Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques, Logarithme

Terminale générale, spécialité mathématiques

Logarithme

Devoir de mathématiques, spécialité mathématiques en terminale générale: logarithme, seuil pour une suite géométrique, convexité, TVI
Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir de mathématiques, spécialité mathématiques en terminale générale: logarithme, seuil pour une suite géométrique, convexité, TVI
Niveau
Terminale générale, spécialité mathématiques
Table des matières
  • Résolution d'équation avec logarithme
  • Suite géométique: limite et seuil
  • Étude fonction avec logarithme (Baccalauréat général, spécialité mathématiques, Centres étrangers 10 juin 2021)
Mots clé
logarithme, seuil, convexité, position relative, TVI
Voir aussi:

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Source Latex de la correction du devoir

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Correction du devoir de mathématiques terminale générale, spécialité mathématiques: logarithme népérien},
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
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\lfoot{Y. Morel \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - spé maths en terminale générale}}
\cfoot{}
\rfoot{Correction du devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\vspace*{-3em}

\ct{\bf\LARGE{Correction du devoir de math\'ematiques}}




\bigskip
\bgex
\[\bgar{ll}&\hspace{-1em}(E_1):2^{-2x+1}=3\\[.5em]
&\iff\ln\lp2^{-2x+1}\rp=\ln(3)\\[.5em]
&\iff(-2x+1)\ln(2)=\ln(3)\\[.5em]
&\iff(-2x+1)=\dfrac{\ln(3)}{\ln(2)}\\[.9em]
&\iff x=-\dfrac12\lp\dfrac{\ln(3)}{\ln(2)}-1\rp
\simeq-0,3
\enar\]
 
Pour la deuxième équation, il faut que $x>0$ et que 
$3x+2>0\iff x>-\dfrac23$ soit donc, au final, on doit avoir $x>0$. 

Pour $x>0$, on a 
\[\bgar{ll}
&\hspace{-1em}(E_2):\ln(x)+\ln(3x+2)=0\\
&\iff\ln\bigl(x(3+2)\bigr)=0\\
&\iff x(3x+2)=e^0=1\\
&\iff 3x^2+2x-1=0\enar\]
Cette équation du second degré a pour discriminant 
$\Delta=16>0$ et admet deux racines 
$x_1=-1$ et $x_2=\dfrac13$. 

La première racine n'est pas solution de l'équation $(E_1)$ 
qui a donc pour unique solution $x_2=\dfrac13$. 
\enex


\bigskip
\bgex
$(u_n)$ est une suite géométrique de raison $1,2$ et de premier terme $u_0=2$. 
\bgen[a)]
\item Comme la raison cette suite est $q=1,2>1$, on a 
  $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$. 
\item En utilisant la fonction logarithme, strictement croissante, 
  on a 
  \[\bgar{ll}u_n>100&\iff 2\tm1,2^n\geq100\\
  &\iff1,2^n\geq50\\
  &\iff\ln\lp1,2^n\rp\geq\ln(50)\\
  &\iff n\ln(1,2)\geq\ln(50)\enar\]
  puis en divisant par $\ln(1,2)>0$, 
  on obtient 
  \[u_n>100\iff n\geq\dfrac{\ln(50)}{\ln(1,2)}\simeq21,5\]
  et donc à partir du rang $n=22$. 

\enen
\enex

\bigskip
\bgex \textit{(Centres étrangers 10 juin 2021)}

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par 
$f(x)=\ln(x)+x\ln(0,95)$. 

\bgen[a)]
\item On a $f'(x)=\dfrac1x+\ln(0,95)=\dfrac{1+x\ln(0,95)}{x}$
  \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
  $x$ & $0$ && $-\dfrac1{\ln(0,95)}$ && $+\infty$ \\\hline
  $1+x\ln(0,95)$&& $+$ &0&$-$&\\\hline
  $x$&0&&$+$&&\\\hline
  $f'(x)$&& $+$ &0&$-$&\\\hline
  &&&&&\\
  $f$&&\LARGE{$\nearrow$}&&\LARGE{$\searrow$}&\\
  &&&&&\\\hline
  \end{tabular}\]


\item En 0, on a $\dsp\lim_{x\to0}\ln(x)=-\infty$ 
  et $\dsp\lim_{x\to0}x\ln(0,95)=0$  
  et donc $\dsp\lim_{x\to0}f(x)=-\infty$. 

  \medskip
  En $+\infty$, on a une forme indéterminée. On factorise donc: 
  \[f(x)=x\lp\dfrac{\ln(x)}{x}+\ln(0,95)\rp\]
  où, par croissances comparées, 
  $\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}x=0$ 
  et donc, comme $\ln(0,95)<0$, on obtient 
  \[\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\]
\item La fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur 
  $[20;+\infty[$, avec $f(20)\simeq2>0$ et 
  $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$ donc, 
  d'après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs 
  intermédiaires), il existe une unique solution $\alpha$ 
  à l'équation $f(x)=0$. 

  \medskip
  Avec la calculatrice, on trouve l'encadrement, à $0,1$ près, 
  $87<\alpha<87,1$
\item On a $f'(x)=\dfrac1x+\ln(0,95)$ 
et donc $f''(x)=-\dfrac1{x^2}<0$, d'où $f$ est concave sur 
$]0;+\infty[$. 
\enen
\enex


\label{LastPage}
\end{document}

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