Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques

Terminale générale, spécialité mathématiques

Devoir de mathématiques, spécialité mathématiques en terminale générale: intégrales
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Type: Corrigé de devoir
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Description
Devoir de mathématiques, spécialité mathématiques en terminale générale: intégrales
Niveau
Terminale générale, spécialité mathématiques
Table des matières
  • Calcul d'intégrales
  • Interprétation graphique d'intégrales et suite d'intégrales
  • Calcul d'un volume
Mots clé
intégrale, intégration, intégration par partie, aire sous une courbe, suite d'intégrale, limite, spécialité mathématiques, terminale générale

Sujet du devoir

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%                                                 %
%   Generateur automatique de devoir,             %
%   par Y. Morel                                  %
%   https://xymaths.fr/Generateur-Devoirs/    %
%                                                 %
%      Genere le:                                 %
%   Wednesday 19 May 2021                         %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[11pt]{article}

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Corrigé du devoir de mathématiques terminale générale, spécialité mathématiques: calcul intégrale},
    pdftitle={Correction du devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={intégrale, intégration, intégration par parties, devoir corrigé, Mathématiques, terminale générale, spécialité mathématiques}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
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\nwc{\V}{\overrightarrow}
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\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
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\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
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\lfoot{Y. Morel \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - spé maths en terminale générale}}
\cfoot{}
\rfoot{Corrigé du devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{Corrig\'e du devoir de math\'ematiques}}


\bgex
\[I_1=\dsp\int_{-2}^2 3x^5\,dx
=\lb \dfrac36x^6\rb_{-2}^2
=\dfrac12\lp2^6-(-2)^6\rp=0\]

\[I_2=\dsp\int_0^1 \dfrac{3}{(2x+1)^2}\,dx
=\lb-\dfrac32\tm\dfrac1{2x+1}\rb_0^1
=-\dfrac32\lp\dfrac13-1\rp
=1
\]

On intégre par parties 
en posant $u=2x+1$ donc $u'=2$, et $v'=e^{2x}$ donc $v=\frac12e^{2x}$, et alors 
\[\bgar{ll}I_3&=\dsp\int_0^1 (2x+1)e^{2x}\,dx\\[.8em]
&=\lb(2x+1)\dfrac12e^{2x}\rb_0^1
-\dsp\int_0^12\tm\dfrac12e^{2x}\,dx\\[1em]
&=\dfrac32e^2-\dfrac12e^0-\lb\dfrac12e^{2x}\rb_0^1\\[1.2em]
&=\dfrac32e^2-\dfrac12-\lp\dfrac12e^2-\dfrac12\rp
=e^2
\enar\]

\enex


\bgex
\textit{Bac juin 2008}
\bgen
\item 
  \bgen[a)]
  \item On d\'erive: $F=uv-u$ avec $u(x)=x$ donc $u'(x)=1$ et $v(x)=\ln x$ donc $v'(x)=\dfrac1x$, \\
    et alors, $F'=u'v-uv'-u'$, \\
    soit $F'(x)=\ln x-x\tm\dfrac1x-1=\ln x=f(x)$\\
    ce qui montre que $F$ est bien une primtive de $f$. 

    \medskip
    On en d\'eduit 
    \[\bgar{ll}I&=\dsp\int_1^e\ln x\,dx
    =\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_1^e
    =F(e)-F(1)\\[1em]
    &=\lp e\ln e-e\rp-\lp 1\ln 1-1\rp
    =1\enar\]

  \item On pose $u=\ln x$ donc $u'=\dfrac1x$ et $v'=\ln x$ donc $v=x\ln x-x$ et et alors, en int\'egrant par parties, 
    \[\bgar{ll}J&=\Bigl[\ln x\lp x\ln x-x\rp\Bigr]_1^e
    -\dsp\int_1^e\dfrac1x\lp x\ln x-x\rp\\[1em]
    &=0-\dsp\int_1^e\lp\ln x-1\rp\,dx\\[1em]
    &=-\dsp\int_1^e\ln x\,dx+\int_1^e1dx\\[1em]
    &=-I+e-1=e-2I\enar\]
    car $I=1$. 
  \item On en d\'eduit la valeur de A: 
    \[\bgar{ll}A&=\dsp\int_1^e\lp f(x)-g(x)\rp\,dx\\[1em]
    &=\dsp\int_1^ef(x)\,dx-\int_1^eg(x)\,dx\\[1em]
    &=I-J
    =1-\lp e-2I\rp\\
    &=1-\lp e-2\rp=3-e\enar\]
  \enen
\item Pour $x\in[1;e]$, on a 
  \[\bgar{ll}MN&=d(x)=f(x)-g(x)\\[.5em]&=\ln x-\lp\ln x\rp^2\enar\]
  Pour trouver le maximum de cette fonction, il suffit de conna\^itre ses variations. 

