Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Correction du devoir de mathématiques terminale S: calcul algébrique, dérivée, sens de variation, suite récurrence},
pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques},
pdfkeywords={calcul algébrique, dérivée, sens de variation, suite récurrence, devoir corrigé, Mathématiques, TS, terminale S}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\lfoot{Y. Morel \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - spé maths en terminale générale}}
\cfoot{}
\rfoot{Correction du devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\vspace*{-3em}
\ct{\bf\LARGE{Correction du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
%$f_1'(x)=\dfrac{3x^4-35x^8-3}{x^2}$ \quad ; \quad
%$f_1'(x)=2x$ \quad ; \quad
%$f_2'(x)=5\dfrac{-x^2+3}{\left( x^2+3\rp^2}$ \quad ; \quad
$f_3'(x)=\dfrac{4x}{\left( x^2+1\rp^2}$ \quad ; \quad
%
%\bigskip
%$g_1'(x)=3e^{3x+2}$ \quad ; \quad
%$g_2'(x)=(1+x)e^x$ \quad ; \quad
$g_3'(x)=\dfrac{-e^x}{\left( e^x+1\rp^2}$ \quad ; \quad
$g_4'(x)=e^{x^2}\,\dfrac{2xe^x+2x-e^x}{\left( 2xe^x+2x^2-e^x-1\rp^2}$
\enex
\bigskip
\bgex
C'est le signe de la dérivée de f qui nous donne son sens de variation.
Ici $f$ est la somme d'une fonction affine (que l'on dérive facilement) et de
$\dfrac{2}{x-2}=2\times\dfrac{1}{u(x)}$ avec $u(x)=x-2$ dont la dérivée est $u'(x)=1$.
La dérivée de $\dfrac{1}{u}$ étant $-\dfrac{u'}{u^2}$, on trouve donc que
$f'(x)=2-\dfrac{2}{(x-2)^2}$.
Pour pouvoir déterminer le signe de cette expression, on l'exprime sur un seul dénominateur:
\[f'(x)=\dfrac{2(x-2)^2-2}{(x-2)^2}=\dfrac{2x^2-8x+6}{(x-2)^2}=2\dfrac{x^2-4x+3}{(x-2)^2}\]
Le numérateur est un trinôme du second degré dont le discriminant est
$\Delta=(-4)^2-4\times1\times3=4=2^2>0$ et qui admet donc deux racines
$x_1=\dfrac{-(-4)-\sqrt4}{2\times1}=1$ et $x_2=\dfrac{-(-4)+\sqrt4}{2\times1}=3$.
On obtient alors le signe du trinôme, et donc de la dérivée, et enfin le sens de variation de $f$ (on n'oublie pas non plus la valeur interdite\dots).
\[\begin{tabular}{|c|lcccccccr|}\hline
$x$&$-\infty$&&1&&2&&3&&$+\infty$\\\hline
$x^2-4x+3$ &&$+$&0&$-$&$|$&$-$&0&$+$&\\\hline
$(x-2)^2$ &&$+$&$|$&$+$&0&$+$&$|$&$+$&\\\hline
$f'(x)$ &&$+$&0&$-$&&$-$&0&$+$&\\\hline
&&&2&&&$+\infty$&&&$+\infty$\\
$f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&
\psline(0,-.6)(0,1.3)\psline(.07,-.6)(.07,1.3)&
\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
&$-\infty$&&&$-\infty$&&&9&&\\\hline
\end{tabular}\]
{\bf Limites de $f$:}
En l'infini, on a
$\dsp\lim_{x\to-\infty}\dfrac2{x-2}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac2{x-2}=0$
et
$\dsp\lim_{x\to-\infty}2x+1=-\infty$
et
$\dsp\lim_{x\to+\infty}2x+1=+\infty$ .
On obtient alors, par somme des limites,
$\dsp\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$
et
$\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$
\bigskip
Lorsque $x\to2$, on $\dsp\lim_{x\to2}2x+1=5$,
et $\dsp\lim_{x\to2}x-2=0$.
