rp$.

\bgex 
\'Ecrire les matrices transposées de
$M=\lp\bgar{cc} 4 & -2 \\ 3 & 5 \enar\rp$, \quad 
$N=\lp\bgar{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \enar\rp$, \\[-1em]
$P=\lp\bgar{cc}1 & -2\\ 3 & -4\enar\rp$, \quad 
$Q=\lp\!\!\bgar{c}-3\\ 2\\ 1 \enar\!\!\rp$, \quad 
et $R=\lp\bgar{cccc}1 & -2& 3 & -4\enar\rp$ 

\enex

\section{Opérations sur les matrices}
\vspace{-1.2em}

\bgdef{
  Soit $A$ et $B$ deux matrices de même dimension $n\tm p$. 
  La somme $A+B$ est la matrice obtenue en additionnant deux à deux
  les termes qui ont la même position dans $A$ et $B$. 
  
  Si $A=(a_{i,j})$ et $B=(b_{i,j})$, alors $A+B=(a_{i,j}+b_{i,j})$.

  \medskip
  Pour un nombre réel $k$, la matrice $C=kA$ est la matrice $C=(c_{i,j})$ avec 
  $c_{i,j}=ka_{i,j}$, obtenue en multipliant chaque terme de $A$ par $k$. 
}

\bigskip
\noindent\ul{Exemple:} 
$A=\lp\bgar{ccc} 2&3&-5\\-1&0&6\enar\rp$ 
et 
$B=\lp\bgar{ccc} 1&-4&7\\0&3&-2\enar\rp$
alors, 
$A+B=\lp\bgar{ccc} 2+1&3-4&-5+7\\-1+0&0+3&6-2\enar\rp$

\bigskip
\bgex a) Calculer $A+B$ avec $A=\lp\bgar{cc} 6&-1\\-1&0\\-4&5\enar\rp$ 
et 
$B=\lp\bgar{cc} 1&-3\\0&3\\2&10\enar\rp$

\medskip
b) Calculer $C=2A-B$ avec
$A=\lp\bgar{ccc} 1&-1&3\\-1&0&3\\-4&5&1\enar\rp$ 
et 
$B=\lp\bgar{ccc} 2&-1&4\\-1&3&2\\2&5&6\enar\rp$
\enex

\bgex \!\!Soit $A\!=\!\lp\bgar{cc} 2&-3\\-1&10\enar\rp$, et  
$B\!=\!\lp\bgar{cc} 6&-5\\7&-12\enar\rp$. 
Déterminer la matrice $C$ telle que $A+2C=3B$.
\enex

\bgex Soit les vecteurs de l'espace 
$\vec{u}=\lp\bgar{c} 1\\0\\-3\enar\rp$ et
$\vec{v}=\lp\bgar{c} 7\\-2\\1\enar\rp$. \\
Déterminer les coordonnées du vecteur $\vec{w}=2\vec{v}-3\vec{u}$.
\enex

\section{Produit de matrices}
\vspace{-1.5em}


\bgdef{
  Soit $A$ une matrice de dimension $n\tm p$ et $B$ une matrice de dimension $m\tm q$.

  Le produit des matrices $A$ et $B$ est défini lorsque $p=m$ et alors 
  $C=AB$ est la matrice de dimension $n\tm q$, définie par
  \[c_{i,j}=\sum_{k=1}^p a_{i,k}b_{k,j}\]
}

\noindent\ul{Exemples:} 
\bgen[$\bullet$]
\item Le produit de la matrice $A$ de dimension $3\tm7$ et de la matrice $B$ de dimension $7\tm5$ existe et $C=AB$ est de dimension $3\tm5$.

\medskip
\item Le produit des matrices $A$ de dimension $3\tm5$ et $B$ de dimension $7\tm5$ n'existe pas.

