Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques, Limites de suites et fonctions

Terminale générale, spécialité mathématiques

Limites de suites et fonctions

Devoir maison corrigé de mathématiques, spécialité mathématiques en terminale générale: suites, récurrence, limites
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Type: Corrigé de devoir
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Description
Devoir maison corrigé de mathématiques, spécialité mathématiques en terminale générale: suites, récurrence, limites
Niveau
Terminale générale, spécialité mathématiques
Table des matières
  • Calculs de dérivées
  • Démonstration par récurrence
  • Étude de fonction
  • Suite récurrente définie par une fonction
Mots clé
limite, suite, récurrence, suite récurrente, construction des premiers termes, spécialité mathématiques, terminale générale

Sujet du devoir

Quelques autres devoirs

    Devoir corrigé
    Suites et fonctions - Sujet A

    sur les fonctions: calcus de dérivées et sens de variation, et les suites: démonstration par récurrence, construction géométrique des premiers termes d'une suite récurrente, suite auxiliaire géométrique

    Devoir corrigé
    Suites et fonctions - Sujet B

    sur les fonctions: calcus de dérivées et sens de variation, et les suites: démonstration par récurrence, construction géométrique des premiers termes d'une suite récurrente, suite auxiliaire géométrique

    Devoir corrigé
    Suites et fonctions - Sujet A

    sur les fonctions: calcus de dérivées et sens de variation, et les suites: démonstration par récurrence, construction géométrique des premiers termes d'une suite récurrente, convergence monotone et point fixe

    Devoir corrigé
    Suites et fonctions - Sujet B

    sur les fonctions: calcus de dérivées et sens de variation, et les suites: démonstration par récurrence, construction géométrique des premiers termes d'une suite récurrente, convergence monotone et point fixe

    Devoir corrigé
    Suites et fonctions

    maison sur les fonctions: calcus de dérivées et sens de variation, et les suites: démonstration par récurrence, suite auxiliaire arithmétique, convergence monotone et point fixe

Voir aussi:

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Source Latex

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Correction du devoir de mathématiques terminale S: calcul algébrique, dérivée, sens de variation, suite récurrence},
    pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={calcul algébrique, dérivée, sens de variation, suite récurrence, devoir corrigé, Mathématiques, TS, terminale S}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
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	\protect\vspace*{\fill}}
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\lfoot{Y. Morel \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - spé maths en terminale générale}}
\cfoot{}
\rfoot{Correction du devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

%\vspace*{-3em}

\ct{\bf\LARGE{Correction du devoir de math\'ematiques}}

\bgex
%$f_1'(x)=\dfrac{3x^4-35x^8-3}{x^2}$ \quad ; \quad 
%$f_1'(x)=2x$  \quad ; \quad 
%$f_2'(x)=5\dfrac{-x^2+3}{\left( x^2+3\rp^2}$  \quad ; \quad 
$f_3'(x)=\dfrac{4x}{\left( x^2+1\rp^2}$ \quad ; \quad 
%
%\bigskip
%$g_1'(x)=3e^{3x+2}$  \quad ; \quad 
%$g_2'(x)=(1+x)e^x$ \quad ; \quad 
$g_3'(x)=\dfrac{-e^x}{\left( e^x+1\rp^2}$ \quad ; \quad 
$g_4'(x)=e^{x^2}\,\dfrac{2xe^x+2x-e^x}{\left( 2xe^x+2x^2-e^x-1\rp^2}$
\enex


\bigskip
\bgex
C'est le signe de la dérivée de f qui nous donne son sens de variation.
Ici $f$ est la somme d'une fonction affine (que l'on dérive facilement) et de 
$\dfrac{2}{x-2}=2\times\dfrac{1}{u(x)}$ avec $u(x)=x-2$ dont la dérivée est $u'(x)=1$. 

La dérivée de $\dfrac{1}{u}$ étant $-\dfrac{u'}{u^2}$, on trouve donc que 
$f'(x)=2-\dfrac{2}{(x-2)^2}$.

Pour pouvoir déterminer le signe de cette expression, on l'exprime sur un seul dénominateur:   
\[f'(x)=\dfrac{2(x-2)^2-2}{(x-2)^2}=\dfrac{2x^2-8x+6}{(x-2)^2}=2\dfrac{x^2-4x+3}{(x-2)^2}\]

Le numérateur est un trinôme du second degré dont le discriminant est 
$\Delta=(-4)^2-4\times1\times3=4=2^2>0$ et qui admet donc deux racines 
$x_1=\dfrac{-(-4)-\sqrt4}{2\times1}=1$ et $x_2=\dfrac{-(-4)+\sqrt4}{2\times1}=3$.

