Source Latex
de la correction du devoir
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% %
% Generateur automatique de devoir, %
% par Y. Morel %
% https://xymaths.fr/Generateur-Devoirs/ %
% %
% Genere le: %
% Wednesday 19 May 2021 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Corrigé du devoir de mathématiques terminale générale, spécialité mathématiques: calcul intégrale},
pdftitle={Correction du devoir de mathématiques},
pdfkeywords={intégrale, intégration, intégration par parties, devoir corrigé, Mathématiques, terminale générale, spécialité mathématiques}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
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\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
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\lfoot{Y. Morel \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - spé maths en terminale générale}}
\cfoot{}
\rfoot{Corrigé du devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{Corrig\'e du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
\[I_1=\dsp\int_{-2}^2 3x^5\,dx
=\lb \dfrac36x^6\rb_{-2}^2
=\dfrac12\lp2^6-(-2)^6\rp=0\]
\[I_2=\dsp\int_0^1 \dfrac{3}{(2x+1)^2}\,dx
=\lb-\dfrac32\tm\dfrac1{2x+1}\rb_0^1
=-\dfrac32\lp\dfrac13-1\rp
=1
\]
On intégre par parties
en posant $u=2x+1$ donc $u'=2$, et $v'=e^{2x}$ donc $v=\frac12e^{2x}$, et alors
\[\bgar{ll}I_3&=\dsp\int_0^1 (2x+1)e^{2x}\,dx\\[.8em]
&=\lb(2x+1)\dfrac12e^{2x}\rb_0^1
-\dsp\int_0^12\tm\dfrac12e^{2x}\,dx\\[1em]
&=\dfrac32e^2-\dfrac12e^0-\lb\dfrac12e^{2x}\rb_0^1\\[1.2em]
&=\dfrac32e^2-\dfrac12-\lp\dfrac12e^2-\dfrac12\rp
=e^2
\enar\]
\enex
\bgex
\textit{Bac juin 2008}
\bgen
\item
\bgen[a)]
\item On d\'erive: $F=uv-u$ avec $u(x)=x$ donc $u'(x)=1$ et $v(x)=\ln x$ donc $v'(x)=\dfrac1x$, \\
et alors, $F'=u'v-uv'-u'$, \\
soit $F'(x)=\ln x-x\tm\dfrac1x-1=\ln x=f(x)$\\
ce qui montre que $F$ est bien une primtive de $f$.
\medskip
On en d\'eduit
\[\bgar{ll}I&=\dsp\int_1^e\ln x\,dx
=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_1^e
=F(e)-F(1)\\[1em]
&=\lp e\ln e-e\rp-\lp 1\ln 1-1\rp
=1\enar\]
\item On pose $u=\ln x$ donc $u'=\dfrac1x$ et $v'=\ln x$ donc $v=x\ln x-x$ et et alors, en int\'egrant par parties,
\[\bgar{ll}J&=\Bigl[\ln x\lp x\ln x-x\rp\Bigr]_1^e
-\dsp\int_1^e\dfrac1x\lp x\ln x-x\rp\\[1em]
&=0-\dsp\int_1^e\lp\ln x-1\rp\,dx\\[1em]
&=-\dsp\int_1^e\ln x\,dx+\int_1^e1dx\\[1em]
&=-I+e-1=e-2I\enar\]
car $I=1$.
\item On en d\'eduit la valeur de A:
\[\bgar{ll}A&=\dsp\int_1^e\lp f(x)-g(x)\rp\,dx\\[1em]
&=\dsp\int_1^ef(x)\,dx-\int_1^eg(x)\,dx\\[1em]
&=I-J
=1-\lp e-2I\rp\\
&=1-\lp e-2\rp=3-e\enar\]
\enen
\item Pour $x\in[1;e]$, on a
\[\bgar{ll}MN&=d(x)=f(x)-g(x)\\[.5em]&=\ln x-\lp\ln x\rp^2\enar\]
Pour trouver le maximum de cette fonction, il suffit de conna\^itre ses variations.