Le quotient $\dfrac2{x-2}$ tend vers l'infini, et il reste à déterminer son signe en séparant les cas $x<2\iff x-2<0$ et $x>2\iff x-2>0$:
$\dsp\lim_{\scriptsize\bgar{l}x\to2\\x<2\enar}\dfrac2{x-2}=-\infty$ et donc
$\dsp\lim_{\scriptsize\bgar{l}x\to2\\x<2\enar}f(x)=-\infty$.
On trouve de m\^eme
$\dsp\lim_{\scriptsize\bgar{l}x\to2\\x<2\enar}\dfrac2{x-2}=+\infty$ et donc
$\dsp\lim_{\scriptsize\bgar{l}x\to2\\x<2\enar}f(x)=+\infty$.
On en déduit de plus que la droite d'équation $x=2$ est une asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$.
\[\psset{xunit=1cm,yunit=.4cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture*}(-5.8,-17)(5.8,22)
\psline{->}(-5.8,0)(5.8,0)
\psline{->}(0,-17)(0,22)
\multido{\i=-5+1}{11}{\psline(\i,.3)(\i,-.3)\rput(\i,-1){\i}}
\multido{\i=-15+5}{8}{\psline(-.1,\i)(.1,\i)\rput[r](-.1,\i){\i}}
\psplot{-3}{1.9}{2 x mul 1 add 2 x 2 sub div add}
\psplot{2.1}{5}{2 x mul 1 add 2 x 2 sub div add}
\psline[linecolor=blue](2,-17)(2,22)
\end{pspicture*}\]
\enex
\clearpage
\bgex $f(x) = \dfrac{2 + 3x}{4 + x}$ \hfill {\it (Bac S: métropole - La Réunion 13 septembre 2019)}
%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~4] par
\medskip
\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
\item
$u_1 = f\left(u_0\right) = \dfrac{2 + 9}{4 + 3} = \dfrac{11}{7}$.
\item La fonction $f$ est définie et dérivable sur [0~;~4] et sur cet intervalle :
$f'(x) = \dfrac{3(4 + x) - 1(2 + 3x)}{(4 + x)^2} = \dfrac{12 + 3x - 2 - 3x}{(4 + x)^2} = \dfrac{10}{(4 + x)^2}$
Quotient de nombres positifs ce nombre dérivé est positif quel que soit $x$ dans l'intervalle [0~;~4]. La fonction $f$ est donc croissante sur [0~;~4].
\item Démonstration par récurrence :
\emph{Initialisation}
On a d'après la première question : $1 \leqslant u_1 \leqslant u_0 \leqslant 3$ : l'encadrement est vrai au rang $0$ ;
\emph{Hérédité}
Supposons que pour $n \in \N$, \; $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 3$ ; par croissance de la fonction $f$ sur [0~;~4], on
$f(1) \leqslant f\left(u_{n+1}\right) \leqslant f\left(u_{n}\right) \leqslant f(3)$ ou car $f(1) = \dfrac{5}{5} = 1$ et $f(3) = \dfrac{11}{7} \leqslant 3$,
$1 \leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1} \leqslant 3$ : la relation est donc vraie au rang $n + 1$.
\emph{Conclusion} : l'encadrement est vrai au rang $0$ et s'il est vrai à un rang quelconque $n$ il est vrai au rang suivant $n+1$ : d'après le principe de récurrence pour tout naturel $n$, \; $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 3$.
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item D'après la question précédente la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante, minorée par $1$ : elle converge donc vers une limite $\ell \geqslant 1$.
\item De l'égalité $u_{n+1} = f\left(u_n \right) = \dfrac{2 + 3u_n}{4 + u_n}$ on en déduit par continuité de la fonction $f$ (puisque $f$ est dérivable) :
\[\ell = \dfrac{2 + 3\ell}{4 + \ell}.\]
\item On en déduit que $\ell(4 + \ell) = 2 + 3\ell \iff \ell^2 + \ell - 2 = 0$.
