Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Corrigé du devoir de mathématiques: suite et notion de limite},
pdftitle={Suites et récurrence},
pdfkeywords={Mathématiques, suites, récurrence}
}
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citecolor = blue,
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\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Corrigé du devoir maison: Suites et limites}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - spé maths en terminale générale}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
%\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE\textbf{\TITLE}}
\hfill
\bgmp{2.5cm}
\scriptsize Terminale générale\\
Spécialité maths
\enmp
\medskip
\bgex
\bgen
\item
$u_2=\lp 1+\dfrac21\rp u_1+\dfrac{18}{1}-4
=3\tm(-5)+14=-1$
$u_3=\lp 1+\dfrac22\rp u_2+\dfrac{18}{2}-4
=2\tm(-1)+5=3$
On peut conjecturer que la suite $\lp u_n\rp$ est arithm\'etique de
raison $4$.
\item Ce programme calcule et affiche les premières valeurs
de la suite: $u(2)=-1$, $u(3)=3$, $u(4)=7$ et $u(5)=11$.
\item
On note, pour tout entier naturel $n\geqslant1$, $\mathcal{P}_n: u_n=4n-9$.
\textsl{Initialisation:} On a $u_1=-5$, et
pour $n=1$, $4\tm1-9=-5$.
Ainsi, initialement au rang $n=1$, $\mathcal{P}_1$ est vraie.
\medskip
\textsl{H\'er\'edit\'e:}
Supposons que pour un certain entier $n\geqslant1$, $\mathcal{P}_n$ est vraie,
c'est-à-dire que $u_n=4n-9$, alors,
\[\bgar{ll}
u_{n+1}&=\lp1+\dfrac2n\rp u_n+\dfrac{18}{n}-4\\[1.2em]
&=\lp1+\dfrac2n\rp \lp 4n-9\rp+\dfrac{18}{n}-4\\[1.2em]
&=4n-9+\dfrac{8n}{n}-\dfrac{18}{n}+\dfrac{18}{n}-4\\[.5em]
&=4n-5\\[.5em]
&=4(n+1)-9
\enar\]
Ainsi au rang suivant, $\mathcal{P}_{n+1}$ est encore vraie.
\medskip
\textsl{Conclusion:} On a donc montr\'e, d'apr\`es le principe de
r\'ecurrence, que pour tout entier $n\geqslant1$,
$u_n=4n-9$.
\enen
\enex
\vspace{1em}
\bgex
\vspace{-3em}
\bgen
%\item $u_1=\dfrac23u_0+1=\dfrac23\tm\dfrac12+1=\dfrac43$
% et
% $u_2=\dfrac23u_1+1=\dfrac23\tm\dfrac43+1=\dfrac{17}9$
%
%\item $u_1-u_0\not= u_2-u_1$ et donc la suite ne peut pas \^etre arithm\'etique.
% De m\^eme $\dfrac{u_1}{u_0}\not=\dfrac{u_2}{u_1}$ et donc cette suite ne peut pas \^etre g\'eom\'etrique non plus.
\item Programme Python: \fbox{\bgmp{5.4cm} \ \\[.1em]
u=-5\\[.4em]
for n in range(1,5):\\[.4em]
\hspace*{1cm}u=2/3*u+1\\[.4em]
\hspace*{1cm}print(u)\\[-.2em]
\enmp}
\item On pose, pour tout entier naturel $n$,
$v_n=u_n-3$.
\bgen[a)]
\item Pour tout entier $n$, on a
\[\bgar{ll}v_{n+1}&=u_{n+1}-3\\[.5em]&=\dfrac23u_n+1-3=\dfrac23u_n-2\\[.8em]&=\dfrac23\lp u_n-3\rp
=\dfrac23v_n\enar\]
ce qui montre que la suite est g\'eom\'etrique de raison $q=\dfrac23$ et de premier terme $v_0=u_0-3=-\dfrac52$.
\item On a alors, pour tout entier $n$,
\[v_n=v_0q^n=-\dfrac52\lp\dfrac23\rp^n\]
et alors \[u_n=v_n+3=-\dfrac52\lp\dfrac23\rp^n+3\]
\enen
\enen
\enex
\bgex
{\sl Centres étrangers, juin 2010.} \ \
$f$ est la fonction définie sur $\R_+$ par
$f(x)=\dfrac{6x+1}{x+1}$.
\bgen
\item {\bf Etude de propriétés de la fonction $f$}
\vspace{-0.6cm}
\bgen[a.]
\item Pour tout $x\geqslant 0$,
$f'(x)=\dfrac{5}{\lp x+1\rp^2}>0$.
\bgmp{6cm}
\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
$x$ & $0$ && $+\infty$ \\\hline
$f'(x)$ && $+$ & \\\hline
&&&\\
$f$&\psline[arrowsize=8pt]{->}(0.2,-0.3)(1.4,0.5)&&\\
&&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp
\item
$f(x)=x
\iff \dfrac{6x+1}{x+1}=x
\iff 6x+1=x(x+1)$,
en multipliant par $x+1\not=0$ (car $x\geqslant 0$)
et donc,
$f(x)=x\iff x^2-5x-1=0$.
