Source Latex
de la correction du devoir
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{calc}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Corrigé du devoir de mathématiques: suite et notion de limite},
pdftitle={Suites et récurrence},
pdfkeywords={Mathématiques, suites, récurrence}
}
\hypersetup{
colorlinks = true,
linkcolor = red,
anchorcolor = red,
citecolor = blue,
filecolor = red,
urlcolor = red
}
\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\headheight=0cm
\textheight=26.cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=1.cm
\textwidth=19.4cm
\oddsidemargin=-1.7cm
\parindent=0.2cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Corrigé du devoir maison: Suites et limites}
\author{Y. Morel}
\date{}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage{lastpage}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - spé maths en terminale générale}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
%\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE\textbf{\TITLE}}
\hfill
\bgmp{2.5cm}
\scriptsize Terminale générale\\
Spécialité maths
\enmp\quad\fbox{A}
\medskip
\bgex
$f'(x) = 15x^4 - 2 - \dfrac6{x^2}$ et
$g'(x) = \dfrac{20x}{\lp x^2+1\rp^2}$.
\enex
\bgex
\bgit
\item $f(x)=\dfrac{x+1}{x+3}$ donc $f=\dfrac{u}v$
et alors, après calculs,
$f'(x)=\dfrac{2}{(x+3)^2}$
Comme $(2x+1)^2\geqslant0$ pour tout réel $x$, on trouve donc
que $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;-1[$ et sur $]-1;+\infty[$.
\item $f(x)=(1+x)e^{x}$ de la forme $f=uv$, et alors, après calculs,
$f'(x)=(2+x)e^x$.
On trouve alors
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-2$ && $+\infty$ \\\hline
$2+x$ && $-$ &\zb&$+$ &\\\hline
$e^x$ && $+$ &$|$&$+$ &\\\hline
$f'(x)$ && $-$ &\zb&$+$ &\\\hline
&&&&&\\
$f$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
&&&$-e^{-2}$&&\\\hline
\end{tabular}\]
\enit
\enex
\bgex
Soit $\mathcal{P}(n): u_n=2^n+3n$.
\ul{Initialisation:} Pour $n=0$, on a $u_0=1$ et aussi
$2^0+3\tm0=1$, d'où $u_0=2^0+3\tm0$ et $\mathcal{P}(0)$ est vraie.
\medskip
\ul{Hérédité:} supposons que pour un entier $n$, $\mathcal{P}(n)$ est vraie,
c'est-à-dire $u_n=2^n+3n$.
Comme par définition $u_{n+1}=2u_n-3n+3$,
on a donc $u_{n+1}=2\lp 2^n+3n\rp-3n+3$\\
soit $u_{n+1}=2^{n+1}+3n+3=2^{n+1}+3(n+1)$,
ce qui montre que $\mathcal{P}(n+1)$ est encore vraie.
\medskip
\ul{Conclusion:} On vient donc de montrer, d'après le principe de récurrence,
que la propriété $\mathcal{P}(n): u_n=2^n+3n$ est vraie pour tout entier $n$.
\enex
\bgex
$u_0=\dfrac12$ et par la relation de récurrence, pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+1}=\dfrac23u_n+1$.
On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-3$.
\bgen[a)]
\item On a
\[\bgar{ll}v_{n+1}&=u_{n+1}-3\\
&=\dfrac23u_n+1-3=\dfrac23u_n-2\\[.7em]
&=\dfrac23\lp u_n-3\rp=\dfrac23 v_n
\enar\]
ce qui montre que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison
$q=\dfrac23$.
Son premier terme est $v_0=u_0-3=\dfrac12-3=-\dfrac52$
\item On en déduit que $v_n=v_0q^n=-\dfrac52\lp\dfrac23\rp^n$,
puis que $u_n=v_n+3=-\dfrac52\lp\dfrac23\rp^n+3$.
\enen
\enex
\clearpage
\bgex
\[\psset{xunit=1.8cm,yunit=1.6cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(8,6.3)
\psline[arrowsize=8pt]{->}(-0.5,0)(7.5,0)
\psline[arrowsize=8pt]{->}(0,-0.5)(0,6.5)
\multido{\i=0+1}{8}{
\psline(\i,-0.1)(\i,0.1)
\rput(\i,-0.3){$\i$}
}
\multido{\i=0+1}{7}{
\psline(-0.1,\i)(0.1,\i)
\rput(-0.3,\i){$\i$}
}
%\newcommand{\f}[1]{6 5 #1 1 add div sub}
\newcommand{\f}[1]{#1 1 sub ln 4 add}
\psplot[linewidth=1.4pt,plotpoints=200]{1.01}{7}{\f{x}}
\psplot{0}{6.5}{x}
%\psline[linestyle=dashed](5.19,0)(5.19,5.19)(0,5.19)
%\rput(5.35,-0.15){$\alpha$}\rput(-0.2,5.25){$\alpha$}
%% Points A_i
\newcommand\fn[2]{%
%\ifnum#1<0 \ERROR\fi
%\ifnum#1=0 #2 \fi
\ifnum#1=1
\f{#2}%
\else
\f{\fn{\numexpr#1-1}{#2}}%
\fi
}
\def\xinit{3}
% \psline[linestyle=dashed]
% (\xinit,0)
% (!\xinit\space\fn{1}{\xinit})
% (!\fn{1}{\xinit}\space\fn{1}{\xinit})
% (!\fn{1}{\xinit}\space \fn{2}{\xinit})
% (!\fn{2}{\xinit}\space \fn{2}{\xinit})
% (!\fn{2}{\xinit}\space \fn{3}{\xinit})
% (!\fn{3}{\xinit}\space \fn{3}{\xinit})
\psline[linestyle=dashed]
(\xinit,0)
(!\xinit\space\f{\xinit})
(!\f{\xinit}\space\f{\xinit})
\rput(\xinit,-0.3){$A_0$}
\multido{\i=1+1}{3}{
\psline[linestyle=dashed]
(!\fn{\i}{\xinit} \space 0)
(!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\i}{\xinit})
(!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit})
(!\fn{\numexpr\i+1}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit})
\rput(!\fn{\i}{\xinit}\space 0){$\tm$}
\rput(!\fn{\i}{\xinit}\space -0.3){$A_\i$}
}
\end{pspicture}\]
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
Télécharger le fichier source 
