Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Correction du devoir de mathématiques terminale générale, spécialité mathématiques: logarithme népérien},
pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques},
pdfkeywords={logarithme népérien, devoir corrigé, Mathématiques, terminale générale, spécialité mathématiques}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
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\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
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\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
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\lfoot{Y. Morel \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - spé maths en terminale générale}}
\cfoot{}
\rfoot{Correction du devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\vspace*{-3em}
\ct{\bf\LARGE{Correction du devoir de math\'ematiques}}
\bigskip
\bgex
\[\bgar{ll}&\hspace{-1em}(E_1):2^{-2x+1}=3\\[.5em]
&\iff\ln\lp2^{-2x+1}\rp=\ln(3)\\[.5em]
&\iff(-2x+1)\ln(2)=\ln(3)\\[.5em]
&\iff(-2x+1)=\dfrac{\ln(3)}{\ln(2)}\\[.9em]
&\iff x=-\dfrac12\lp\dfrac{\ln(3)}{\ln(2)}-1\rp
\simeq-0,3
\enar\]
Pour la deuxième équation, il faut que $x>0$ et que
$3x+2>0\iff x>-\dfrac23$ soit donc, au final, on doit avoir $x>0$.
Pour $x>0$, on a
\[\bgar{ll}
&\hspace{-1em}(E_2):\ln(x)+\ln(3x+2)=0\\
&\iff\ln\bigl(x(3+2)\bigr)=0\\
&\iff x(3x+2)=e^0=1\\
&\iff 3x^2+2x-1=0\enar\]
Cette équation du second degré a pour discriminant
$\Delta=16>0$ et admet deux racines
$x_1=-1$ et $x_2=\dfrac13$.
La première racine n'est pas solution de l'équation $(E_1)$
qui a donc pour unique solution $x_2=\dfrac13$.
\enex
\bigskip
\bgex
$(u_n)$ est une suite géométrique de raison $1,2$ et de premier terme $u_0=2$.
\bgen[a)]
\item Comme la raison cette suite est $q=1,2>1$, on a
$\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.
\item En utilisant la fonction logarithme, strictement croissante,
on a
\[\bgar{ll}u_n>100&\iff 2\tm1,2^n\geq100\\
&\iff1,2^n\geq50\\
&\iff\ln\lp1,2^n\rp\geq\ln(50)\\
&\iff n\ln(1,2)\geq\ln(50)\enar\]
puis en divisant par $\ln(1,2)>0$,
on obtient
\[u_n>100\iff n\geq\dfrac{\ln(50)}{\ln(1,2)}\simeq21,5\]
et donc à partir du rang $n=22$.
\enen
\enex
\bigskip
\bgex \textit{(Centres étrangers 10 juin 2021)}
On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par
$f(x)=\ln(x)+x\ln(0,95)$.
\bgen[a)]
\item On a $f'(x)=\dfrac1x+\ln(0,95)=\dfrac{1+x\ln(0,95)}{x}$
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $0$ && $-\dfrac1{\ln(0,95)}$ && $+\infty$ \\\hline
$1+x\ln(0,95)$&& $+$ &0&$-$&\\\hline
$x$&0&&$+$&&\\\hline
$f'(x)$&& $+$ &0&$-$&\\\hline
&&&&&\\
$f$&&\LARGE{$\nearrow$}&&\LARGE{$\searrow$}&\\
&&&&&\\\hline
\end{tabular}\]
\item En 0, on a $\dsp\lim_{x\to0}\ln(x)=-\infty$
et $\dsp\lim_{x\to0}x\ln(0,95)=0$
et donc $\dsp\lim_{x\to0}f(x)=-\infty$.
\medskip
En $+\infty$, on a une forme indéterminée. On factorise donc:
\[f(x)=x\lp\dfrac{\ln(x)}{x}+\ln(0,95)\rp\]
où, par croissances comparées,
$\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}x=0$
et donc, comme $\ln(0,95)<0$, on obtient
\[\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\]
\item La fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur
$[20;+\infty[$, avec $f(20)\simeq2>0$ et
$\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$ donc,
d'après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs
intermédiaires), il existe une unique solution $\alpha$
à l'équation $f(x)=0$.
\medskip
Avec la calculatrice, on trouve l'encadrement, à $0,1$ près,
$87<\alpha<87,1$
\item On a $f'(x)=\dfrac1x+\ln(0,95)$
et donc $f''(x)=-\dfrac1{x^2}<0$, d'où $f$ est concave sur
$]0;+\infty[$.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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