Cette équation du second degré a pour discriminant
$\Delta=29>0$, et admet donc deux solutions réelles distinctes:
$x_1=\dfrac{5-\sqrt{29}}{2}$ et
$x_2=\dfrac{5+\sqrt{29}}{2}$.
Comme $x_1<0$, l'équation $f(x)=x$ admet donc sur $[0;+\infty[$
une seule solution $\alpha=\dfrac{5+\sqrt{29}}{2}$.
\item Comme $f$ est strictement croissante sur $[0;\alpha]$,
on a
$0\leqslant x\leqslant \alpha
\Longrightarrow f(0)\leqslant f(x)\leqslant f(\alpha)
$.
Or, $f(0)=1$ et $f(\alpha)=\alpha$.
Ainsi,
$0\leqslant x\leqslant \alpha
\Longrightarrow 0\leqslant 1\leqslant f(x)\leqslant \alpha$.
Ainsi, si $x\in[0;\alpha]$, alors $f(x)\in[0;\alpha]$.
\enen
\item {\bf Etude de la suite $(u_n)$ pour $u_0=0$}
\bgen[a.]
\item Programme Python: \fbox{\bgmp[t]{5.4cm} \ \\[.1em]
u=0\\[.4em]
for n in range(1,101):\\[.4em]
\hspace*{1cm}u=(6*u+1)/(u+1)\\[.4em]
\hspace*{1cm}print(u)\\[-.2em]
\enmp}
\item \ \\
\psset{xunit=1.8cm,yunit=1.6cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(8,6.3)
\psline[arrowsize=8pt]{->}(-0.5,0)(7.5,0)
\psline[arrowsize=8pt]{->}(0,-0.5)(0,6.5)
\multido{\i=0+1}{8}{
\psline(\i,-0.1)(\i,0.1)
%\rput(\i,-0.3){$\i$}
}
\multido{\i=0+1}{7}{
\psline(-0.1,\i)(0.1,\i)
\rput(-0.3,\i){$\i$}
}
\newcommand{\f}[1]{6 5 #1 1 add div sub}
\psplot[linewidth=1.4pt]{0}{7}{\f{x}}
\psplot{-0.2}{6.5}{x}
\psline[linestyle=dashed](5.19,0)(5.19,5.19)(0,5.19)
\rput(5.35,-0.15){$\alpha$}\rput(-0.2,5.25){$\alpha$}
%% Points A_i
\newcommand\fn[2]{%
%\ifnum#1<0 \ERROR\fi
%\ifnum#1=0 #2 \fi
\ifnum#1=1
\f{#2}%
\else
\f{\fn{\numexpr#1-1}{#2}}%
\fi
}
\def\xinit{0}
% \psline[linestyle=dashed]
% (\xinit,0)
% (!\xinit\space\fn{1}{\xinit})
% (!\fn{1}{\xinit}\space\fn{1}{\xinit})
% (!\fn{1}{\xinit}\space \fn{2}{\xinit})
% (!\fn{2}{\xinit}\space \fn{2}{\xinit})
% (!\fn{2}{\xinit}\space \fn{3}{\xinit})
% (!\fn{3}{\xinit}\space \fn{3}{\xinit})
\psline[linestyle=dashed]
(\xinit,0)
(!\xinit\space\f{\xinit})
(!\f{\xinit}\space\f{\xinit})
\rput(\xinit,-0.3){$A_0$}
\multido{\i=1+1}{4}{
\psline[linestyle=dashed]
(!\fn{\i}{\xinit} \space 0)
(!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\i}{\xinit})
(!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit})
(!\fn{\numexpr\i+1}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit})
\rput(!\fn{\i}{\xinit}\space 0){$\tm$}
\rput(!\fn{\i}{\xinit}\space -0.3){$A_\i$}
}
\end{pspicture}
On peut conjecturer que la suite $(u_n)$ est croissante, et
qu'elle converge vers $\alpha$.
\item
\ul{Initialisation:}
Pour $n=0$, on a $u_0=0$, et $u_1=f(u_0)=f(0)=1$,
et ainsi on a donc bien
$u_0\leqslant u_1$.
\ul{Hérédité:} Supposons que pour un entier $n$ on ait
$u_n\leqslant u_{n+1}$.
Alors, comme la fonction $f$ est croissante sur $[0;\alpha]$,
$f\lp u_n\rp\leqslant f\lp u_{n+1}\rp$.
Or $f\lp u_n\rp=u_{n+1}$ et
$f\lp u_{n+1}\rp=u_{n+2}$.
On a donc ainsi,
$u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant$,
ce qui montre que la propriété est encore vraie au rang $n+1$.
\ul{Conclusion:} On vient donc de démontrer, d'après le principe
de récurrence, que pour tout entier naturel $n$,
$u_n\leqslant u_{n+1}$.
\medskip
On déduit en particulier de la propriété précédente que la suite
$(u_n)$ est croissante.
\enen
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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