Oral de Bac - Fraction rationnelle, décomposition en éléments simples, primitives et intégrale

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Soit $f la fonction définie sur $I=]1;+\infty[ par l'expression $f(x)=\dfrac{-3x^2+4x-3}{x-1}.
  1. Déterminer trois nombres réels $a, $b et $c tels que, pour tout $x\in I, $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-1}.
  2. En déduire les primitives de $f sur $I.
  3. Déterminer la primitive $F de $f sur $I telle que $F(2)=0.
  4. Calculer l'intégrale $\displaystyle J=\int_2^4 f(x)\,dx.

Correction
  1. En mettant sur le même dénominateur l'expression proposée on a
    ax+b+\dfrac{c}{x-1}=\dfrac{(ax+b)(x-1)+c}{x-1} =\dfrac{ax^2+(-a+b)x-b+c}{x-1}

    Ainsi, on cherche $a, $b et $c tels que
    \la\begin{array}{ll} a=-3 \\ -a+b=4 -b+c=-3 \enar\right. \iff \la\begin{array}{ll} a=-3 \\ b=4+a=1\\ c=-3+b=-2 \enar\right.

    On a donc, pour tout $x\in I, $f(x)=\dfrac{-3x^2+4x-3}{x-1}=-3x+1-\dfrac{2}{x-1}
  2. Les primitives de $f sont de la forme $F(x)=-\dfrac32x^2+x-2\ln(x-1)+k, avec $k\in\R.
  3. Si on impose de plus que $F(2)=0, alors on doit avoir $F(2)=-\dfrac32\tm2^2+2-2\ln(2-1)+k=-4+k=0\iff k=4.
    Ainsi, $F(x)=-\dfrac32x^2+x-2\ln(x-1)+4.
  4. Comme $F est une primitive de $f, on a
    J=\int_2^4 f(x)\,dx=F(4)-F(2)=\left( -\dfrac32\tm4^2+4-2\ln(4-1)+4\right) - 0 =-16-2\ln(3)



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