Oral du bac: primitive et probabilités

primitive, probabilités (loi binomiale)

  • L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
  • La qualité des raisonnements, de l'expression, et la précision des justifications prendront une part importante dans l'appréciation de l'interrogation orale.
  • Il s'agit d'une épreuve orale: il n'est pas indispensable de rédiger l'ensemble des réponses, des calculs, du raisonnement …
    Par contre vous devez être en mesure d'apporter toutes les justifications nécessaires.
    L'exposé de la méthode et du raisonnement sera pris en compte.

Exercice 1: Variations et courbe d'une primitive

  1. Soit $H$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par $H(x) = (2x-1)\,e^{2x}$.
    Démontrer que $H$ est une primitive sur $\R$ de la fonction $h$ définie par $h(x) = 4xe^{2x}$.
    Existe-t-il d'autres primitives de $h$ ?
  2. Dresser le tableau de variation de $H$ et tracer l'allure de la courbe représentative de $H$.

Correction exercice 1
  1. $H$ est une primitive de $h$ signifie exactement que $H'=h$. Il s'agit donc de calculer la dérivée de $H$.
    On dérive un produit, $H=uv$ avec $u(x)=2x-1$ donc $u'(x)=2$ et $v(x)=e^{2x}=e^w$ donc $v'(x)=w'e^w=2e^{2x}$.
    On obtient alors
    \[H'(x)=u'v+uv'=2e^{2x}+(2x-1)2e^{2x}=4xe^{2x}=h(x)\]

    ce qui montre que $H$ est une primitive de $h$.
  2. Le sens de variation de $H$ est donné par le signe sa dérivée $H'=h$ et on peut alors dresser directement le tableau de variation:
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ &&$0$&& $+\infty$ \\\hline $4x$ && $-$ &\zb& $+$ &\\\hline $e^{2x}$ && $+$ &$|$& $+$ &\\\hline $H'(x)$ && $-$ &\zb& $+$ &\\\hline &&&&&\\ $H$ && \Large{$\searrow$}&& \Large{$\nearrow$}&\\ &&&$-1$&&\\\hline \end{tabular}\]



    \[\psset{xunit=2cm,yunit=1.2cm,arrowsize=8pt}\begin{pspicture*}(-3,-2)(2.2,2.3) \psline{->}(-3,0)(2,0) \psline{->}(0,-5)(0,2) \newcommand{\f}[1]{2 #1 mul -1 add 2.718 #1 2 mul exp mul} \psplot[linewidth=1pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-5}{3}{\f{x}} \psline(-.1,-1)(.1,-1)\rput[r](-.1,-1.2){$-1$} \end{pspicture*}\]





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Exercice 2: Contrôle qualité pour la production de composants electroniques

Une entreprise fabrique des composants électroniques. Un contrôle de qualité a établi que la probabilité qu'un composant soit défectueux à la sortie de la chaîne de production est égale à $0,05$.

L'entreprise propose à la vente des lots de 20 composants.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de composants défectueux dans un lot.
  1. Quelle est la loi de probabilités suivie par $X$ ?
  2. Déterminer la probabilité pour qu'un lot contienne ne contienne aucun composant défectueux.
  3. Déterminer la probabilité pour qu'un lot contienne strictement moins de 10% de composants défectueux.
  4. Un client souhaite acheter un nombre plus important de composants et désire donc les acheter par lot de 30.
    Déterminer la probabilité pour que dans un tel lot il y ait strictement moins de 10% de composants défectueux.

Correction exercice 2
  1. Pour faire un lot, on répète $n=20$ fois l'expérience aléatoire consistant à tirer au hasard un composant électronique dans la production.
    Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli pour laquelle le succès est de tirer un composant défectueux avec la probabilité $p=0,05$ .
    Ses répétitions sont identiques et indépendantes entre elles.
    On en déduit que la variable aléatoire $ X$ , comptant le nombre de succès sur ces 20 répétitions, suit la loi binomiale $\mathcal{B}(20;0,05)$.
  2. L'événement "ne contenir aucun composant défectueux" est l'événement "$X=0$"; sa probabilité est:
    \[ P(X=0) =\lp\begin{array}{c} 20\\0\enar\right) p^0(1-p)^{20-0} =0,95^{20}\simeq 0,3584\ . \]

    La probabilité qu'il n'y ait aucun composant défectueux dans un lot est environ de $0,36$.
  3. 10 % d'objets dans lot correspondent à $10\,\%\tm20=2$ composants défectueux. La probabilité qu'il y ait strictement moins de 10 % d'objets défectueux est donc de:
    \[\begin{array}{ll} P(X<2) &=P(X=0)+PX(X=1) \\ &\simeq 0,358 + \lp\begin{array}{c} 20\\1\enar\right) p^1(1-p)^{20-1}\\ &\simeq 0,358+20\tm0,05\tm0,95^{19} \simeq 0,73 \end{array} \]

    La probabilité qu'il y ait astrictement moins de 10 % de composants défectueux est donc d'environ 0,73.
  4. En procédant comme précédemment, avec $n=40$, 10 % des composants correspondant alors à 3 composants,
    \[ P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \]

    avec:
    \[\begin{array}{ll} P(X=0) &= \lp\begin{array}{c} 30\\0\enar\right) p^0(1-p)^{30-0} =0,95^{30}\simeq 0,21 \\[0.2cm] P(X=1) &= \lp\begin{array}{c} 30\\1\enar\right) p^1(1-p)^{29} =30\tm0,05\tm0,95^{29} \simeq 0,34 \\[0.2cm] P(X=2) &= \lp\begin{array}{c} 30\\2\enar\right) p^2(1-p)^{28} =435\tm0,05^2\tm0,95^{28} \simeq 0,26 \end{array} \]

    La probabilité qu'un lot de composants contiennent strictement moins de 10 % de composants défectueux est donc $P(X<3)\simeq 0,81$.



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Voir aussi:
ccc