Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques, Suite récurrente

Terminale générale, spécialité mathématiques

Suite récurrente

Devoir corrigé de mathématiques, spécialité mathématiques en terminale générale: suites, récurrence, calcul de fonctions dérivées et sens de variation
Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir corrigé de mathématiques, spécialité mathématiques en terminale générale: suites, récurrence, calcul de fonctions dérivées et sens de variation
Niveau
Terminale générale, spécialité mathématiques
Table des matières
  • Calculs de dérivées
  • Étude du sens de variation de fonctions
  • Démonstration par récurrence
  • Étude d'une suite récurrente avec une suite auxiliaire
Mots clé
limite, suite, récurrence, suite récurrente, dérivée, variation, spécialité mathématiques, terminale générale

Sujet du devoir

Quelques autres devoirs

    Devoir corrigé
    Suites et fonctions - Sujet A
    sur les fonctions: calcus de dérivées et sens de variation, et les suites: démonstration par récurrence, construction géométrique des premiers termes d'une suite récurrente, suite auxiliaire géométrique

    Devoir corrigé
    Suites et fonctions - Sujet B
    sur les fonctions: calcus de dérivées et sens de variation, et les suites: démonstration par récurrence, construction géométrique des premiers termes d'une suite récurrente, suite auxiliaire géométrique

    Devoir corrigé
    Suites et fonctions - Sujet A
    sur les fonctions: calcus de dérivées et sens de variation, et les suites: démonstration par récurrence, construction géométrique des premiers termes d'une suite récurrente, convergence monotone et point fixe

    Devoir corrigé
    Suites et fonctions - Sujet B
    sur les fonctions: calcus de dérivées et sens de variation, et les suites: démonstration par récurrence, construction géométrique des premiers termes d'une suite récurrente, convergence monotone et point fixe

    Devoir corrigé
    Suites et fonctions
    maison sur les fonctions: calcus de dérivées et sens de variation, et les suites: démonstration par récurrence, suite auxiliaire arithmétique, convergence monotone et point fixe



Quelques exercices corrigés

Exercices corrigés
Limites de 2 suites


Exercices corrigés
Limites de 4 suites


Exercices corrigés
Une petite récurrence


Exercices corrigés
Une petite récurrence


Exercices corrigés
Suite auxiliaire géométrique


Voir aussi:

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Corrigé du devoir de mathématiques: suite et notion de limite},
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    pdfkeywords={Mathématiques, suites, récurrence}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Corrigé du devoir maison: Suites et limites}
\author{Y. Morel}
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\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - spé maths en terminale générale}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
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%\vspace*{-0.5cm}


\hfill{\LARGE\textbf{\TITLE}}
\hfill
\bgmp{2.5cm}
\scriptsize Terminale générale\\
Spécialité maths
\enmp\quad\fbox{A}

\medskip


\bgex

$f'(x) = 15x^4 - 2 - \dfrac6{x^2}$ et 
$g'(x) = \dfrac{20x}{\lp x^2+1\rp^2}$. 
\enex

\bgex
\bgit
\item $f(x)=\dfrac{x+1}{x+3}$ donc $f=\dfrac{u}v$
  et alors, après calculs, 
  $f'(x)=\dfrac{2}{(x+3)^2}$

  Comme $(2x+1)^2\geqslant0$ pour tout réel $x$, on trouve donc
  que $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;-1[$ et sur $]-1;+\infty[$. 
  
\item $f(x)=(1+x)e^{x}$ de la forme $f=uv$, et alors, après calculs,
  $f'(x)=(2+x)e^x$.

  On trouve alors
  \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
  $x$ & $-\infty$ && $-2$ && $+\infty$ \\\hline
  $2+x$ && $-$ &\zb&$+$ &\\\hline
  $e^x$ && $+$ &$|$&$+$ &\\\hline
  $f'(x)$ && $-$ &\zb&$+$ &\\\hline
  &&&&&\\
  $f$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
  &&&$-e^{-2}$&&\\\hline
  \end{tabular}\]

\enit
\enex


\bgex
Soit $\mathcal{P}(n): u_n=2^n+3n$.

