Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques, Limites de suites et fonctions
Terminale générale, spécialité mathématiques
Limites de suites et fonctions
Devoir maison corrigé de mathématiques, spécialité mathématiques en terminale générale: suites, récurrence, limites- Fichier
- Type: Corrigé de devoir
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- Description
- Devoir maison corrigé de mathématiques, spécialité mathématiques en terminale générale: suites, récurrence, limites
- Niveau
- Terminale générale, spécialité mathématiques
- Table des matières
- Calculs de dérivées
- Démonstration par récurrence
- Étude de fonction
- Suite récurrente définie par une fonction
- Mots clé
- limite, suite, récurrence, suite récurrente, construction des premiers termes, spécialité mathématiques, terminale générale
- Sujet du devoir
- Voir aussi:
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\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article} \usepackage[french]{babel} %\selectlanguage{francais} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \usepackage{calc} \usepackage{enumerate} \usepackage{array} \usepackage{pst-all} \usepackage{hyperref} \hypersetup{ pdfauthor={Yoann Morel}, pdfsubject={Correction du devoir de mathématiques terminale S: calcul algébrique, dérivée, sens de variation, suite récurrence}, pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques}, pdfkeywords={calcul algébrique, dérivée, sens de variation, suite récurrence, devoir corrigé, Mathématiques, TS, terminale S} } \hypersetup{ colorlinks = true, linkcolor = blue, anchorcolor = red, citecolor = blue, filecolor = red, urlcolor = red } \voffset=-1cm % Raccourcis diverses: \newcommand{\nwc}{\newcommand} \nwc{\dsp}{\displaystyle} \nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}} \nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}} \nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}} \nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}} \nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}} \nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)} \nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]} \nwc{\ul}{\underline} \nwc{\tm}{\times} \nwc{\V}{\overrightarrow} \newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}} \newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}} \newcommand{\ct}{\centerline} \nwc{\bgsk}{\bigskip} \nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}} \nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}} \nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}} \nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}} \def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} \def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} \def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} \def\C{{\rm C\kern-4.7pt \vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} \def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}} \newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0} \newenvironment{EX}{% \stepcounter{nex} \bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm} }{} \nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}} \nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}} \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize} \nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}} \newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{ \protect\vspace*{\fill}} \setlength{\columnsep}{30pt} % default=10pt \setlength{\columnseprule}{1pt} % default=0pt (no line) \setlength{\headsep}{0in} % default=0.35in \setlength{\parskip}{0ex} \setlength{\parindent}{0mm} \voffset=-1cm \textheight=27.6cm \textwidth=19.2cm \topmargin=-.6cm \headheight=-0.cm \footskip=1.cm \oddsidemargin=-1.5cm \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancyplain} \setlength{\headheight}{0cm} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{.1pt} \lfoot{Y. Morel \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - spé maths en terminale générale}} \cfoot{} \rfoot{Correction du devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} %\vspace*{-3em} \ct{\bf\LARGE{Correction