\medskip
\item Soit $A=\lp\bgar{cc} 2&3 \\-5&-1\\0&6\enar\rp$, de dimension $3\tm2$, 
et $B=\lp\bgar{cc} 2&5\\-4&1\enar\rp$, de dimension $2\tm2$,  

alors la matrice produit $C=AB$ est de dimension $3\tm2$ avec 
\[\bgar{ll}
C&=\lp\bgar{cc} 2&3 \\-5&-1\\0&6\enar\rp \lp\bgar{cc} 2&5\\-4&1\enar\rp
\\
\pspolygon[linecolor=blue](1.6,-.2)(3.5,-.2)(3.5,.4)(1.6,.4)
\pspolygon[linecolor=blue](6,1)(6.8,1)(6.8,2.2)(6,2.2)
\pspolygon[linecolor=red](4.6,-.2)(8.4,-.2)(8.4,.4)(4.6,.4)
&=\bgar[b]{clc}
&\lp\bgar{cc} \hspace{1.5cm}2&\hspace*{2.5cm}5\hspace*{1.3cm}\\\hspace{1.5cm}-4&\hspace*{2.5cm}1\hspace*{1.3cm}\enar\rp\vspd \\
\lp\bgar{cc} 2&3 \\-5&-1\\0&6\enar\rp &
\lp\bgar{cc} 2\tm2+3\tm(-4) & 2\tm5+3\tm1 \\
-5\!\tm\!2+\!(-1)\!\tm\!(-4) & -5\tm5-1\tm1 \\
0\tm2+6\tm(-4) & 0\tm5+6\tm1 
\enar\rp
&=\lp\bgar{cc}-8&13\\-6&-26\\-24&6\enar\rp
\enar\enar
\]
\enen

\bgex
Soit $A=\lp\bgar{ccc} 5&3&-1\\4&2&3 \enar\rp$ et 
$B=\lp\bgar{ccc} -2&0&4\\1&2&3\\4&5&6 \enar\rp$. 

\vspd
Quelle est la dimension de la matrice produit $AB$ ? 
Calculer la matrice produit $C=AB$. 
\enex

\bgex
Soit $A=\lp\bgar{cc} 1&2\\1&2\enar\rp$ et 
$B=\lp\bgar{cc} -2&0\\1&-1\enar\rp$. 

\vspd
Quelles sont les dimensions des matrices produits $AB$ et $BA$ ? 
Calculer ces deux matrices produits. 
\enex

\bgex Soit 
$A=\lp\bgar{cc} 2&3\\1&0 \enar\rp$ et 
$B=\lp\bgar{cc} 1&1\\-3&2 \enar\rp$. 

Déterminer les dimensions des matrices produits $AB$ et $BA$, puis les calculer.  
\enex

\bgex Soit 
$A=\lp\bgar{cc} 2&-6\\3&-9 \enar\rp$ et 
$B=\lp\bgar{cc} 9&-3\\3&-1 \enar\rp$. 
Calculer les produits $AB$ et $BA$. 
\enex

\bigskip
\noindent\ul{Remarque:} On peut donc avoir pour deux matrices $A$ et $B$, 
un produit nul: $AB=0$,\\
\hspace*{5.6em}MAIS ni $A=0$, ni $B=0$. \\
\hspace*{5.6em}Pas d'équation produit nul avec les matrices !

\bgdef{Pour une matrice carrée $A$ d'ordre $n$, on note, pour un entier non nul $k$, 
  \[A^k=\underbrace{AA\dots A}_{k \text{matrices}}\]
}

\bgex
Soit $A=\lp\bgar{cc} 2&-3\\4&-5 \enar\rp$. 
Déterminer les dimensions des matrices $A^2$ et $A^3$, puis les calculer. 
\enex


\bgprop{Soit $A$, $B$ et $C$ trois matrices et $k\in\R$, alors, lorsque les produits existent, on a les propriétés 
  \bgen[$\bullet$]
  \item associativité: $(AB)C=A(BC)=ABC$
  \item distributivité: $A(B+C)=AB+AC$
  \item $(kA)B=A(kB)=k(AB)=kAB$
  \enen
}

MAIS, comme on l'a déjà vu, le produit n'est pas commutatif: en général $AB\not=BA$.

En particulier, $(A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+AB+BA+B^2\not=A^2+2AB+B^2$

Les identités remarquables (et d'autres formules) ne restent vraies pour les matrices que lorsque celles-ci commutent. 