\ul{Initialisation:} Pour $n=0$, on a $u_0=1$ et aussi
$2^0+3\tm0=1$, d'où $u_0=2^0+3\tm0$ et $\mathcal{P}(0)$ est vraie. 

\medskip
\ul{Hérédité:} supposons que pour un entier $n$, $\mathcal{P}(n)$ est vraie,
c'est-à-dire $u_n=2^n+3n$.

Comme par définition $u_{n+1}=2u_n-3n+3$,
on a donc $u_{n+1}=2\lp 2^n+3n\rp-3n+3$\\
soit $u_{n+1}=2^{n+1}+3n+3=2^{n+1}+3(n+1)$,
ce qui montre que $\mathcal{P}(n+1)$ est encore vraie.

\medskip
\ul{Conclusion:} On vient donc de montrer, d'après le principe de récurrence,
que la propriété $\mathcal{P}(n): u_n=2^n+3n$ est vraie pour tout entier $n$. 
\enex


\bgex
$u_0=\dfrac12$ et par la relation de récurrence, pour tout entier naturel $n$, 
$u_{n+1}=\dfrac23u_n+1$. 
On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-3$. 
\bgen[a)]
\item On a
  \[\bgar{ll}v_{n+1}&=u_{n+1}-3\\
  &=\dfrac23u_n+1-3=\dfrac23u_n-2\\[.7em]
  &=\dfrac23\lp u_n-3\rp=\dfrac23 v_n
  \enar\]
  ce qui montre que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison
  $q=\dfrac23$.

  Son premier terme est $v_0=u_0-3=\dfrac12-3=-\dfrac52$
\item On en déduit que $v_n=v_0q^n=-\dfrac52\lp\dfrac23\rp^n$,
  puis que $u_n=v_n+3=-\dfrac52\lp\dfrac23\rp^n+3$.
\enen
\enex

\clearpage
\bgex
    \[\psset{xunit=1.8cm,yunit=1.6cm}
    \begin{pspicture}(-1,-0.5)(8,6.3)
      \psline[arrowsize=8pt]{->}(-0.5,0)(7.5,0)
      \psline[arrowsize=8pt]{->}(0,-0.5)(0,6.5)
      \multido{\i=0+1}{8}{
        \psline(\i,-0.1)(\i,0.1)
        \rput(\i,-0.3){$\i$}
      }
      \multido{\i=0+1}{7}{
        \psline(-0.1,\i)(0.1,\i)
        \rput(-0.3,\i){$\i$}
      }
      %\newcommand{\f}[1]{6 5 #1 1 add div sub}
      \newcommand{\f}[1]{#1 1 sub ln 4 add}
      \psplot[linewidth=1.4pt,plotpoints=200]{1.01}{7}{\f{x}}
      \psplot{0}{6.5}{x}
      %\psline[linestyle=dashed](5.19,0)(5.19,5.19)(0,5.19)
      %\rput(5.35,-0.15){$\alpha$}\rput(-0.2,5.25){$\alpha$}
      %% Points A_i

    \newcommand\fn[2]{%
      %\ifnum#1<0 \ERROR\fi
      %\ifnum#1=0 #2 \fi
      \ifnum#1=1
        \f{#2}%
      \else
        \f{\fn{\numexpr#1-1}{#2}}%
      \fi
    }

    \def\xinit{3}
%    \psline[linestyle=dashed]
%    (\xinit,0)
%    (!\xinit\space\fn{1}{\xinit})
%    (!\fn{1}{\xinit}\space\fn{1}{\xinit})
%    (!\fn{1}{\xinit}\space \fn{2}{\xinit})
%    (!\fn{2}{\xinit}\space \fn{2}{\xinit})
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%    (!\fn{3}{\xinit}\space \fn{3}{\xinit})

    \psline[linestyle=dashed]
    (\xinit,0)
    (!\xinit\space\f{\xinit})
    (!\f{\xinit}\space\f{\xinit})
    \rput(\xinit,-0.3){$A_0$}
    \multido{\i=1+1}{3}{
      \psline[linestyle=dashed]
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      \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space -0.3){$A_\i$}
    }
    \end{pspicture}\]

    \enex
    
    \label{LastPage}
\end{document}

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