du devoir de math\'ematiques}} \bgex %$f_1'(x)=\dfrac{3x^4-35x^8-3}{x^2}$ \quad ; \quad %$f_1'(x)=2x$ \quad ; \quad %$f_2'(x)=5\dfrac{-x^2+3}{\left( x^2+3\rp^2}$ \quad ; \quad $f_3'(x)=\dfrac{4x}{\left( x^2+1\rp^2}$ \quad ; \quad % %\bigskip %$g_1'(x)=3e^{3x+2}$ \quad ; \quad %$g_2'(x)=(1+x)e^x$ \quad ; \quad $g_3'(x)=\dfrac{-e^x}{\left( e^x+1\rp^2}$ \quad ; \quad $g_4'(x)=e^{x^2}\,\dfrac{2xe^x+2x-e^x}{\left( 2xe^x+2x^2-e^x-1\rp^2}$ \enex \bigskip \bgex C'est le signe de la dérivée de f qui nous donne son sens de variation. Ici $f$ est la somme d'une fonction affine (que l'on dérive facilement) et de $\dfrac{2}{x-2}=2\times\dfrac{1}{u(x)}$ avec $u(x)=x-2$ dont la dérivée est $u'(x)=1$. La dérivée de $\dfrac{1}{u}$ étant $-\dfrac{u'}{u^2}$, on trouve donc que $f'(x)=2-\dfrac{2}{(x-2)^2}$. Pour pouvoir déterminer le signe de cette expression, on l'exprime sur un seul dénominateur: \[f'(x)=\dfrac{2(x-2)^2-2}{(x-2)^2}=\dfrac{2x^2-8x+6}{(x-2)^2}=2\dfrac{x^2-4x+3}{(x-2)^2}\] Le numérateur est un trinôme du second degré dont le discriminant est $\Delta=(-4)^2-4\times1\times3=4=2^2>0$ et qui admet donc deux racines $x_1=\dfrac{-(-4)-\sqrt4}{2\times1}=1$ et $x_2=\dfrac{-(-4)+\sqrt4}{2\times1}=3$. On obtient alors le signe du trinôme, et donc de la dérivée, et enfin le sens de variation de $f$ (on n'oublie pas non plus la valeur interdite\dots). \[\begin{tabular}{|c|lcccccccr|}\hline $x$&$-\infty$&&1&&2&&3&&$+\infty$\\\hline $x^2-4x+3$ &&$+$&0&$-$&$|$&$-$&0&$+$&\\\hline $(x-2)^2$ &&$+$&$|$&$+$&0&$+$&$|$&$+$&\\\hline $f'(x)$ &&$+$&0&$-$&&$-$&0&$+$&\\\hline &&&2&&&$+\infty$&&&$+\infty$\\ $f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}& \psline(0,-.6)(0,1.3)\psline(.07,-.6)(.07,1.3)& \Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &$-\infty$&&&$-\infty$&&&9&&\\\hline \end{tabular}\] {\bf Limites de $f$:} En l'infini, on a $\dsp\lim_{x\to-\infty}\dfrac2{x-2}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac2{x-2}=0$ et $\dsp\lim_{x\to-\infty}2x+1=-\infty$ et $\dsp\lim_{x\to+\infty}2x+1=+\infty$ . On obtient alors, par somme des limites, $\dsp\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ et $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ \bigskip Lorsque $x\to2$, on $\dsp\lim_{x\to2}2x+1=5$, et $\dsp\lim_{x\to2}x-2=0$. Le quotient $\dfrac2{x-2}$ tend vers l'infini, et il reste à déterminer son signe en séparant les cas $x<2\iff x-2<0$ et $x>2\iff x-2>0$: $\dsp\lim_{\scriptsize\bgar{l}x\to2\\x<2\enar}\dfrac2{x-2}=-\infty$ et donc $\dsp\lim_{\scriptsize\bgar{l}x\to2\\x<2\enar}f(x)=-\infty$. On trouve de m\^eme $\dsp\lim_{\scriptsize\bgar{l}x\to2\\x<2\enar}\dfrac2{x-2}=+\infty$ et donc $\dsp\lim_{\scriptsize\bgar{l}x\to2\\x<2\enar}f(x)=+\infty$. On en déduit de plus que la droite d'équation $x=2$ est une asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$. \[\psset{xunit=1cm,yunit=.4cm,arrowsize=8pt} \begin{pspicture*}(-5.8,-17)(5.8,22) \psline{->}(-5.8,0)(5.8,0) \psline{->}(0,-17)(0,22) \multido{\i=-5+1}{11}{\psline(\i,.3)(\i,-.3)\rput(\i,-1){\i}} \multido{\i=-15+5}{8}{\psline(-.1,\i)(.1,\i)\rput[r](-.1,\i){\i}} \psplot{-3}{1.9}{2 x mul 1 add 2 x 2 sub div add} \psplot{2.1}{5}{2 x mul 1 add 2 x 2 sub div add} \psline[linecolor=blue](2,-17)(2,22) \end{pspicture*}\] \enex \clearpage \bgex $f(x) = \dfrac{2 + 3x}{4 + x}$ \hfill {\it (Bac S: métropole - La Réunion 13 septembre 2019)} %Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~4] par \medskip \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item $u_1 = f\left(u_0\right) = \dfrac{2 + 9}{4 + 3} = \dfrac{11}{7}$. \item La fonction $f$ est définie et dérivable sur [0~;~4] et sur cet intervalle : $f'(x) = \dfrac{3(4 + x) - 1(2 + 3x)}{(4 + x)^2} = \dfrac{12 + 3x - 2 - 3x}{(4 + x)^2} = \dfrac{10}{(4 + x)^2}$ Quotient de nombres positifs ce nombre dérivé est positif quel que soit $x$ dans l'intervalle [0~;~4]. La fonction $f$ est donc croissante sur [0~;~4]. \item Démonstration par récurrence : \emph{Initialisation} On a d'après la première question : $1 \leqslant u_1 \leqslant u_0 \leqslant 3$ : l'encadrement est vrai au rang $0$ ; \emph{Hérédité} Supposons que pour $n \in \N$, \; $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 3$ ; par croissance de la fonction $f$ sur [0~;~4], on $f(1) \leqslant f\left(u_{n+1}\right) \leqslant f\left(u_{n}\right) \leqslant f(3)$ ou car $f(1) = \dfrac{5}{5} = 1$ et $f(3) = \dfrac{11}{7} \leqslant 3$, $1 \leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1} \leqslant 3$ : la relation est donc vraie au rang $n + 1$. \emph{Conclusion} : l'encadrement est vrai au rang $0$ et s'il est vrai à un rang quelconque $n$ il est vrai au rang suivant $n+1$ : d'après le principe de récurrence pour tout naturel $n$, \; $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 3$. \item \begin{enumerate}[a)] \item D'après la question précédente la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante, minorée par $1$ : elle converge donc vers une limite $\ell \geqslant 1$. \item De l'égalité $u_{n+1} = f\left(u_n \right) = \dfrac{2 + 3u_n}{4 + u_n}$ on en déduit par continuité de la fonction $f$ (puisque $f$ est dérivable) : \[\ell = \dfrac{2 + 3\ell}{4 + \ell}.\] \item On en déduit que $\ell(4 + \ell) = 2 + 3\ell \iff \ell^2 + \ell - 2 = 0$. Or $\Delta = 1 + 4 \times 2 = 9 = 3^2$. Il y a deux solutions : $\ell_1 = \dfrac{- 1 - 3}{2} = -2$ et $\ell_2 = \dfrac{- 1 + 3}{2} = 1$. Comme $\ell \in [1~;~3]$, la seule solution est $\ell_2 = 1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \begin{enumerate} \item Voir l'annexe. On peut conjecturer que la suite $\left(v_n\right)$ est croissante et qu'elle a pour limite 1. \item \begin{enumerate}[a)] \item $1 - v_{n+1} = 1 - \dfrac{2 + 3v_n}{4 + v_n} = \dfrac{4 + v_n - 2 - 3v_n}{4 + v_n}= \dfrac{2 - 2v_n}{4 + v_n} = \dfrac{2}{4 + v_n}\left(1 - v_n\right)$. \item \emph{Initialisation} pour $n = 0$, \; $1 - v_0 = 0,9$ ; or $\left(\dfrac{1}{2}\right)^0 = 1$. On a bien $0 \leqslant 1 - v_0 \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^0$. \emph{Hérédité} Supposons qu'au rang $n \in \N$ quelconque, on ait $1 - v_n \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$. On a $1 - v_{n+1} = \dfrac{2}{4 + v_n}\left(1 - v_n \right)$, donc d'après l'hypothèse de récurrence : $1 - v_{n+1} \leqslant \dfrac{2}{4 + v_n} \times \left(\dfrac{1}{2} \right)^n$. Or $0 \leqslant 1 - v_n \leqslant \left(\dfrac{1}{2} \right)^n \iff v_n \geqslant 1 - \left(\dfrac{1}{2} \right)^n \geqslant 0$ ; il suit que $4 + v_n \geqslant 4$, donc en prenant les inverses $0 \leqslant \dfrac{1}{4 + v_n} \leqslant \dfrac{1}{4}$. On a donc $0 \leqslant 1 - v_{n+1} \leqslant 2 \times \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{2} \right)^n$, soit finalement : $0 \leqslant 1 - v_{n+1} \leqslant \left(\dfrac{1}{2} \right)^{n+1}$ : l'encadrement est vrai au rang $n + 1$. L'encadrement est vrai au rang $0$ et s'il est vrai à un rang $n$quelconque il est vrai au rang $n + 1$ : d'après le principe de récurrence : quel que soit le naturel $n$, \; $0 \leqslant 1 - v_n \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$. \end{enumerate} \item %La suite $\left(v_n\right)$ converge-t-elle ? Si oui, préciser sa limite. Comme $0< \dfrac{1}{2} < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0$, donc l'encadrement trouvé à la question précédente montre que la la limite de $1 - v_n = 0$, donc : \[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = 1.\] \end{enumerate} \begin{center} \textbf{\large Annexe} \psset{unit=11cm,comma=true,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.15,1.1) %\psgrid \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=0.1](0,0)(0,0)(1.15,1.1) \psline(1.1,1.1) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.15}{3 x mul 2 add x 4 add div} \uput[ul](1.1,1.1){$D$}\uput[d](1.1,1.03){\blue $\mathcal{C}_f$} \psline[ArrowInside=->](0.1,0)(0.1,0.561)(0.561,0.561)(0.561,0.8074)(0.8074,0.8074)(0.8074,0.92)(0.92,0.92) \psline(0.561,0)(0.561,0.561) \psline(0.8074,0.8074)(0.8074,0) \psline(0.92,0)(0.92,0.92) \uput[d](0.1,-0.05){$v_0 =0,1$}\uput[d](0.561,-0.05){$v_1=0,561$}\uput[d](0.8074,-0.05){$v_2=0,807$}\uput[d](0.92,-0.05){$v_3=0,92$} \end{pspicture} \end{center} \enex \label{LastPage} \end{document}
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