On a \[d'(x)=\dfrac1x-2\dfrac1x\ln x=\dfrac1x\lp1-2\ln x\rp\]
avec $1-2\ln x>0\iff \ln x<1/2\iff x<e^{1/2}=\sqrt{e}$ et donc
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ &$1$ && $\sqrt{e}$ && $e$\\\hline
$1/x$ && $+$ &$|$&$+$&\\\hline
$1-2\ln x$ && $+$ &\zb&$-$&\\\hline
$d'(x)$ && $+$ &\zb&$-$&\\\hline
&&&$d\lp\sqrt{e}\rp$&&\\
$d$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\
&&&&&\\\hline
\end{tabular}\]
La distance est donc maximale en $x=\sqrt{e}$ et cette distance maximale est
\[d\lp\sqrt{e}\rp=\ln\sqrt{e}-\lp\ln\sqrt{e}\rp^2
=\dfrac12-\lp\dfrac12\rp^2=\dfrac14\]
\enen
\enex
\bgex
\textsl{Bac g\'en\'eral, s\'erie S, 2011}
\noindent
{\bf Partie A}
\bgen
\item
\bgen[a.]
%\item $\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x}=+\infty$, donc,
% $\dsp\lim_{x\to+\infty}f_1(x)=\lim_{x\to+\infty}xe^{-x}
% =\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{e^{x}}
% =0$.
%$\dsp\lim_{x\to-\infty}x=-\infty$ et
%$\dsp\lim_{x\to-\infty}e^{-x}=+\infty$,
%d'o\`u, par produit des limites,
%$\dsp\lim_{x\to-\infty}f_1(x)=-\infty$.
\item
\bgmp[t]{10cm}
$f_1$ est le produit des fonctions $x\mapsto x$ et
$x\mapsto e^{-x}$ qui sont d\'erivables sur $\R$.
$f_1$ est donc d\'erivable sur $\R$ avec, pour tout $x$ r\'eel,
$f_1'(x)=e^{-x}(1-x)$.
\enmp \quad
\bgmp[t]{5cm}\vspace{-0.8cm}
\[
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && 1 && $+\infty$ \\\hline
$e^{-x}$ && $+$ &$|$& $+$ &\\\hline
$1-x$ && $+$ &\zb & $-$ & \\\hline
$f_1'(x)$ && $+$ &\zb& $-$ & \\\hline
&&&$\dfrac{1}{e}$&&\\
$f_1$ & \psline{->}(0.2,-0.2)(1.3,0.5)&&
\psline{->}(0.4,0.5)(1.6,-0.2)&&\\
&$-\infty$&&&&$0$\\\hline
\end{tabular}
\]
\enmp
\vspace{-2.4cm}
\item
\bgmp[t]{9.2cm}
D'apr\`es le graphique, on ne peut pas avoir $k=1$, car
$\mathcal{C}_k$ n'est pas en accord avec le tableau de variation
de $f_1$.
Comme $k$ est un entier naturel non nul, on doit n\'ecessaireent
avoir $k\geqslant 2$.
\enmp
\enen
\item
\bgen[a.]
\item Pour $n\geqslant 1$, $f_n(0)=0^ne^{-0}=0$, donc le point $O$
appartient \`a toutes les courbes $\mathcal{C}_n$.
Soit de plus $I(x;y)\in \mathcal{C}_1\cap\mathcal{C}_2$,
alors $y=f_1(x)=x^{-x}$ et $y=f_2(x)=x^2e^{-x}$.
On doit donc avoir, $y=xe^{-x}=x^2e^{-x}
\iff xe^{-x}(1-x)=0
\iff x(1-x)=0$
car $e^{-x}\not=0$ pour tout $x$ r\'eel, et donc,
$x=0$ ou $x=1$.
$x=0$ correspond au point $O$, tandis que pour $x=1$,
$y=f_1(x)=e^{-1}=\dfrac{1}{e}$.
On v\'erifie alors que, pour tout entier $n$,
$f_n(1)=1^ne^{-1}=\dfrac{1}{e}$, et donc que
pour tout entier $n$, $I\lp1;\dfrac{1}{e}\rp\in\mathcal{C}_n$
\item $f_n$ est le produit de la fonction polyn\^ome
$x\mapsto x^n$ et de l'exponentielle $x\mapsto e^{-x}$ qui sont
d\'erivables sur $\R$.
$f_n$ est donc d\'erivable sur $\R$, avec,
$f_n'(x)=nx^{n-1}e^{-x}-x^ne^{-x}=x^{n-1}e^{-x}(n-x)$.
\enen
\item
\bgmp[t]{10cm}
D'apr\`es ce qui pr\'ec\`ede,
$f_3'(x)=x^2(3-x)e^{-x}$, et on a le tableau de variation suivant.
On en d\'eduit en particulier que $f_3$ atteint un maximum en $x=3$.