\medskip
\bgex
On considère les matrices $A=\lp\bgar{ccc}1&0&0\\0&1&1\\3&1&1\enar\rp$, 
$B=\lp\bgar{ccc}1&1&1\\0&1&0\\1&0&0\enar\rp$ 
et 
$C=\lp\bgar{ccc}1&1&1\\1&2&1\\0&-1&-1\enar\rp$. \\
Calculer $AB$ et $AC$. En déduire une matrice $M$ telle que $AM=0_3$, 
où la matrice $0_3$ est la matrice nulle, ne contenant que des 0. 
\enex

\bgex Soit $a$ un réel, 
$A=\lp\bgar{cc} a&a\\a&a \enar\rp$, et 
$N=\lp\bgar{cc} 1&1\\1&1 \enar\rp$.
\vspace{-.5em}
\bgen[a)]
\item Calculer $NA$. 
\item En déduire que $N^2=2N$, puis exprimer $N^3$, $N^4$ et $N^5$ en fonction de $N$. 
\item Quelle conjecture peut-on alors faire au sujet de $N^p$, pour tout entier $p$ ? Démontrer cette conjecture. 
\enen
\enex

\bgex
Soit $M=\lp\bgar{cc} -1&1\\-5&5 \enar\rp$.\\
Montrer que $M^2=4M$. En déduire $M^3$ puis $M^4$, puis $M^n$ pour tout entier $n\geqslant1$. 
\enex

\section{Inverse d'une matrice}
\vspace{-1.2em}

\bgdef{\textbf{Matrice unité}\\
  On note $I_n$ la matrice carrée d'ordre $n$ qui comporte des 1 sur
  sa diagonale, et des zéros ailleurs. 
}


\medskip
\noindent\ul{Exemples:} $I_2=\lp\bgar{cc}1&0\\0&1\enar\rp$
\hspace{0.5cm}
$I_3=\lp\bgar{ccc} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\enar\rp$
\hspace{0.5cm}
$I_3=\lp\bgar{cccc} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\enar\rp$

\bgex
Soit $A=\lp\bgar{cc} 2&5\\-4&1\enar\rp$. Calculer les produits
$A\,I_2$ et $I_2\,A$.
\enex


\bgprop{
  Pour toute matrice $A$ tel que le produit existe, on a 
  $AI_n=I_nA=A$. 

  \medskip
  On pose aussi par convention $A^0=I_n$. 
}

\bgex
On considère les matrices 
$U=\dfrac13\lp\bgar{ccc}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\enar\rp$ et $V=I_3-U$.

\medskip
Calculer les matrices suivantes:
a) $U^2$ \qquad b) $V^2$ \qquad c) $UV$ \qquad d) $VU$
\enex


\bgdef{\textbf{Inverse d'une matrice}\\
  Une matrice carrée d'ordre $n$ est dite \textbf{inversible} lorsqu'il existe une matrice $B$ telle que:
  \[AB=BA=I_n\]
  Dans ce cas, cette matrice $B$ est unique et s'appelle matrice inverse de $A$, notée $B=A^{-1}$. 
}

\bigskip
\noindent\ul{Exemple:}
Soit $A=\lp\bgar{cc}1&2\\3&4\enar\rp$. 
Alors $A$ est inversible, avec $A^{-1}=\lp\bgar{cc}-2&1\\ 1,5&-0,5\enar\rp$. 

En effet, $AA^{-1}=\dots = I_2$, de m\^eme que $A^{-1}A=\dots=I_2$

\bgex Soit $A=\lp\bgar{cc} 2 & 5\\ 3& 8\enar\rp$. 
Vérifier que $B=\lp\bgar{cc}8&-5\\-3&2\enar\rp$ est l'inverse de la matrice $A$. 
\enex


\bgex
Soit $A=\lp\bgar{ccc}1&2&3\\0&1&-1\\0&0&1\enar\rp$  et $B=\lp\bgar{ccc}1&-2&-5\\0&1&1\\0&0&1\enar\rp$. 

\bgen[a)]
\item Montrer que $B$ est l'inverse de $A$. 
\item En déduire les solutions de l'équation $XA=\lp\bgar{ccc}1&1&2\\-2&1&3\enar\rp$
\enen
\enex

\bgex
On considère la matrice $A=\lp\bgar{cc}4&1\\3&2\enar\rp$.