On obtient alors le signe du trinôme, et donc de la dérivée, et enfin le sens de variation de $f$ (on n'oublie pas non plus la valeur interdite\dots). 

\[\begin{tabular}{|c|lcccccccr|}\hline
$x$&$-\infty$&&1&&2&&3&&$+\infty$\\\hline
$x^2-4x+3$ &&$+$&0&$-$&$|$&$-$&0&$+$&\\\hline
$(x-2)^2$ &&$+$&$|$&$+$&0&$+$&$|$&$+$&\\\hline
$f'(x)$ &&$+$&0&$-$&&$-$&0&$+$&\\\hline
&&&2&&&$+\infty$&&&$+\infty$\\
$f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&
\psline(0,-.6)(0,1.3)\psline(.07,-.6)(.07,1.3)&
\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
&$-\infty$&&&$-\infty$&&&9&&\\\hline
\end{tabular}\]

{\bf Limites de $f$:} 
En l'infini, on a 
$\dsp\lim_{x\to-\infty}\dfrac2{x-2}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac2{x-2}=0$ 
et 
$\dsp\lim_{x\to-\infty}2x+1=-\infty$ 
et 
$\dsp\lim_{x\to+\infty}2x+1=+\infty$ . 

On obtient alors, par somme des limites, 
$\dsp\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$
et 
$\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$

\bigskip
Lorsque $x\to2$, on $\dsp\lim_{x\to2}2x+1=5$, 
et $\dsp\lim_{x\to2}x-2=0$. 

Le quotient $\dfrac2{x-2}$ tend vers l'infini, et il reste à déterminer son signe en séparant les cas $x<2\iff x-2<0$ et $x>2\iff x-2>0$: 

$\dsp\lim_{\scriptsize\bgar{l}x\to2\\x<2\enar}\dfrac2{x-2}=-\infty$ et donc 
$\dsp\lim_{\scriptsize\bgar{l}x\to2\\x<2\enar}f(x)=-\infty$. 

On trouve de m\^eme 
$\dsp\lim_{\scriptsize\bgar{l}x\to2\\x<2\enar}\dfrac2{x-2}=+\infty$ et donc 
$\dsp\lim_{\scriptsize\bgar{l}x\to2\\x<2\enar}f(x)=+\infty$. 

On en déduit de plus que la droite d'équation $x=2$ est une asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$. 

\[\psset{xunit=1cm,yunit=.4cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture*}(-5.8,-17)(5.8,22)
\psline{->}(-5.8,0)(5.8,0)
\psline{->}(0,-17)(0,22)
\multido{\i=-5+1}{11}{\psline(\i,.3)(\i,-.3)\rput(\i,-1){\i}}
\multido{\i=-15+5}{8}{\psline(-.1,\i)(.1,\i)\rput[r](-.1,\i){\i}}
\psplot{-3}{1.9}{2 x mul 1 add 2 x 2 sub div add}
\psplot{2.1}{5}{2 x mul 1 add 2 x 2 sub div add}
\psline[linecolor=blue](2,-17)(2,22)
\end{pspicture*}\]
\enex

\clearpage
\bgex $f(x) = \dfrac{2 + 3x}{4 + x}$ \hfill {\it (Bac S: métropole - La Réunion 13 septembre 2019)}
%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~4] par



\medskip

\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
\item 
$u_1 = f\left(u_0\right) = \dfrac{2 + 9}{4 + 3} = \dfrac{11}{7}$.
\item La fonction $f$ est définie et dérivable sur [0~;~4] et sur cet intervalle :

$f'(x) = \dfrac{3(4 + x) - 1(2 + 3x)}{(4 + x)^2} = \dfrac{12 + 3x - 2 - 3x}{(4 + x)^2} = \dfrac{10}{(4 + x)^2}$

Quotient de nombres positifs ce nombre dérivé est positif quel que soit $x$ dans l'intervalle [0~;~4]. La fonction $f$ est donc croissante sur [0~;~4].  
\item Démonstration par récurrence :

\emph{Initialisation}

On a d'après la première question : $1 \leqslant u_1 \leqslant u_0 \leqslant 3$ : l'encadrement est vrai au rang $0$ ;

\emph{Hérédité}

Supposons que pour $n \in \N$, \; $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 3$ ; par croissance de la fonction $f$ sur [0~;~4], on 

$f(1) \leqslant f\left(u_{n+1}\right) \leqslant f\left(u_{n}\right) \leqslant f(3)$ ou car $f(1) = \dfrac{5}{5} = 1$ et $f(3) = \dfrac{11}{7} \leqslant 3$, 

$1 \leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1} \leqslant 3$ : la relation est donc vraie au rang $n + 1$.