  On a \[d'(x)=\dfrac1x-2\dfrac1x\ln x=\dfrac1x\lp1-2\ln x\rp\]
  avec $1-2\ln x>0\iff \ln x<1/2\iff x<e^{1/2}=\sqrt{e}$ et donc 
  \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
  $x$ &$1$ && $\sqrt{e}$ && $e$\\\hline
  $1/x$ && $+$ &$|$&$+$&\\\hline
  $1-2\ln x$ && $+$ &\zb&$-$&\\\hline
  $d'(x)$ && $+$ &\zb&$-$&\\\hline
  &&&$d\lp\sqrt{e}\rp$&&\\
  $d$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\
  &&&&&\\\hline
  \end{tabular}\]
  La distance est donc maximale en $x=\sqrt{e}$ et cette distance maximale est 
  \[d\lp\sqrt{e}\rp=\ln\sqrt{e}-\lp\ln\sqrt{e}\rp^2
  =\dfrac12-\lp\dfrac12\rp^2=\dfrac14\]
\enen

\enex


\bgex
\textsl{Bac g\'en\'eral, s\'erie S, 2011}

\noindent
{\bf Partie A} 


\bgen
\item
  \bgen[a.]
  %\item $\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x}=+\infty$, donc, 
  %  $\dsp\lim_{x\to+\infty}f_1(x)=\lim_{x\to+\infty}xe^{-x}
  %  =\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{e^{x}}
  %  =0$. 

  %$\dsp\lim_{x\to-\infty}x=-\infty$ et 
  %$\dsp\lim_{x\to-\infty}e^{-x}=+\infty$, 
  %d'o\`u, par produit des limites, 
  %$\dsp\lim_{x\to-\infty}f_1(x)=-\infty$. 

  \item 
    \bgmp[t]{10cm}
    $f_1$ est le produit des fonctions $x\mapsto x$ et 
    $x\mapsto e^{-x}$ qui sont d\'erivables sur $\R$. 
    $f_1$ est donc d\'erivable sur $\R$ avec, pour tout $x$ r\'eel, 
    $f_1'(x)=e^{-x}(1-x)$. 
    \enmp \quad
    \bgmp[t]{5cm}\vspace{-0.8cm}
    \[
    \begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
      $x$ & $-\infty$ && 1 && $+\infty$ \\\hline
      $e^{-x}$ && $+$ &$|$& $+$ &\\\hline
      $1-x$ && $+$ &\zb & $-$ & \\\hline
      $f_1'(x)$ && $+$ &\zb& $-$ & \\\hline
      &&&$\dfrac{1}{e}$&&\\
      $f_1$ & \psline{->}(0.2,-0.2)(1.3,0.5)&&
      \psline{->}(0.4,0.5)(1.6,-0.2)&&\\
      &$-\infty$&&&&$0$\\\hline
    \end{tabular}
    \]
    \enmp
    
    \vspace{-2.4cm}
    \item 
      \bgmp[t]{9.2cm}
      D'apr\`es le graphique, on ne peut pas avoir $k=1$, car
      $\mathcal{C}_k$ n'est pas en accord avec le tableau de variation
      de $f_1$. 

      Comme $k$ est un entier naturel non nul, on doit n\'ecessaireent
      avoir $k\geqslant 2$. 
      \enmp
  \enen
\item
  \bgen[a.]
  \item Pour $n\geqslant 1$, $f_n(0)=0^ne^{-0}=0$, donc le point $O$
    appartient \`a toutes les courbes $\mathcal{C}_n$. 

    Soit de plus $I(x;y)\in \mathcal{C}_1\cap\mathcal{C}_2$, 
    alors $y=f_1(x)=x^{-x}$ et $y=f_2(x)=x^2e^{-x}$. 

    On doit donc avoir, $y=xe^{-x}=x^2e^{-x} 
    \iff xe^{-x}(1-x)=0
    \iff x(1-x)=0$ 
    car $e^{-x}\not=0$ pour tout $x$ r\'eel, et donc, 
    $x=0$ ou $x=1$. 

    $x=0$ correspond au point $O$, tandis que pour $x=1$,
    $y=f_1(x)=e^{-1}=\dfrac{1}{e}$. 

    On v\'erifie alors que, pour tout entier $n$, 
    $f_n(1)=1^ne^{-1}=\dfrac{1}{e}$, et donc que 
    pour tout entier $n$, $I\lp1;\dfrac{1}{e}\rp\in\mathcal{C}_n$

  \item $f_n$ est le produit de la fonction polyn\^ome 
    $x\mapsto x^n$ et de l'exponentielle $x\mapsto e^{-x}$ qui sont
    d\'erivables sur $\R$. 
    $f_n$ est donc d\'erivable sur $\R$, avec,  

    $f_n'(x)=nx^{n-1}e^{-x}-x^ne^{-x}=x^{n-1}e^{-x}(n-x)$. 
  \enen

\item 
  \bgmp[t]{10cm}
  D'apr\`es ce qui pr\'ec\`ede, 
  $f_3'(x)=x^2(3-x)e^{-x}$, et on a le tableau de variation suivant. 