Calculer $6A-A^2$. En déduire que la matrice $A$ est inversible et donner sa matrice inverse. 
\enex


\bgex
On considère la matrice $A=\lp\bgar{ccc}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\enar\rp$.\\
Vérifier que $A^2=2I_3-A$, et en déduire que la matrice $A$ est inversible et donner sa matrice inverse. 
\enex

\bgex
Soit $A=\lp\begin{array}{ccc}0&1&-1\\-1&2&-1\\1&-1&2\enar\rp$.
Calculer $A^2-3A$.\\
En déduire que $A$ est inversible, et calculer $A^{-1}$.
\enex

\bgex
\bgen[a)]
\item Résoudre le système d'équations:
  $\la\bgar{rcrcl}2x&+&y&=&7\\-x&+&y&=&1\enar\right.$

\item \'Ecrire ce système sous la forme matricielle 
  $AX=B$ avec $X=\lp\bgar{c}x\\y\enar\rp$ et $A$ et $B$ deux matrices à préciser. 
  
\item Pour $a$ et $b$ deux nombres quelconques, résoudre le système d'équations:
  $\la\bgar{rcrcl}2x&+&y&=&a\\-x&+&y&=&b\enar\right.$.\\
  Exprimer les solutions $x$ et $y$ en fonction de $a$ et $b$.

  On écrira finalement la solution $X=\lp\bgar{c}x\\y\enar\rp$ sous la forme matricielle $X=A'B$ avec $B=\lp\bgar{c}a\\b\enar\rp$, en précisant le matrice $A'$.

  Quel lien y-a-t-il entre les matrices $A$ et $A'$ ?
\enen
\enex

\bgdef{\textbf{Déterminant d'une matrice d'ordre 2}\\
  Pour une matrice carrée $A$ d'ordre 2,
  $A=\lp\bgar{cc}a&b\\c&d\enar\rp$,
  on appelle déterminant de $A$ le nombre $\det(A)=ad-bc$.
}

\bgprop{\textbf{Inverse d'une matrice d'ordre 2}\\
  La matrice $A=\lp\bgar{cc}a&b\\c&d\enar\rp$ est inversible si et seulement si 
  $\det(A)\not=0$, et alros dans ce cas 
  \[A^{-1}=\dfrac1{\det(A)}\lp\bgar{cc}d&-b\\-c&a\enar\rp\]
}

\bgproof{
  Pour $\det(A)\not=0$, il suffit de calculer $AA^{-1}$ et $A^{-1}A$ avec la formule précédente. 
  On obtient $A^{-1}A=A^{-1}A=I_2$, ce qui montre que $A$ est bien inversible et que son inverse est bien donnée par cette formule.

  \medskip
  Il reste à démontrer que si $\det(A)=0$, la matrice n'est pas inversible. 
  On peut le démontrer en passant par la résolution d'un système de 2 équations à 2 inconnues, système qui n'a alors pas de solution, comme on va le voir après.   
}

\bgex
Soit $A=\lp\bgar{cc}-1&0\\2&3\enar\rp$, $B=\lp\bgar{cc}4&5\\2&3\enar\rp$, 
$C=\lp\bgar{cc}2&-6\\3&-9\enar\rp$ et $D=\lp\bgar{cc}-0,5&4\\0,25&2\enar\rp$. \\
Déterminer si ces matrices sont inversibles, et calculer le cas échéant leur inverse. 
\enex



\bgex
Soit $A=\lp\bgar{cc}5&2\\-3&-1\enar\rp$ et $B=\lp\bgar{cc}4&3\\2&1\enar\rp$.\\
Montrer que $A$ est inversible et calculer son inverse.\\
Déterminer alors une matrice $M$ telle que $AM=B$. 
\enex



\bgex
Soit le système $\la\bgar{rcrcl}x&+&2y&=&7\\x&-&3y&=&-13\enar\right.$

\bgen[a)]
\item Résoudre ce système. 
\item \'Ecrire ce système sous forme matricielle, puis le résoudre en calculant une matrice inverse.
\enen
\enex


\section{Systèmes d'équations et matrices}


\bgex Soit $A=\lp\bgar{cc} 2 & 3 \\ -1 & 4 \enar\rp$,
$B\lp\bgar{c}8\\7\enar\rp$, et $X=\lp\bgar{c} x \\ y \enar\rp$.\\[.3em]
Détailler le produit $AX$ et l'équation matricielle $AX=B$. 
Resoudre ce système.
\enex

\bgprop{
  Soit $A$ une matrice carrée inversible, alors le système $AX=B$
  admet une solution unique donnée par : $X=A^{-1}\,B$.
}