\emph{Conclusion} : l'encadrement est vrai au rang $0$ et s'il est vrai à un rang quelconque $n$ il est vrai au rang suivant $n+1$ : d'après le principe de récurrence pour tout naturel $n$, \; $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 3$. 
\item 
  \begin{enumerate}[a)]
  \item D'après la question précédente la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante,  minorée par $1$ : elle converge donc vers une limite $\ell \geqslant 1$.
\item De l'égalité $u_{n+1} = f\left(u_n \right) = \dfrac{2 + 3u_n}{4 + u_n}$ on en déduit par continuité de la fonction $f$ (puisque $f$ est dérivable) :
\[\ell = \dfrac{2 + 3\ell}{4 + \ell}.\]

\item On en déduit que $\ell(4 + \ell) = 2 + 3\ell \iff \ell^2 + \ell - 2 = 0$.

Or $\Delta = 1 + 4 \times 2 = 9 = 3^2$. Il y a deux solutions :

$\ell_1 = \dfrac{- 1 - 3}{2} = -2$ et  $\ell_2 = \dfrac{- 1 + 3}{2} = 1$.

Comme $\ell \in [1~;~3]$, la seule solution est $\ell_2 = 1$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
\item Voir l'annexe.

On peut conjecturer que la suite $\left(v_n\right)$ est croissante et qu'elle a pour limite 1.
\item  
  \begin{enumerate}[a)]
  \item 
$1 - v_{n+1} = 1 - \dfrac{2 + 3v_n}{4 + v_n} = \dfrac{4 + v_n - 2 - 3v_n}{4 + v_n}= \dfrac{2 - 2v_n}{4 + v_n} = \dfrac{2}{4 + v_n}\left(1 - v_n\right)$.
  \item	
    \emph{Initialisation} pour $n = 0$, \; $1 - v_0 = 0,9$ ; or $\left(\dfrac{1}{2}\right)^0 = 1$.
	
On a bien $0 \leqslant 1 - v_0 \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^0$.	

\emph{Hérédité} Supposons qu'au rang $n \in \N$ quelconque, on ait $1 - v_n \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.

On a $1 - v_{n+1} = \dfrac{2}{4 + v_n}\left(1 - v_n \right)$, donc d'après l'hypothèse de récurrence :

$1 - v_{n+1}  \leqslant \dfrac{2}{4 + v_n} \times \left(\dfrac{1}{2} \right)^n$.

Or $0 \leqslant 1 - v_n \leqslant \left(\dfrac{1}{2} \right)^n \iff v_n \geqslant 1 - \left(\dfrac{1}{2} \right)^n \geqslant 0$ ; il suit que $4 + v_n \geqslant 4$, donc en prenant les inverses $0 \leqslant \dfrac{1}{4 + v_n} \leqslant \dfrac{1}{4}$.

On a donc $0 \leqslant 1 - v_{n+1} \leqslant 2 \times \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{2} \right)^n$, soit finalement :

$0 \leqslant 1 - v_{n+1} \leqslant \left(\dfrac{1}{2} \right)^{n+1}$ : l'encadrement est vrai au rang $n + 1$.

L'encadrement est vrai au rang $0$ et s'il est vrai à un rang $n$quelconque il est vrai au rang $n + 1$ : d'après le principe de récurrence :

quel que soit le naturel $n$, \; $0 \leqslant 1 - v_n \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$. 
 	\end{enumerate}
\item  %La suite $\left(v_n\right)$ converge-t-elle ? Si oui, préciser sa limite.
Comme $0< \dfrac{1}{2} < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0$, donc l'encadrement trouvé à la question précédente montre que la la limite de $1 - v_n = 0$, donc :

\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty}  v_n = 1.\]
\end{enumerate}



\begin{center}
\textbf{\large Annexe}

\psset{unit=11cm,comma=true,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.15,1.1)
%\psgrid
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=0.1](0,0)(0,0)(1.15,1.1)
\psline(1.1,1.1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.15}{3 x mul 2 add x 4 add div}
\uput[ul](1.1,1.1){$D$}\uput[d](1.1,1.03){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psline[ArrowInside=->](0.1,0)(0.1,0.561)(0.561,0.561)(0.561,0.8074)(0.8074,0.8074)(0.8074,0.92)(0.92,0.92)
\psline(0.561,0)(0.561,0.561)
\psline(0.8074,0.8074)(0.8074,0)
\psline(0.92,0)(0.92,0.92)
\uput[d](0.1,-0.05){$v_0 =0,1$}\uput[d](0.561,-0.05){$v_1=0,561$}\uput[d](0.8074,-0.05){$v_2=0,807$}\uput[d](0.92,-0.05){$v_3=0,92$}
\end{pspicture}
\end{center}
\enex



\label{LastPage}
\end{document}

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