Or $\Delta = 1 + 4 \times 2 = 9 = 3^2$. Il y a deux solutions :
$\ell_1 = \dfrac{- 1 - 3}{2} = -2$ et $\ell_2 = \dfrac{- 1 + 3}{2} = 1$.
Comme $\ell \in [1~;~3]$, la seule solution est $\ell_2 = 1$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
\item Voir l'annexe.
On peut conjecturer que la suite $\left(v_n\right)$ est croissante et qu'elle a pour limite 1.
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item
$1 - v_{n+1} = 1 - \dfrac{2 + 3v_n}{4 + v_n} = \dfrac{4 + v_n - 2 - 3v_n}{4 + v_n}= \dfrac{2 - 2v_n}{4 + v_n} = \dfrac{2}{4 + v_n}\left(1 - v_n\right)$.
\item
\emph{Initialisation} pour $n = 0$, \; $1 - v_0 = 0,9$ ; or $\left(\dfrac{1}{2}\right)^0 = 1$.
On a bien $0 \leqslant 1 - v_0 \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^0$.
\emph{Hérédité} Supposons qu'au rang $n \in \N$ quelconque, on ait $1 - v_n \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
On a $1 - v_{n+1} = \dfrac{2}{4 + v_n}\left(1 - v_n \right)$, donc d'après l'hypothèse de récurrence :
$1 - v_{n+1} \leqslant \dfrac{2}{4 + v_n} \times \left(\dfrac{1}{2} \right)^n$.
Or $0 \leqslant 1 - v_n \leqslant \left(\dfrac{1}{2} \right)^n \iff v_n \geqslant 1 - \left(\dfrac{1}{2} \right)^n \geqslant 0$ ; il suit que $4 + v_n \geqslant 4$, donc en prenant les inverses $0 \leqslant \dfrac{1}{4 + v_n} \leqslant \dfrac{1}{4}$.
On a donc $0 \leqslant 1 - v_{n+1} \leqslant 2 \times \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{2} \right)^n$, soit finalement :
$0 \leqslant 1 - v_{n+1} \leqslant \left(\dfrac{1}{2} \right)^{n+1}$ : l'encadrement est vrai au rang $n + 1$.
L'encadrement est vrai au rang $0$ et s'il est vrai à un rang $n$quelconque il est vrai au rang $n + 1$ : d'après le principe de récurrence :
quel que soit le naturel $n$, \; $0 \leqslant 1 - v_n \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
\end{enumerate}
\item %La suite $\left(v_n\right)$ converge-t-elle ? Si oui, préciser sa limite.
Comme $0< \dfrac{1}{2} < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0$, donc l'encadrement trouvé à la question précédente montre que la la limite de $1 - v_n = 0$, donc :
\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = 1.\]
\end{enumerate}
\begin{center}
\textbf{\large Annexe}
\psset{unit=11cm,comma=true,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.15,1.1)
%\psgrid
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=0.1](0,0)(0,0)(1.15,1.1)
\psline(1.1,1.1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.15}{3 x mul 2 add x 4 add div}
\uput[ul](1.1,1.1){$D$}\uput[d](1.1,1.03){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psline[ArrowInside=->](0.1,0)(0.1,0.561)(0.561,0.561)(0.561,0.8074)(0.8074,0.8074)(0.8074,0.92)(0.92,0.92)
\psline(0.561,0)(0.561,0.561)
\psline(0.8074,0.8074)(0.8074,0)
\psline(0.92,0)(0.92,0.92)
\uput[d](0.1,-0.05){$v_0 =0,1$}\uput[d](0.561,-0.05){$v_1=0,561$}\uput[d](0.8074,-0.05){$v_2=0,807$}\uput[d](0.92,-0.05){$v_3=0,92$}
\end{pspicture}
\end{center}
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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