\bgex
Ecrire sous forme matricielle les systèmes, et les résoudre: 
\[ 
\la\bgar{rcrcr}3x &+& 2y &=&9\\-x &+ &3y &= &8\enar\right.\hspace{1cm}
\la\bgar{rcrcr}4x &- &3y &= &6\\-2x &+&9y &= &12\enar\right.\hspace{1cm}
\la\bgar{rcrcr}5x &+& 2y &=&-4\\-2x &+&3y &= &13\enar\right.
\]
\[
\la\bgar{ccccccr} 
2x &+ &3y &+ &z  &= &9\\ 
x  &- &2y &+ &4z &= &-6\\
   &  &x  &- & 2z &= &6
\enar\right.
\hspace{.6cm}
\la\bgar{rcrcrcr}
3x &+& 2y &+& z   &=& 10\\
-x &+& 5y &+& 3z  &=& 18\\
x  &-&  y &-&  z  &=& -4
\enar\right.
\hspace{.6cm}
\la\bgar{rcrcrcr}
2x &+& y &-& 2z   &=& 1\\
2x &-& 3y &+& z  &=& -1\\
-x &+&  y &-&  z  &=& -5
\enar\right.
\]
\enex






\clearpage
\section{Exercices}

\bgex
On considère la matrice $A=\lp\bgar{ccc}0&1&-1\\-3&4&-3\\-1&1&0\enar\rp$. 

Déterminer des réels $a$ et $b$ tels que $A^2=aA+bI_3$.

En déduire que $A$ est inversible et donner son inverse. 
\enex


\bgex
On considère les matrices $A=\lp\bgar{cc}4&-6\\1&-1\enar\rp$ et 
$P=\lp\bgar{cc}3&2\\1&1\enar\rp$
\bgen
\item Montrer que $P$ est inversible et donner son inverse.
\item Montrer que la matrice $P^{-1}AP$ est une matrice diagonale que l'on notera $D$.
\item Calculer la matrice $D^n$ pour tout entier naturel non nul $n$.
\item Déduire des questions précédentes une expression de $A^n$ en fonction de $n$. 

\item On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ telles que $u_0=1$ et $v_0=2$ et,
  pour $n\in\N$, 
  $\la\bgar{rcrcr}u_{n+1}&=&4u_n&-&6v_n\\v_{n+1}&=&u_n&+&v_n\enar\right.$
  \bgen[a)]
  \item On pose $X_n=\lp\bgar{c}u_n\\v_n\enar\rp$. 
    Exprimer sous forme matricelle $X_{n+1}$ en fonction de $X_n$. 

  \item Quelle est la nature de la suite $(X_n)$ ? en déduire une expression de $X_n$ en fonction de $n$.     
  \enen
\enen
\enex

\bgex \textbf{Des complexes sous forme matricielle}\\
\bgen
\item On considère la matrice $i=\lp\bgar{cc}0&-1\\1&0\enar\rp$.
  Calculer $i^2$ et $i^{-1}$. 

\item On note $\C$ l'ensemble des matrice de la forme $\lp\bgar{cc}a&-b\\b&a\enar\rp$, où $a$ et $b$ sont des réels.

  Vérifier que $i$ et $I_2$ appartiennent à $\C$, et que toute matrice de $\C$ peut s'écrire sous la forme $aI_2+bi$, avec $a$ et $b$ réels. 

\item Montrer que toute matrice non nulle de $\C$ est inversible et déterminer son inverse.  
\enen
\enex


\bgex \textbf{Diagonalisation d'une matrice}\\
On considère la matrice $A=\lp\bgar{cc}1&2\\-1&4\enar\rp$.
\bgen
\item Pour tout réel $x$, on pose $P(x)=\det(A-xI_2)$.\\
  Calculer $P(x)$ et déterminer ses racines $x_1$ et $x_2$. 

  Que peut-on dire des matrices $A-x_1I_2$ et $A-x_2I_2$ ?

\item Déterminer un vecteur $X_1$ solution de $(A-x_1I_2)X=0$
  et un vceteur $X_2$ solution de $(A-x_2I_2)X=0$. 
  
\item On forme alors la matrice $P$ dont la première colonne est $X_1$ et la deucième colonne est $X_2$.

  \bgen[a)]
  \item Montrer que la matrice $P$ est inversible et donner son inverse. 
  \item Calculer la matrice $D=P^{-1}AP$.
  \enen

\item Calculer la matrice $D^n$ pour tout entier $n$, et en déduire une expression de $A^n$. 
  
\enen
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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