\enmp \quad
\bgmp[t]{5cm}\vspace{-0.8cm}
\[
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && 3 && $+\infty$ \\\hline
$f_3'(x)$ && $+$ &\zb& $-$ & \\\hline
&&&$\lp\dfrac{3}{e}\rp^3$&&\\
$f_3$ & \psline{->}(0.2,-0.2)(1.3,0.5)&&
\psline{->}(0.4,0.5)(1.6,-0.2)&&\\
&&&&&\\\hline
\end{tabular}
\]
\enmp
\item
\bgen[a.]
\item La droite $T_k$ est la tangente \`a $\mathcal{C}_k$ en $x=1$/
$T_k$ a pour \'equation:
$y=f_k'(1)(x-1)+f_k(1)
=(k-1)e^{-1}(x-1)+1^ke^{-1}
=\dfrac{k-1}{e}(x-1)+\dfrac{1}{e}$.
$T_k$ coupe l'axe des abscisses pour $y=0$, soit
$\dfrac{k-1}{e}(x-1)+\dfrac{1}{e}=0
\iff
x=\dfrac{k-2}{k-1}$,
d'o\`u les coordonn\'ees du point d'intersection recherch\'e
$\lp \dfrac{k-2}{k-1}; 0\rp$.
\item D'apr\`es l'\'enonc\'e, ce point d'intersection est
$A\lp\dfrac{4}{5};0\rp$, donc,
$\dfrac{k-2}{k-1}=\dfrac{4}{5} \iff k=6$.
\enen
\enen
\bigskip\noindent
{\bf Partie B}
\bgen
\item En int\'egrant par parties,
$\dsp I_1=\int_0^1 xe^{-x}\,dx
=\lb -xe^{-x}\rb_0^1+\int_0^1e^{-x}\,dx
=-e^{-1}+\lb -e^{-x}\rb_0^1
=-\dfrac{2}{e}+1
$
\item
\bgen[a.]
\item $I_n$ est l'aire comprise entre la courbe $\mathcal{C}_n$,
l'axe des abscisses, et les droites d'\'equation $x=0$ et $x=1$.
Graphiquement ces aires sont de plus en plus petites pour les
courbes $\mathcal{C}_1$ \`a $\mathcal{C}_{30}$.
On peut donc conjecturer que la suite $(I_n)$ est d\'ecroissante.
\item
$\dsp I_{n+1}-I_n
=\int_0^1x^{n+1}e^{-x}\,dx-\int_0^1x^ne^{-x}\,dx
=\int_0^1 \lp x^{n+1}e^{-x}-x^n e^{-x}\rp\,dx
=\int_0^1 x^n\lp x-1\rp e^{-x}\,dx
$
or, pour tout $x\in[0;1]$, $x-1\leqslant 0$, $x^n\geqslant0$, et
$e^{-x}\geqslant 0$,
d'o\`u, $x^n\lp x-1\rp e^{-x}\leqslant0$, et donc,
$\dsp\int_0^1 x^n\lp x-1\rp e^{-x}\,dx\leqslant0$,
c'est-\`a-dire
$I_{n+1}-I_n\leqslant0
\iff
I_{n+1}\leqslant I_n$:
la suite $(I_n)$ est d\'ecroissante.
\item Pour $x\in[0;1]$, $x^ne^{-x}\geqslant 0$, d'o\`u,
$\dsp I_n=\int_0^1 x^ne^{-x}\,dx\geqslant 0$.
Ainsi, $(I_n)$ est une suite d\'ecroissante et minor\'ee par $0$:
$(I_n)$ est donc convergente.
\item Comme, pour tout $x\in[0;1]$, $0<e^{-x}\leqslant1$, et
$x^n\geqslant0$,
$0\leqslant x^ne^{-x}\leqslant x^n$
d'o\`u,
$\dsp\int_0^1 0\,dx \leqslant \int_0^1 x^ne^{-x}\,dx\leqslant
\int_0^1 x^n \,dx$,
soit donc,
$\dsp 0\leqslant I_n\leqslant \int_0^1 x^n \,dx$.
Or,
$\dsp\int_0^1 x^n \,dx=\lb\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\rb_0^1
=\dfrac{1}{n+1}
$,
et ainsi, pour tout entier $n$,
$0\leqslant I_n \leqslant \dfrac{1}{n+1}$.
Comme $\dsp\lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{n+1}=0$, on en d\'eduit,
d'apr\`es le th\'eor\`eme des gendarmes, que
$\dsp\lim_{n\to+\infty} I_n=0$.
\enen
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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