Oral du bac: suite, fonction exponentielle

exponentielle, suites récurrentes

  • L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
  • La qualité des raisonnements, de l'expression, et la précision des justifications prendront une part importante dans l'appréciation de l'interrogation orale.
  • Il s'agit d'une épreuve orale: il n'est pas indispensable de rédiger l'ensemble des réponses, des calculs, du raisonnement …
    Par contre vous devez être en mesure d'apporter toutes les justifications nécessaires.
    L'exposé de la méthode et du raisonnement sera pris en compte.

Exercice 1: Equation du second degré avec exponentielle - Etude du sens de variation

  1. Résoudre dans $\R$ l'équation $e^{2x}-2e^x-3=0$.
    (on pourra utiliser le changement de variable $X=e^x$)
  2. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=e^{2x}-2e^x-3$.
    Tracer l'allure de sa courbe représentative.

Correction exercice 1
  1. Soit $X=e^x$, alors $e^{2x}-2e^x-3=0\iff X^2-2X-3=0$. Cette équation du second degré admet deux solutions réelles $X_1=-1$ et $X_2=3$.
    On revient ensuite à l'inconnue $x$:
    • $e^x=X_1=-1$ n'a pas de solution, une exponentielle étant toujours strictement positive;
    • $e^x=X_2=3\iff x=\ln(3)$.
    L'équation $e^{2x}-2e^x-3=0$ a donc comme unique solution rélle $x=\ln(3)$.
  2. On a $f'(x)=2e^{2x}-2e^x$.
    On cherche le signe de cette dérivée, donc à résoudre
    \[\begin{array}{ll}f'(x)>0\iff 2e^{2x}-2e^x>0 &\iff e^{2x}>e^x\\ &\iff 2x>x\\ &\iff x>0\enar\]

    et on a donc
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ &&$0$&& $+\infty$ \\\hline $f'(x)$ && $-$ &\zb& $+$ &\\\hline &&&&&\\ $g$ && \Large{$\searrow$}&& \Large{$\nearrow$}&\\ &&&$-4$&&\\\hline \end{tabular}\]

    et la courbe qui va avec (sur laquelle on n'oublie pas de situer la solution trouvée à la question précédente):
    \[\psset{unit=1cm}\begin{pspicture*}(-5.2,-5.3)(5.2,5.3) \psline{->}(-5.2,0)(5.2,0) \psline{->}(0,-5.3)(0,5.3) \multido{\i=-5+1}{11}{\psline(\i,-.1)(\i,.1)\rput(\i,-.3){\i} \psline(-.1,\i)(.1,\i)\rput[r](-.2,\i){\i} } \psplot{-5}{5}{2.718 x 2 mul exp -2 2.178 x exp mul add -3 add} \end{pspicture*}\]




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Exercice 2: Loi binomiale à la fête foraine

Une attraction dans une fête foraine permet de gagner soit un gros lot, soit une petite peluche.
250 cordelettes sont proposées au joueur, dont 30 sont reliées à un gros lot, et les autres à une petite peluche.
Il est bien sûr impossible pour le joueur de déterminer quelle cordelette est reliée à un gros lot ou à une peluche, et les tirages se font donc au hasard.
  1. Quelle est la probabilité de gagner un gros lot en tirant une cordelette ?
  2. Un joueur achète un ticket lui permettant de tirer 3 cordelettes.
    On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de gros lots gagnés par le joueur.
    1. Quelle est la loi de probabilité de $X$ ?
    2. Déterminer la probabilité de gagner 3 petites peluches.
    3. Calculer la probabilité de gagner au moins un gros lot.
    4. Quelle est l'espérance de $X$ ? Interpréter ce résultat.

Correction exercice 2
  1. Il y a 250 cordelettes, dont 30 sont reliées à un gros lot. La probabilité d'en gagner un est donc $p=\dfrac{30}{250}=0,12$.
    1. Le joueur répète $n=3$ fois l'expérience aléatoire consistant à tirer au hasard une cordelette, pour la quelle la probabilité de succès est $p=0,12$.
      Ses répétitions sont identiques et indépendantes entre elles.
      On en déduit que la variable aléatoire $X$, comptant le nombre de succès sur ces 3 répétitions, suit la loi binomiale $\mathcal{B}(3;0,12)$.
    2. L'événement "Gagner 3 petites peluches" est l'événement "$X=0$", dont la probabilité est donc:
      \[ P(X=0)=\lp\begin{array}{ll} 3 \\ 0\enar\right) \times 0,12^0 \times (1-0,12)^3 \simeq 0,68 \]


    3. L'événement "Gagner au moins un gros lot" est l'événement "$X\geqslant 1$", dont la probabilité est donc:
      \[ P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)\simeq 1-0,68 = 0,32 \]


    4. L'espérance de $X$ est: $E(X)=np=3\tm0,12=0,36$: En effectuant 3 tirages, le joueur peut espérer obtenir en moyenne $0,36$ gros lot.



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Voir aussi:
ccc