  On en d\'eduit en particulier que $f_3$ atteint un maximum en $x=3$.
  \enmp \quad
  \bgmp[t]{5cm}\vspace{-0.8cm}
    \[
    \begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
      $x$ & $-\infty$ && 3 && $+\infty$ \\\hline
      $f_3'(x)$ && $+$ &\zb& $-$ & \\\hline
      &&&$\lp\dfrac{3}{e}\rp^3$&&\\
      $f_3$ & \psline{->}(0.2,-0.2)(1.3,0.5)&&
      \psline{->}(0.4,0.5)(1.6,-0.2)&&\\
      &&&&&\\\hline
    \end{tabular}
    \]
    \enmp

\item 
  \bgen[a.] 
  \item La droite $T_k$ est la tangente \`a $\mathcal{C}_k$ en $x=1$/ 
  $T_k$ a pour \'equation: 

  $y=f_k'(1)(x-1)+f_k(1)
  =(k-1)e^{-1}(x-1)+1^ke^{-1}
  =\dfrac{k-1}{e}(x-1)+\dfrac{1}{e}$. 

  $T_k$ coupe l'axe des abscisses pour $y=0$, soit 
  $\dfrac{k-1}{e}(x-1)+\dfrac{1}{e}=0
  \iff 
  x=\dfrac{k-2}{k-1}$, 
  d'o\`u les coordonn\'ees du point d'intersection recherch\'e 
  $\lp \dfrac{k-2}{k-1}; 0\rp$. 

  \item D'apr\`es l'\'enonc\'e, ce point d'intersection est
    $A\lp\dfrac{4}{5};0\rp$, donc, 
    $\dfrac{k-2}{k-1}=\dfrac{4}{5} \iff k=6$.
  \enen
\enen

\bigskip\noindent
{\bf Partie B}

\bgen
\item En int\'egrant par parties, 
  $\dsp I_1=\int_0^1 xe^{-x}\,dx
  =\lb -xe^{-x}\rb_0^1+\int_0^1e^{-x}\,dx
  =-e^{-1}+\lb -e^{-x}\rb_0^1
  =-\dfrac{2}{e}+1
  $

\item 
  \bgen[a.]
  \item $I_n$ est l'aire comprise entre la courbe $\mathcal{C}_n$,
    l'axe des abscisses, et les droites d'\'equation $x=0$ et $x=1$. 

    Graphiquement ces aires sont de plus en plus petites pour les
    courbes $\mathcal{C}_1$ \`a $\mathcal{C}_{30}$. 

    On peut donc conjecturer que la suite $(I_n)$ est d\'ecroissante. 

  \item 
    $\dsp I_{n+1}-I_n
    =\int_0^1x^{n+1}e^{-x}\,dx-\int_0^1x^ne^{-x}\,dx
    =\int_0^1 \lp x^{n+1}e^{-x}-x^n e^{-x}\rp\,dx
    =\int_0^1 x^n\lp x-1\rp e^{-x}\,dx
    $

    or, pour tout $x\in[0;1]$, $x-1\leqslant 0$, $x^n\geqslant0$, et
    $e^{-x}\geqslant 0$, 
    d'o\`u, $x^n\lp x-1\rp e^{-x}\leqslant0$, et donc, 
    $\dsp\int_0^1 x^n\lp x-1\rp e^{-x}\,dx\leqslant0$, 
    c'est-\`a-dire 
    $I_{n+1}-I_n\leqslant0
    \iff
    I_{n+1}\leqslant I_n$: 
    la suite $(I_n)$ est d\'ecroissante.
    

  \item Pour $x\in[0;1]$, $x^ne^{-x}\geqslant 0$, d'o\`u, 
    $\dsp I_n=\int_0^1 x^ne^{-x}\,dx\geqslant 0$. 

    Ainsi, $(I_n)$ est une suite d\'ecroissante et minor\'ee par $0$: 
    $(I_n)$ est donc convergente.


    \item Comme, pour tout $x\in[0;1]$, $0<e^{-x}\leqslant1$, et
      $x^n\geqslant0$, 

      $0\leqslant x^ne^{-x}\leqslant x^n$
      d'o\`u, 
      $\dsp\int_0^1 0\,dx \leqslant \int_0^1 x^ne^{-x}\,dx\leqslant 
      \int_0^1 x^n \,dx$, 
      soit donc, 
      $\dsp 0\leqslant I_n\leqslant \int_0^1 x^n \,dx$.

      Or, 
      $\dsp\int_0^1 x^n \,dx=\lb\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\rb_0^1
      =\dfrac{1}{n+1}
      $, 
      et ainsi, pour tout entier $n$, 
      $0\leqslant I_n \leqslant \dfrac{1}{n+1}$. 

      Comme $\dsp\lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{n+1}=0$, on en d\'eduit,
      d'apr\`es le th\'eor\`eme des gendarmes, que 
      $\dsp\lim_{n\to+\infty} I_n=0$. 
      
  \enen
\enen

\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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